黃小津，胡超迪，魏 巍，李加勝

（1.機(jī)械制造工藝研究所中國(guó)工程物理研究院，四川 綿陽(yáng) 621900）（2.上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240）

1 引言

在工程實(shí)際中，往往可以通過(guò)消除誤差來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制，而其中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是采用何種方式抑制各種不確定的外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)控制的影響。PID控制的核心思想是基于誤差的反饋控制，控制算法將輸出信號(hào)采集，并與輸入信號(hào)作差，然后將該誤差作比例、積分、微分后進(jìn)行線性相加組合，得到被控對(duì)象的控制信號(hào)。

文獻(xiàn)[1]提出了基于PID進(jìn)行改進(jìn)和創(chuàng)新的自抗擾控制技術(shù)，它繼承了PID控制的主要思想，即狀態(tài)誤差反饋，又克服了其系統(tǒng)快速響應(yīng)與容易產(chǎn)生超調(diào)之間的矛盾，并擁有線性誤差反饋所不具有的特點(diǎn)，更具有其獨(dú)有的擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償?shù)暮诵乃枷?。自抗擾控制方法提出后，已經(jīng)有眾多的學(xué)者、工程師展開(kāi)了大量的理論研究與工程應(yīng)用。

文獻(xiàn)[2]根據(jù)Lyapunov 函數(shù)思想研究了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）的誤差，并列出提高其估量精度的參數(shù)所應(yīng)滿足的條件，研究了存在干擾條件下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的范圍以及在無(wú)干擾條件下穩(wěn)定的充分條件。

文獻(xiàn)[3-4]深入研究了不同非線性因素下自抗擾控制系統(tǒng)的收斂性，分別基于單輸入單輸出和多輸入多輸出非線性系統(tǒng)進(jìn)一步證明了在閉環(huán)條件下的收斂程度。文獻(xiàn)[5-6]詳細(xì)分析了描述函數(shù)法對(duì)包含非線性自抗擾控制系統(tǒng)的極限環(huán)。文獻(xiàn)[7-9]分析研究了Lyapunov穩(wěn)定性、絕對(duì)穩(wěn)定性以及描述函數(shù)法的極限環(huán)對(duì)自抗擾控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。目前，自抗擾控制技術(shù)已經(jīng)在控制領(lǐng)域，特別是針對(duì)一些擁有非線性，大擾動(dòng)，模型不確定等特性的控制系統(tǒng)，有了大量的研究與應(yīng)用。文獻(xiàn)[10]研究了自抗擾控制技術(shù)在冷軋生產(chǎn)過(guò)程中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[11]研究了自抗擾控制技術(shù)在微機(jī)電換能器上的應(yīng)用。文獻(xiàn)[12]研究了自抗擾控制策略的球磨機(jī)制粉系統(tǒng)，通過(guò)理論與實(shí)驗(yàn)證明了自抗擾控制算法具有較好的抗干擾性以及魯棒性。文獻(xiàn)[13]研究了自抗擾控制技術(shù)在AUV航向控制中的應(yīng)用。這類應(yīng)用的特點(diǎn)是系統(tǒng)未知、為非線性、會(huì)受外擾等多種因素影響。

為直線伺服平臺(tái)設(shè)計(jì)了自抗擾控制算法，通過(guò)數(shù)值仿真研究了該算法中一些參數(shù)對(duì)直線伺服平臺(tái)控制性能的影響，比較了在系統(tǒng)中自抗擾控制算法與傳統(tǒng)PID控制算法對(duì)階躍響應(yīng)以及常值干擾的控制效果?；趍atlab仿真與實(shí)驗(yàn)，對(duì)比分析了自抗擾控制算法與PID控制算法抗干擾性能和優(yōu)缺點(diǎn)。在自抗擾控制實(shí)驗(yàn)中，對(duì)直線伺服系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了模型辨識(shí)與自抗擾控制，觀察自抗擾控制下的階躍響應(yīng)并在加入模擬常值干擾后觀察系統(tǒng)響應(yīng)，對(duì)自抗擾控制算法能迅速抑制干擾進(jìn)行了研究。

2 自抗擾控制

對(duì)外部擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)并據(jù)此進(jìn)行補(bǔ)償是自抗擾控制原理的精髓所在。一般的自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)，如圖1所示。自抗擾控制通常由四個(gè)部分組成：根據(jù)輸入信號(hào)安排合適中間過(guò)程的過(guò)渡過(guò)程安排部分、可以估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)并估計(jì)擾動(dòng)的系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)部分、線性或者非線性的狀態(tài)誤差反饋部分和根據(jù)估計(jì)的擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償?shù)臄_動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償部分。

圖1 自抗擾控制框圖Fig.1 Block Diagram of ADRC

2.1 狀態(tài)誤差反饋

反饋機(jī)制是受控系統(tǒng)特征。反饋機(jī)制能在一定范圍內(nèi)使系統(tǒng)性能按人的意愿得到改善，負(fù)反饋機(jī)制還具有一定的抑制微小擾動(dòng)的作用。由前文可知自抗擾控制器的狀態(tài)誤差反饋接收的誤差是設(shè)定值的誤差以及其微分的誤差，相當(dāng)于實(shí)現(xiàn)PD 控制。傳統(tǒng)的線性PD控制的誤差反饋律如下所示：

式中：u0—輸出的控制量；e1、e2—控制量誤差以及其微分誤差；β1、β2—參數(shù)。

除了線性的狀態(tài)誤差反饋形式之外，還有很多非線性的形式可以采用，參考文獻(xiàn)[1]對(duì)不同的非線性形式做了大量分析，證明適當(dāng)?shù)姆蔷€性反饋比線性反饋效率高很多。文獻(xiàn)[6]提出了如下一些非線性形式的狀態(tài)誤差反饋：

式中：α1、α2、β1、β2、δ、r、h1、c—參數(shù)；函數(shù)fal(e，α，δ)可表示成：

采用使用非線性反饋式（4）作為反饋控制律。

2.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

在反饋控制系統(tǒng)中，負(fù)反饋對(duì)外界擾動(dòng)有一定的抑制作用。而在自抗擾控制，就是利用擴(kuò)張觀測(cè)器通過(guò)系統(tǒng)的輸入輸出來(lái)對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行精確的估計(jì)，根據(jù)擾動(dòng)的估計(jì)值進(jìn)行前饋補(bǔ)償從而消除擾動(dòng)影響的控制方法。

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器借用了狀態(tài)觀測(cè)器的思想，把能影響被控輸出的擾動(dòng)當(dāng)作新的狀態(tài)變量來(lái)觀測(cè)，根據(jù)控制系統(tǒng)的輸入與輸出信息，估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)變量與這個(gè)新的狀態(tài)變量。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。

圖2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器框圖Fig.2 Block Diagram of Expansion State Observer

對(duì)于如式（6）所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)原有狀態(tài)變量x1，x2，現(xiàn)將f(x1，x2)擴(kuò)張為狀變量x3，若設(shè)f(x1，x2)的導(dǎo)數(shù)為w(t)，則擴(kuò)張后的系統(tǒng)變成式（7）。

式中：x1，x2—系統(tǒng)狀態(tài)變量；b—系統(tǒng)固有參數(shù)。

對(duì)于式（7）所示的狀態(tài)方程，可建立如下離散形式的狀態(tài)觀測(cè)器，只要選擇好參數(shù)，該觀測(cè)器z1、z2、z3能很好地分別估計(jì)狀態(tài)變量x1、x2、x3。

式中：δ、β01、β02、β03、a1、a2—參數(shù)。

關(guān)于這些參數(shù)的整定，參考文獻(xiàn)[1]給出了說(shuō)明，z3估計(jì)f(x1，x2)的誤差，z2估計(jì)x2的誤差，z1估計(jì)x1的誤差的大小分別約為為f(x1，x2)的大小，可估計(jì)其最大值計(jì)算。那么只要取得β03足夠小于w0，β02、β01取得足夠小，理論上就能獲得一個(gè)小的穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差。

3 自抗擾控制仿真分析

為說(shuō)明自抗擾控制的優(yōu)勢(shì)，將模擬控制一個(gè)一維直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，對(duì)同一個(gè)二階系統(tǒng)分別采取自抗擾控制和傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行仿真。仿真中調(diào)整自抗擾控制中各項(xiàng)參數(shù)如下：

1.r0=1e6；h0=5e-4；%安排過(guò)渡過(guò)程參數(shù)；

2.r1=0.5/h^2；h1=5*h；c=0.05；%非線性組合參數(shù)；

3.β01=1/h；β02=3.3e-1/h^2；β03=1e-3/h^3；δ=h；a1=1；a2=1；

%擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器參數(shù)；

4.b0=1e7；%擾動(dòng)補(bǔ)償參數(shù)；

5.k=1e7；b=100；a=50；%二階系統(tǒng)參數(shù)。

仿真中調(diào)整PID控制中各項(xiàng)參數(shù)如下：

1.P=5e-5；2.I=2.5e-9；3.D=1e-5。

3.1 階躍響應(yīng)分析比較

兩種控制方法有相似的位移曲線，如圖3所示。在當(dāng)前參數(shù)下，兩者都沒(méi)有超調(diào)，且兩者過(guò)渡時(shí)間相近?？梢园l(fā)現(xiàn)，PID控制的響應(yīng)在該參數(shù)下較快，但隨著穩(wěn)態(tài)誤差的減小，糾正速度逐漸降低，最終達(dá)到接近穩(wěn)定的狀態(tài)反而沒(méi)有自抗擾控制快。自抗擾控制的相應(yīng)曲線上看，該曲線幾乎以直線靠近階躍輸入設(shè)定值，快速的同時(shí)沒(méi)有超調(diào)。事實(shí)上，可以比較兩種控制的速度變化曲線來(lái)更細(xì)致地分析。兩種控制方法的速度曲線，如圖4所示。

圖3 PID與ADRC的階躍響應(yīng)Fig.3 Step Response of PID and ADRC

圖4 ADRC和PID階躍響應(yīng)的速度Fig.4 Velocity of the Step Response of ADRC and PID

可以看出，PID方法的速度一開(kāi)始產(chǎn)生了較大的跳變，這種跳變是不合理的，可能會(huì)對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)造成影響或者較大的速度超出系統(tǒng)能達(dá)到的范圍。而圖4中自抗擾控制方法的速度曲線在初始時(shí)基本上呈現(xiàn)等邊三角的形狀，這是受到安排過(guò)渡過(guò)程的作用形成的設(shè)定速度曲線，相比PID控制可以看出其最大速度更小。因而可以認(rèn)為自抗擾控制的響應(yīng)軌線比傳統(tǒng)PID控制更合理。

3.2 抗干擾能力分析比較

自抗擾控制的核心內(nèi)容和優(yōu)勢(shì)所在是控制方法的中的干擾估計(jì)和補(bǔ)償，對(duì)自抗擾控制和PID控制抗干擾能力的分析比較可以說(shuō)明其抗干擾能力的強(qiáng)大。

仿真將在第5s時(shí)兩種控制方法下所控制的二階系統(tǒng)的輸入值中增加幅值不同的常值干擾和低頻正弦干擾，觀察兩種控制方法下的最終輸出響應(yīng)來(lái)比較其抗干擾能力。

在第5s時(shí)加入常值干擾后兩種控制方法下系統(tǒng)的輸出，如圖5所示。加入的干擾值為1V、0.5V、0.1V，圖中可以看出，PID控制對(duì)常值干擾是有一定的抑制作用，但是抑制作用很差，恢復(fù)時(shí)間已經(jīng)基本超出了圖中5s的范圍。而在干擾小于1V的范圍內(nèi)，自抗擾控制的輸出基本不受干擾的影響，在圖中已經(jīng)無(wú)法看出。在加大干擾后，自抗擾控制的輸出，如圖6所示。

圖5 ADRC與PID常值擾動(dòng)下的響應(yīng)Fig.5 Response of ADRC and PID with Constant Disturbance

圖6 ADRC更大常值擾動(dòng)下的響應(yīng)Fig.6 Response of ADRC with Lager Constant Disturbance

系統(tǒng)的輸出在5V干擾下仍未產(chǎn)生明顯的影響，在干擾繼續(xù)增大后才產(chǎn)生比較明顯的影響，但在干擾量為8V的作用下時(shí)，系統(tǒng)恢復(fù)設(shè)定值的時(shí)間約為0.5s左右，比圖4中PID控制的恢復(fù)時(shí)間短很多。因此，從可控干擾的大小和恢復(fù)跟蹤設(shè)定值的時(shí)間上來(lái)看，自抗擾控制比PID控制都有較大優(yōu)勢(shì)。

自抗擾的參數(shù)較多，過(guò)大或過(guò)小的參數(shù)選擇會(huì)引起系統(tǒng)不穩(wěn)定、產(chǎn)生超調(diào)或者響應(yīng)、抗干擾能力減弱等情況。但很多參數(shù)的選擇范圍都比較大，整定較為容易，可以根據(jù)文獻(xiàn)[1]建議的參數(shù)做適當(dāng)調(diào)整來(lái)確定參數(shù)。

4 自抗擾控制實(shí)驗(yàn)

選用的直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)設(shè)計(jì)，如圖7所示。主要包含：直線電機(jī)、大理石底座、氣浮軸承及平臺(tái)導(dǎo)軌、光柵等。整個(gè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)將被置于一氣浮隔振臺(tái)上，以減小環(huán)境振動(dòng)的影響。

圖7 直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)物圖Fig.7 Picture of Linear Motion Platform

4.1 伺服系統(tǒng)辨識(shí)

伺服系統(tǒng)的辨識(shí)能了解系統(tǒng)特性，以更好地控制系統(tǒng)，在之后自抗擾控制中也可以根據(jù)辨識(shí)所得的系統(tǒng)選擇合適的參數(shù)。為辨識(shí)該二階系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)輸入3 V的常值控制信號(hào)，通過(guò)NI Compact測(cè)量系統(tǒng)記錄系統(tǒng)輸入與同步的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)輸出，即系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。系統(tǒng)輸出，如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)階躍響應(yīng)Fig.8 Step Response of the System

利用matlab系統(tǒng)辨識(shí)工具箱對(duì)改輸出與3 V常值輸入進(jìn)行傳遞函數(shù)辨識(shí)，模型為2極點(diǎn)0零點(diǎn)，得傳遞函數(shù)如下式（9）所示，擬合度達(dá)到了99.85%，可以認(rèn)為建模與辨識(shí)是準(zhǔn)確的。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

自抗擾算法參數(shù)選擇文獻(xiàn)[1]，針對(duì)二階系統(tǒng)提出的參數(shù)做了微調(diào)，其中b0為1.423×108，狀態(tài)非線性反饋參數(shù)中，為了減小位置誤差，參數(shù)C減小2個(gè)量級(jí)。在實(shí)驗(yàn)參數(shù)的自抗擾控制下，伺服系統(tǒng)的105μm階躍響應(yīng)，如圖9所示。系統(tǒng)響應(yīng)與仿真結(jié)果基本符合，在該參數(shù)下略有超調(diào)?；痉€(wěn)定后存在噪聲和震蕩，穩(wěn)定后的截取一秒內(nèi)的誤差，如圖10所示，均方根值較大，達(dá)到了0.5μm。

圖9 伺服系統(tǒng)階躍響應(yīng)Fig.9 Step Response of the Servo System

圖10 穩(wěn)定后的誤差Fig.10 Error After Being Stable

實(shí)驗(yàn)中，使用模擬添加常值干擾的方式，干擾常值分別是0.1 V、2 V，結(jié)果如圖11、圖12所示。

圖11 0.1V常值擾動(dòng)下響應(yīng)Fig.11 Response of 0.1V Constant Disturbance

圖12 2V常值擾動(dòng)下響應(yīng)Fig.12 Response of 2V Constant Disturbance

圖中0時(shí)刻為擾動(dòng)加入時(shí)刻。圖中可以看出，在0.1V時(shí)幾乎看不出影響，一方面也是因?yàn)樵肼曔^(guò)大。在2V時(shí)，可以看出出現(xiàn)一個(gè)尖峰，隨后回到穩(wěn)定狀態(tài)，所用時(shí)間分別為0.1s左右，產(chǎn)生的最大偏差為20μm、95μm左右?？梢钥闯觯钥箶_控制具有對(duì)常值擾動(dòng)的抑制作用，擾動(dòng)越大，誤差變動(dòng)越大與恢復(fù)時(shí)間越久。

5 結(jié)論

針對(duì)直線伺服平臺(tái)二階系統(tǒng)設(shè)計(jì)了自抗擾控制算法，基于基本的自抗擾控制算法，采用了最速控制綜合函數(shù)形式的非線性狀態(tài)誤差反饋；擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)輸入為控制器直接輸出，即最后將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為積分串聯(lián)型。根據(jù)Matlab仿真結(jié)果，通過(guò)與PID控制算法比較來(lái)驗(yàn)證自抗擾算法的可行性和優(yōu)勢(shì)，比較包含了階躍響應(yīng)和常值干擾影響下系統(tǒng)的性能，自抗擾控制對(duì)比PID控制有如下優(yōu)勢(shì)：對(duì)階躍響應(yīng)能平衡快速響應(yīng)與無(wú)超調(diào)，對(duì)常值擾動(dòng)的抑制能力明顯更強(qiáng)。在自抗擾控制實(shí)驗(yàn)中，對(duì)直線伺服系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了模型辨識(shí)與自抗擾控制，觀察了自抗擾控制下的階躍響應(yīng)并在加入模擬常值干擾后觀察了系統(tǒng)響應(yīng)，結(jié)果顯示。自抗擾控制能迅速抑制干擾作用。