李慧芬

摘? ? 要：深度學(xué)習(xí)要求教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)材料，使其具有結(jié)構(gòu)化的教學(xué)意圖，從而使學(xué)生深度感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，作出決策、解決問題.教材是教學(xué)的基礎(chǔ)，而不同版本的教材各具特色，教師要比較分析各版教材的編排特點(diǎn)，梳理出知識的進(jìn)階路線，以優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)路徑，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).當(dāng)然，教師還要結(jié)合任教班級的學(xué)情，對教材進(jìn)行重組和再設(shè)計(jì)，使教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.

關(guān)鍵詞：教材比較;配方法;一元二次方程;深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生在理解性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過深切的體驗(yàn)與深入的思考，對數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行深度感悟，進(jìn)而作出決策和解決問題 [1].深度學(xué)習(xí)的發(fā)生條件之一是學(xué)生思考和操作的對象，必須是經(jīng)過教師精心設(shè)計(jì)、具有教學(xué)意圖的結(jié)構(gòu)化教學(xué)材料[2].近年來，大家都很重視對深度學(xué)習(xí)的研究與實(shí)踐探索，在深度學(xué)習(xí)的理論研究、教學(xué)策略、教學(xué)評價(jià)等方面都有很多成果，尤其是在教學(xué)策略上積累出不少好的經(jīng)驗(yàn)，如注重問題設(shè)計(jì)、開展專題學(xué)習(xí)、重視文本閱讀等，很大程度上轉(zhuǎn)變了教師的教學(xué)理念.但在實(shí)際備課中，一線普通教師在設(shè)計(jì)適合學(xué)生的有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)任務(wù)與活動方面，仍存在很大困難.下面，筆者從浙教版、北師大版、人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》（以下分別簡稱“浙教版教材”“北師大版教材”“人教版教材”）中“配方法解一元二次方程”的比較入手，探究促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的相關(guān)策略，旨在交流與共勉.

一、教學(xué)內(nèi)容比較與策略設(shè)計(jì)

課程標(biāo)準(zhǔn)是國家課程的綱領(lǐng)性文件，教師在研究教材、進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)把其放在首位.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）對配方法的要求是：“理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.”配方法是開平方的拓展與延伸，其理論依據(jù)是完全平方公式，但學(xué)生對配方法的掌握有一定困難，教學(xué)中應(yīng)重視促進(jìn)學(xué)生對配方法的理解.

在課時(shí)安排上，浙教版教材和北師大版教材都把這部分知識分解成了兩個(gè)課時(shí)：第1課時(shí)是用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程;第2課時(shí)是用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程.這樣編排的目的是降低配方法的難度，呈現(xiàn)知識的螺旋上升.人教版教材則安排了1個(gè)課時(shí)，在內(nèi)容的編排邏輯上仍然是螺旋上升的，但對教師的整個(gè)教學(xué)流程設(shè)計(jì)和學(xué)生的接受能力都提出了更高的要求.

基于對上述三版教材的比較，筆者將教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化為：第1課時(shí)，用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程（既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)）;第2課時(shí)，用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程（在第1課時(shí)的基礎(chǔ)上，只需把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，第2課時(shí)其實(shí)就是第1課時(shí)的鞏固與提升）.第1課時(shí)作為教學(xué)重點(diǎn)，目標(biāo)設(shè)置為：能根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，能用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程.

二、導(dǎo)入方式比較與策略設(shè)計(jì)

用配方法解一元二次方程這一內(nèi)容的知識生長點(diǎn)是平方根的意義，因此在新課開始階段，教師要對平方根進(jìn)行復(fù)習(xí).浙教版教材的引入部分采取復(fù)習(xí)式引入，即“根據(jù)平方根的定義，求解形如x2=a（a≥0）的方程的方法叫開平方法”.這種引入方式直截了當(dāng)，直指這節(jié)課研究的核心——x2=a（a≥0）這種類型方程的解法，但直接引入含字母的表達(dá)式則比較抽象，不符合學(xué)生由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律.而人教版教材和北師大版教材處理得相對要好一些，都是以實(shí)際例子引入.人教版教材以“油漆刷盒子問題”引入，列出方程x2=25，然后根據(jù)平方根的定義求出x1=5，x2=-5，最后根據(jù)實(shí)際定義得出棱長為5dm.問題雖然簡單，但其解答過程是一個(gè)用一元二次方程模型解決問題的完整過程.這樣的引入關(guān)注了學(xué)生問題解決的能力.北師大版教材則以上一節(jié)課的問題“梯子的低端滑動了多少米”引出課題，注重整個(gè)章節(jié)的整體聯(lián)系，根據(jù)問題列出方程x2+12x-15=0，但學(xué)生要在學(xué)習(xí)這節(jié)課后方能解答該方程.這樣的引入能讓學(xué)生自然產(chǎn)生進(jìn)一步求解問題的愿望，激起學(xué)習(xí)興趣.相較而言，人教版的引入方式更加合適，因?yàn)槠淝榫潮容^簡單，且列出的方程就是這節(jié)課要研究的配方法類型，這既是引入，又是探究（用配方法來解一元二次方程的第一個(gè)探究環(huán)節(jié)），比較自然.

因此，筆者在實(shí)踐中選擇了人教版教材的引入設(shè)計(jì)，盡管問題情境比較簡單，但學(xué)生在解答時(shí)經(jīng)歷了用一元二次方程模型解決實(shí)際問題的完整過程，這對實(shí)現(xiàn)方程大單元目標(biāo)“體會模型思想”是有必要的.而根據(jù)問題列出的簡單方程x2=25，可讓學(xué)生直接想到用開平方法解出方程，這又復(fù)習(xí)了平方根，為接下來探究新知作好鋪墊.這樣的引入設(shè)計(jì)能喚起學(xué)生的記憶，明確現(xiàn)在會求的方程特點(diǎn)是x2=p（p≥0）類型，這既是后續(xù)知識方程轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，又是探究配方法的基礎(chǔ).

三、探究邏輯比較與策略設(shè)計(jì)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求教師注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程.這也是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要途徑.三版教材對配方法的探究邏輯各有特點(diǎn)，具體比較如下.

浙教版教材的探究邏輯順序是方程形式由簡單到復(fù)雜，從具體到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.在每個(gè)環(huán)節(jié)中，教材語言表達(dá)簡明扼要，腳手架不多，這既給了教師和學(xué)生發(fā)揮的空間，又對教師研讀教材和教學(xué)設(shè)計(jì)能力提出了高要求.具體如圖1所示.

人教版教材的探究邏輯編寫非常注重學(xué)生的認(rèn)識發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)，方程類型設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)：x2=25→x2=p（p≥0）→（x+3）2=5→x2+6x+4=0.把對x2=p（p≥0）解的討論環(huán)節(jié)放在求x2=25解的環(huán)節(jié)之后，既是對x2=25類型方程的一般化歸納，又讓學(xué)生更容易實(shí)現(xiàn)化歸，并順利遷移到（x+3）2=5的求解.這樣的編排符合學(xué)生的認(rèn)知，便于學(xué)生理解.具體如圖2所示.

北師大版教材與人教版教材的探究邏輯在總體思路上保持一致，但北師大版更注重學(xué)生的充分體驗(yàn)和獨(dú)立思考能力.教材通過“議一議”環(huán)節(jié)拋出4個(gè)不同類型的具體的一元二次方程，讓學(xué)生充分體驗(yàn)后再提煉出四個(gè)方程都可轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n（n≥0）的形式.要求探究的這幾個(gè)方程還暗藏玄機(jī)，后一個(gè)方程只需變化一步即可得到前一個(gè)方程.這樣環(huán)環(huán)相扣的設(shè)計(jì)，便于學(xué)生獨(dú)立探索，有利于學(xué)生從多個(gè)事例中觀察歸納共同特征，培養(yǎng)化歸思想.具體如圖3所示.

綜上所述，三版教材在探究配方法解一元二次方程時(shí)，分別選擇了“合作學(xué)習(xí)”“探究”“議一議”等方式，讓學(xué)生親身經(jīng)歷配方法的探究過程，都有利于加深學(xué)生對配方法的理解，體會化歸思想.三版教材的探究都從學(xué)生知識的生長點(diǎn)，即平方根的定義出發(fā)，從最簡單的一元二次方程x2=p（p≥0）開始探究，到（x+m）2=n（n≥0）類型，最后到x2+bx+c=0類型，呈現(xiàn)出了知識的螺旋上升特點(diǎn).

但是，要在實(shí)踐中有效設(shè)計(jì)探究活動，教師還需要結(jié)合任教班級的學(xué)情，對教材進(jìn)行重組和再設(shè)計(jì)，使教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.筆者在實(shí)踐中按照如下三步設(shè)計(jì).

第一步：理解x2=p（p≥0）和（x+m）2=p（p≥0）類型的共性，掌握（x+m）2=p（p≥0）類型方程的解法.在前面的引入中，學(xué)生已經(jīng)會根據(jù)平方根定義求出x2=25的解，接下來，筆者提出問題：“類比x2=25的解題過程，你能用同樣的方法解決下列方程嗎？（x-1）2=25;（x-1）2-1=24;x2-2x+1=25.”這三個(gè)方程，實(shí)質(zhì)是同一個(gè)方程的不同形式，如此并列呈現(xiàn)，有利于學(xué)生在自主觀察與嘗試中不斷驗(yàn)證，理解共性，體會整體思想.

第二步：理解配方法就是把方程配成完全平方式的形式加以解決.在學(xué)生已經(jīng)掌握了（x+m）2=p（p≥0）方程的解法之后，筆者再安排挑戰(zhàn)性任務(wù)：“你能解方程x2+6x+4=0嗎？”然后組織學(xué)生討論，通過觀察方程的結(jié)構(gòu)與完全平方式的聯(lián)系找到突破點(diǎn)，領(lǐng)悟解決此類方程可把方程配成完全平方式的形式解決，體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

第三步：用框圖呈現(xiàn)解題全過程，突出配方與降次，發(fā)現(xiàn)解一元二次方程的基本思路.實(shí)踐中，筆者采取人教版教材的框圖形式（九年級上冊第7頁）突出方程x2+6x+4=0的每一步解法，提出問題：“（1）移項(xiàng)后，方程兩邊為什么加上9？加上其他數(shù)字可以嗎？（2）通過配方法，方程最后化簡為x+3=√5和x+3=-√5兩個(gè)方程，由此你認(rèn)為解一元二次方程的基本思想是什么？”以此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步掌握配方法的基本步驟，發(fā)現(xiàn)解一元二次方程的基本思想就是降次，從而進(jìn)一步理解配方法.

綜上所述，通過比較多版本教材，教師可提高教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性，設(shè)計(jì)出能促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)環(huán)節(jié).但是，在實(shí)踐中教師需要注意三個(gè)方面的問題：（1）明確課程標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的依據(jù);（2）抓住各版本教材的共性;（3）依據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

[1]許秋香.深度學(xué)習(xí)視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略[J].中學(xué)課程資源，2022（1）：30-31，41.

[2]方濤.指向深度學(xué)習(xí)的深度備課——以浙教版初中“阿基米德原理”教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].物理教師，2019（9）：39-43.