豐玲玲 李真

摘 要：分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識對小學(xué)階段的學(xué)生來說較難，以致學(xué)生在解決問題時不能準(zhǔn)確地分析分?jǐn)?shù)所表示的意義。文章從單元整體設(shè)計的視角剖析小學(xué)五年級上冊“分?jǐn)?shù)的意義”單元，以“計數(shù)單位”為主線，圍繞“計數(shù)單位”設(shè)計一系列核心問題，讓課堂教學(xué)隨著問題層層深入，讓單元知識在整體上一脈相承，讓學(xué)生在主題的引領(lǐng)下開展深度學(xué)習(xí)，挖掘?qū)W科本質(zhì)，突破知識難點，體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，自主構(gòu)建知識體系，發(fā)展核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：單元整體;計數(shù)單位;深度學(xué)習(xí);核心素養(yǎng)

作者簡介：豐玲玲（1989—），女，北京市建華實驗學(xué)校。

李真（1988—），女，北京市建華實驗學(xué)校。

引 言

小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題展開，而學(xué)習(xí)主題以數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容為線索來確定[1]。“分?jǐn)?shù)的意義”這一單元是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的難點，分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識之所以難以理解，是因為分?jǐn)?shù)意義的豐富性。孫京紅在他的文章中指出了分?jǐn)?shù)的多個含義，即比率——部分與整體的關(guān)系或兩個量的關(guān)系，商——分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果，分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化為一個運算的過程，度量可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果[2]。分?jǐn)?shù)仍然是數(shù)。鄭毓信指出，面對數(shù)的擴(kuò)展，我們不應(yīng)將所涉及的各種數(shù)，包括原來的自然數(shù)以及后來學(xué)習(xí)的小數(shù)、分?jǐn)?shù)等，看成互不相干的關(guān)系，而應(yīng)將它們納入同一個數(shù)系中[3]。教師應(yīng)將學(xué)生在學(xué)習(xí)自然數(shù)的過程中形成的“數(shù)”的觀念延續(xù)在分?jǐn)?shù)教學(xué)中，這樣有利于學(xué)生對“分?jǐn)?shù)是數(shù)”這一理論的認(rèn)可，有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義，從而建構(gòu)起分?jǐn)?shù)與數(shù)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)體系以及數(shù)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)體系。因此，“分?jǐn)?shù)的意義”這一單元的整體教學(xué)設(shè)計尤為重要，教師需要提煉出既能繼承“數(shù)”的概念，又能貫穿整個單元學(xué)習(xí)的主線，以促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)含義的理解。

一、單元整體設(shè)計，一條主線，聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)

小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)、自然數(shù)、小數(shù)的學(xué)習(xí)一脈相承、不可分割。數(shù)的概念主要有兩種含義，即數(shù)本身的含義和比率。數(shù)本身的含義是相同計數(shù)單位的累加，比率是用“標(biāo)準(zhǔn)”去比較整體與部分的關(guān)系以及兩個量之間的關(guān)系，雖然比較的標(biāo)準(zhǔn)是變化的，但是其本質(zhì)和數(shù)的含義有相通之處。整數(shù)、小數(shù)乃至分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生都和“1”的關(guān)系非常緊密，即整體與部分，這種關(guān)系在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識中體現(xiàn)得尤為明顯。在數(shù)自然數(shù)的過程中，“1”是最基本的單位，以“1”為基礎(chǔ)，每增加“1”就形成一個新的數(shù)。人們對整數(shù)的認(rèn)識，從“1”開始，先有1個蘋果，再有2、3、100、200、1000、2000個蘋果。計數(shù)單位的累加，包含著部分與整體的關(guān)系。人們對小數(shù)的認(rèn)識，也從“1”開始，先有1元錢，才有0.1、0.2、0.01、0.02元。計數(shù)單位的細(xì)分，包含著整體與部分的關(guān)系。方運加提到，1是數(shù)（shǔ）的開始，也是數(shù)（shù）的起始，之后是1+1，1+1+1，1+1+1+1，1+1+1+1+1……用已知學(xué)未知，靠的是“1”和“加”;數(shù)從“1”始，算從“1+1”始，數(shù)與運算就此展開。由此可見，“計數(shù)單位”是貫穿“數(shù)”的認(rèn)識及運算始終的。無論是自然數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，其表示都是源于計數(shù)單位（如表1）。數(shù)的運算的本質(zhì)是計數(shù)單位的累加或減少，人們對數(shù)的運算在認(rèn)識數(shù)的過程中逐漸深入。數(shù)的意義支撐數(shù)的運算，數(shù)的運算加深人們對數(shù)的意義的理解。

分?jǐn)?shù)也是數(shù)，其繼承了自然數(shù)、小數(shù)的特點，又有自身的特殊之處。自然數(shù)和小數(shù)都是十進(jìn)制的計數(shù)單位，自然數(shù)是十進(jìn)制計數(shù)單位的累加，小數(shù)是十進(jìn)制計數(shù)單位的細(xì)分。分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位卻是千變?nèi)f化的，讓學(xué)生難以理解。教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生從單元整體的角度分析“分?jǐn)?shù)的意義”單元中的知識點。從“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（一）”這一課中理解分?jǐn)?shù)單位的整體性、相對性;從“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）”這一課中感受計數(shù)單位產(chǎn)生的必要性?！胺?jǐn)?shù)與除法”章節(jié)運用平均分產(chǎn)生計數(shù)單位，計數(shù)單位累加或者疊加（乘）得到分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)表示運算結(jié)果;“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”章節(jié)都是逐個計數(shù)單位累加的結(jié)果;“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”章節(jié)將不同計數(shù)單位的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為相同計數(shù)單位進(jìn)行運算;在“分?jǐn)?shù)的大小”“最大公因數(shù)”“最小公倍數(shù)”以及“約分”這些章節(jié)中，分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位不同，分?jǐn)?shù)大小不變。由此可見，分?jǐn)?shù)的意義的核心是計數(shù)單位?；诖耍處熆梢杂嫈?shù)單位作為“分?jǐn)?shù)的意義”單元的學(xué)習(xí)主線，圍繞主線設(shè)計一系列問題，逐個突破，層層深入。從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)上理解分?jǐn)?shù)的意義，能夠有效促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)多種含義的理解。教師深化學(xué)生對小學(xué)數(shù)學(xué)階段所學(xué)分?jǐn)?shù)內(nèi)容的整體理解，能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識體系的建構(gòu)和方法的遷移，幫助學(xué)生在解決問題的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、單元整體設(shè)計，系列問題，開展深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)的教學(xué)重點在于教師精心設(shè)計問題情境和學(xué)習(xí)任務(wù)，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，組織學(xué)生進(jìn)行深度探究的學(xué)習(xí)活動。單元整體教學(xué)設(shè)計利用知識的內(nèi)在聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)問題情境，讓每個問題都不是零散的，而是同一體系下直擊核心本質(zhì)。在“分?jǐn)?shù)墻”一課中，學(xué)生突破以往以“小”量“大”的常規(guī)，借助長紙條量短紙條，在一次又一次的度量中創(chuàng)造新的分?jǐn)?shù)單位，借助不同的分?jǐn)?shù)單位度量相同的紙條可以得到不同的分?jǐn)?shù)，形成分?jǐn)?shù)墻。學(xué)生在自主創(chuàng)造分?jǐn)?shù)墻的過程中感受不同的計數(shù)單位，“1”（長紙條）沒有發(fā)生變化，每次創(chuàng)造新的計數(shù)單位進(jìn)行度量，相同計數(shù)單位不斷累加得到不同的分?jǐn)?shù)?！罢娣?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”一課用相同的分?jǐn)?shù)單位表示更多的份數(shù)，使學(xué)生深度認(rèn)識單位“1”，突破假分?jǐn)?shù)的知識難點，理解假分?jǐn)?shù)的含義，擴(kuò)充分?jǐn)?shù)墻。這面“墻”是學(xué)生思維創(chuàng)造的結(jié)果，是學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的直觀材料，能為學(xué)生認(rèn)識數(shù)軸提供有效支撐。在研究“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時，學(xué)生借助分?jǐn)?shù)墻繼續(xù)研究，既延續(xù)使用學(xué)生熟悉的分?jǐn)?shù)墻，又拋出關(guān)于分?jǐn)?shù)墻的新問題，即如何在分?jǐn)?shù)墻上找到相等的分?jǐn)?shù)？學(xué)生快速找到自己熟悉的相等分?jǐn)?shù)，逐漸發(fā)現(xiàn)相等分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，即在分?jǐn)?shù)墻上畫一條豎線，會得到無數(shù)個相等的分?jǐn)?shù)：2/3，4/6，8/12……每個分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位都不一樣，表示的份數(shù)也不一樣，但每一個分?jǐn)?shù)都是其計數(shù)單位的累加，計數(shù)單位越小累加的份數(shù)越多。學(xué)生在一系列有關(guān)分?jǐn)?shù)墻的問題的引導(dǎo)下，對分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行了深入學(xué)習(xí)。E2A5C13B-FE1C-4C88-83F8-674603A40AAE

三、單元整體設(shè)計，層層深入，體會本質(zhì)聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識是人類實踐活動的智慧結(jié)晶。教師在教學(xué)中要向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的誕生歷程，讓學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識的來龍去脈。教師還要引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行優(yōu)化整合，對相關(guān)知識進(jìn)行串聯(lián)，使之結(jié)構(gòu)化、條理化，進(jìn)而優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成學(xué)一點懂一片、學(xué)一片會一面的強大知識遷移力和生成力。針對本單元的教學(xué)，教師從度量的角度出發(fā)，在每節(jié)課都圍繞“計數(shù)單位”展開教學(xué)，讓課與課之間層層深入，讓學(xué)生不斷深入理解分?jǐn)?shù)的意義，理解“計數(shù)單位”。起始課“分?jǐn)?shù)的意義（一）”借助兩個量的關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識到單位“1”是相對的，是指一個整體，同一個分?jǐn)?shù)在不同的單位“1”下表示不同的含義，從而感悟單位“1”的重要性。“分?jǐn)?shù)墻”一課用單位“1”不斷地創(chuàng)造新的計數(shù)單位，讓學(xué)生理解計數(shù)單位，累加計數(shù)單位，體會分?jǐn)?shù)的完整性。在“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”一課中，學(xué)生深刻體會定義中“表示”的含義，5/4已經(jīng)不能在“1”中取出來了，但可以表示5個1/4的累加，從而突破假分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)難點，再次理解相同計數(shù)單位的累加?！胺?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課深入思考計數(shù)單位和表示的份數(shù)之間的變化關(guān)系，即計數(shù)單位越大，表示的份數(shù)越多，同一個分?jǐn)?shù)用不同計數(shù)單位表示不同的份數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變。在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)與除法”時，學(xué)生毫不猶豫地用除法得到分?jǐn)?shù)的結(jié)果，其本質(zhì)是利用平均分得到計數(shù)單位，再將計數(shù)單位累加得到結(jié)果，其結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示。從單位“1”到平均分產(chǎn)生計數(shù)單位，再到計數(shù)單位累加，最后到計數(shù)單位和分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，整個單元充分詮釋了分?jǐn)?shù)的概念。這樣層層深入的學(xué)習(xí)過程，是學(xué)生體會計數(shù)單位的過程，理解分?jǐn)?shù)意義的過程，構(gòu)建分?jǐn)?shù)概念的過程，也是將不同階段數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來的過程。

四、單元整體設(shè)計，一脈相承，發(fā)展核心素養(yǎng)

單元整體設(shè)計使我們不能僅思考一個單元或一部分的內(nèi)容，而應(yīng)立足小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域進(jìn)行思考，將分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識和再認(rèn)識有機地結(jié)合起來，將自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)置于同一條主線下思考，其廣度貫穿整個“數(shù)”的認(rèn)識，其深度直達(dá)“數(shù)”的核心本質(zhì)?！皵?shù)”的學(xué)習(xí)緊緊圍繞核心主題——計數(shù)單位展開，學(xué)生在主題的統(tǒng)領(lǐng)下分段進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。分?jǐn)?shù)是一個抽象的數(shù)學(xué)概念，計數(shù)單位對學(xué)生而言更是難以理解的數(shù)學(xué)核心要點。在三年級學(xué)生初次接觸分?jǐn)?shù)時，教師結(jié)合具體的“分一分”活動幫助學(xué)生整體把握部分和整體之間的關(guān)系，注重結(jié)合圖形的直觀性幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)。在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生借助平均分得到分?jǐn)?shù)單位，與本單元“分?jǐn)?shù)與除法”一課遙相呼應(yīng)，由相同分?jǐn)?shù)單位累加得到不同分?jǐn)?shù)，初步理解分?jǐn)?shù)的意義;在分?jǐn)?shù)的大小比較中借助直觀模型直接比較，進(jìn)一步鞏固分?jǐn)?shù)的意義;在分?jǐn)?shù)的加減法中直觀地理解分?jǐn)?shù)加減法的意義;由相同分?jǐn)?shù)單位的累加或減少得到計算結(jié)果，再次理解分?jǐn)?shù)的意義。教師在課堂中不僅要設(shè)計具體的問題情境，還要引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造分?jǐn)?shù)墻，將分?jǐn)?shù)墻作為直觀形象的模型，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念及其本質(zhì)的感知、理解，以“計數(shù)單位”為主線，全面系統(tǒng)地構(gòu)建“數(shù)”的知識體系。這樣的直觀模型，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念簡單化，使學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識、理解了計數(shù)單位這一抽象核心概念與分?jǐn)?shù)的實際意義。這樣的學(xué)習(xí)過程既延續(xù)了對自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，又借助幾何圖形直觀深入地剖析了數(shù)的意義，豐富了學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識，使學(xué)生在自主構(gòu)建知識體系的過程中，提高數(shù)感和運算能力。

五、單元整體設(shè)計，實踐作業(yè)，緊密聯(lián)系生活

數(shù)學(xué)源于生活，并植根于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)蘊藏在生活中的每個角落。教師應(yīng)以生活實踐為依托，幫助學(xué)生將生活經(jīng)驗數(shù)學(xué)化，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供現(xiàn)實數(shù)據(jù)，使其體會生活中分?jǐn)?shù)的意義。在本單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生搜集現(xiàn)實生活中的分?jǐn)?shù)，如小學(xué)生睡眠時間占一天的，單位“1”是一天的時間，睡眠時間所占的比例是3個，初步感受計數(shù)單位，體會單位“1”和計數(shù)單位之間的關(guān)系;外婆的降壓藥早、中、晚各吃1粒，一板藥是單位“1”，計數(shù)單位是，每天吃3個，一板藥能吃3天，提醒家長下次買藥的時間，以免中斷;做蛋糕時每個蛋糕需要杯水，一杯水（50ml）是單位“1”，計數(shù)單位是杯水，一家四口需要做四個蛋糕，一共需要4個杯水。教師可以布置周末實踐作業(yè)，讓學(xué)生回家做蛋糕，并記錄做蛋糕過程中的數(shù)據(jù)與其表示的意義，再讓全班分享討論，真正地將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活緊密聯(lián)系起來，將課堂上的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于課后實踐活動中。

結(jié) 語

教師以“計數(shù)單位”為核心本質(zhì)統(tǒng)領(lǐng)分?jǐn)?shù)的意義和運算的學(xué)習(xí)，貫通“分?jǐn)?shù)的意義”和“分?jǐn)?shù)的運算”之間的內(nèi)在聯(lián)系，注重對一類知識的基礎(chǔ)內(nèi)容的教學(xué)，使得同類知識之間的遷移條理化、清晰化，讓學(xué)生在體會知識內(nèi)在聯(lián)系的過程中拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容，完善知識結(jié)構(gòu)。這個完整的知識體系形成的過程其實就是學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維培養(yǎng)的過程。計數(shù)單位作為一個數(shù)學(xué)核心概念，本身比較抽象，不利于學(xué)生理解、掌握。教師教學(xué)時應(yīng)結(jié)合學(xué)生生活中的實例，借助幾何圖形的直觀性讓學(xué)生親身經(jīng)歷計數(shù)單位產(chǎn)生的過程，感受計數(shù)單位的價值，在學(xué)習(xí)過程中自主完善關(guān)于“數(shù)”的知識體系的建構(gòu)。

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