韓 偉，齊 龍，肖中云

（中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，四川 綿陽 621000）

1 引言

旋翼是直升機(jī)不可或缺的重要部件，其動(dòng)力學(xué)特性對于直升機(jī)的動(dòng)力穩(wěn)定性和安全性具有不可忽視的影響，對于旋翼，一些看起來不重要的設(shè)計(jì)變化都可能導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)特性的顯著變化[1]。為了保證滿意的動(dòng)力學(xué)特性，就必須在研制的過程中予以控制，而這些特性主要指其模態(tài)特性：固有頻率和振型等。

槳葉在實(shí)際振動(dòng)中，三個(gè)自由度通常是耦合的，其傳統(tǒng)的固有振動(dòng)特性計(jì)算方法主要包括：假設(shè)模特法、傳遞矩陣法和有限元法。最早使用的假設(shè)模態(tài)法是假設(shè)一組滿足相應(yīng)邊界條件的函數(shù)序列，去逼近要求的模態(tài)函數(shù)，應(yīng)用能量原理求得槳葉固有頻率和振型的方法，此法主要包括拉格朗日法、瑞利法和伽遼金法，這種方法很不方便，目前已經(jīng)很少使用。文獻(xiàn)[2-3]基于傳遞矩陣法分析了旋翼的固有振動(dòng)特性，雖然該法簡單方便，計(jì)算效率較高，但這種方法容易遺漏固有頻率，特別是當(dāng)兩個(gè)固有頻率很接近時(shí)。文獻(xiàn)[4-5]基于有限元方法分析了旋翼的固有振動(dòng)特性，但這種方法主要適用于單體問題。文獻(xiàn)[6]基于多體動(dòng)力學(xué)程序建立了旋翼的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，文獻(xiàn)[7]基于多體動(dòng)力學(xué)方法計(jì)算了鉸接式旋翼的固有頻率，但是這種基于都是基于變分原理的完全積分方法，存在不可避免的剪切自鎖現(xiàn)象，有限體積方法具有積分守恒的特點(diǎn)，能有效避免剪切自鎖現(xiàn)象[8-9]。目前少有文獻(xiàn)基于有限體積法對旋翼系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的固有振動(dòng)特性分析。

基于有限體積法結(jié)合多體動(dòng)力學(xué)方法，編寫相關(guān)程序建立了旋翼的多體模型，其具有非線性負(fù)扭、后掃掠角并計(jì)及槳轂的扭轉(zhuǎn)剛度，首先計(jì)算了旋翼在工作轉(zhuǎn)速下的固有頻率和振型，對比分析表明有限體積法能夠?qū)π磉M(jìn)行準(zhǔn)確的模擬并展現(xiàn)此方法不存在剪切自鎖的現(xiàn)象；同時(shí)還研究了轉(zhuǎn)速、后掃掠結(jié)構(gòu)和槳榖剛度對旋翼固有頻率的影響。

2 有限體積梁理論

2.1 控制方程

有限部分梁的兩端為點(diǎn)a和點(diǎn)b，梁上任意一個(gè)截面的內(nèi)力?為：

式中：F、M—梁截面的內(nèi)力和內(nèi)力矩；?a、?b—兩端所受到的內(nèi)力和內(nèi)力矩記；—端點(diǎn)a到端點(diǎn)b的梁域，在梁域上有如下的平衡公式：

其中，力臂矩陣U定義如下式所示：

式中：ra、rb—梁的兩個(gè)端點(diǎn)的位置坐標(biāo)向量，上式中利用支點(diǎn)代替梁截面的剪切中心來簡化計(jì)算平衡方程中的力矩項(xiàng)，r0是支點(diǎn)的位置坐標(biāo)向量，支點(diǎn)一般取梁的兩個(gè)端點(diǎn)。外部力定義如下：

其中，τ是廣義上的外力和外力矩，其包含外部荷載τout和慣性力τin兩部分，其中慣性力可表示如下：

式中：M—梁的慣性矩陣；r?—線加速度；ω?—角加速度。

2.2 數(shù)值方法

槳葉模型采用幾何精確梁模型［10］，此模型為三維模型，對于梁的狀態(tài)用四個(gè)變量（軸向變形u、擺振變形v、揮舞變形w和描述截面轉(zhuǎn)動(dòng)變形量的Gibbs-Rodriguez參數(shù)）描述。

采用三節(jié)點(diǎn)有限體積梁單元對梁模型進(jìn)行離散，如圖1 所示。每個(gè)三節(jié)點(diǎn)梁單元有兩個(gè)控制中心節(jié)點(diǎn)Ⅰ和Ⅱ，中心節(jié)點(diǎn)采用2個(gè)高斯積分點(diǎn)使得多項(xiàng)式的積分達(dá)到了三階精度，每個(gè)三節(jié)點(diǎn)有限體積梁單元中心節(jié)點(diǎn)具有四個(gè)變量（軸向變形u、擺振變形v、揮舞變形w和截面轉(zhuǎn)動(dòng)Gibbs-Rodriguez 參數(shù)g），有限體積梁模型的兩個(gè)控制中心節(jié)點(diǎn)位于參考系的坐標(biāo)和sII=，控制體中心節(jié)點(diǎn)之間的邊界面可以通過兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)的變量插值得到。

圖1 三節(jié)點(diǎn)有限體積梁單元受內(nèi)力和外力示意圖Fig.1 The Three-Node Finite Volume Beam Element Under Internal and External Loads

存在如下所示的二次多項(xiàng)式組合函數(shù)(Nj(s))：

于是，梁單元上的任意一點(diǎn)的位置r(s)和方向參數(shù)g(s)都可以表示為節(jié)點(diǎn)1、2、3相應(yīng)參數(shù)的線性組合。參考線上任意一點(diǎn)的位置為：

式中：Nj—第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)；rj—第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置向量，上式表示的是以j為指針的求和運(yùn)算，其中j=1，2，3。同理，任意一點(diǎn)的方向參數(shù)可表示為：

式中：gj—第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的方向參數(shù)，當(dāng)s=-1，0，1分別對應(yīng)的是3個(gè)節(jié)點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的位置。

離散后，三節(jié)點(diǎn)有限體積梁單元受力，如圖1所示。該單元的離散方程包含三段梁的平衡方程，其公式如下所示：

式中：U—力臂矩陣；?I、?II—兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)Ⅰ和Ⅱ的內(nèi)力和內(nèi)力矩；F—廣義上的外力項(xiàng)。

列出所有離散單元的平衡方程，并進(jìn)行方程組裝，可得到一般矩陣形式的方程，其壓縮形式如下：式中：M(q，t)—整體的質(zhì)量矩陣；Ks(q，t)—結(jié)構(gòu)剛度矩陣；自由度向量；—空氣動(dòng)力或者其它的外部力以及慣性力。

2.3 固有頻率提取

對于上述的振動(dòng)方程，去掉外力項(xiàng)，即τout=0，其動(dòng)力學(xué)變?yōu)槿缦碌囊话阈问剑?/p>

上式還可以進(jìn)一步寫成如下的簡化形式：

式中：K(q，t)=Ks(q，t)+Ω2KCF(q，t)，由梁的理論可假設(shè)位移響應(yīng)滿足如下關(guān)系：

將式（12）寫成如下矩陣形式：

式中：ωn—系統(tǒng)的固有頻率，ωn對應(yīng)的解qn是系統(tǒng)的振型向量。考慮相應(yīng)的邊界條件以后，考慮相關(guān)位移約束方程后，求解上述頻率方程，即可得到系統(tǒng)的固有頻率和振型。例如對于固定約束，該處線位移和角位移均為0，而自由端的彎矩和剪力都為0。

3 旋翼的有限體積多體模型

基于有限體積C0梁單元建立了現(xiàn)代先進(jìn)直升機(jī)UH-60A旋翼的多體模型，該旋翼具有許多先進(jìn)直升機(jī)旋翼的幾何特征，如非線性負(fù)扭轉(zhuǎn)、后掠和不同的翼型組合等，槳葉的非線性扭轉(zhuǎn)角分布，如圖2所示。文獻(xiàn)［7，11］給出了較為詳細(xì)的結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)。該旋翼由四片槳葉組成，槳葉的展弦比15.3，后掠位置位于槳葉的93%R 處，后掠角為20°。槳葉由兩種翼型構(gòu)成，兩段為SC1095翼型，中間部分為SC1095-R8翼型。槳葉的具體原始數(shù)據(jù)，如表1所示。

圖2 UH-60A槳葉的扭轉(zhuǎn)角分布Fig.2 The Torsion Angle Distribution of UH-60A Blade

表1 UH-60A旋翼的相關(guān)參數(shù)Tab.1 The Correlation Parameter of UH-60A Blade

槳葉模型采用三節(jié)點(diǎn)有限體積梁單元建模，一共才采用了23個(gè)梁單元，直梁部分具有19個(gè)梁單元，后掃掠結(jié)構(gòu)具有4個(gè)梁單元，槳轂采用孤立的剛性節(jié)點(diǎn)模擬，如圖3所示。支撐點(diǎn)采用固定約束，旋翼根部采用變距鉸、揮舞鉸和擺振鉸約束，并在變距、揮舞和擺振方向上施加變形彈簧。為了考慮旋翼的變距系統(tǒng)的剛度對其固有頻率的影響，將其等效為一常數(shù)剛度值，施加在旋翼根部的變距鉸上，剛度值K0=84708N·m/rad[12]。槳葉的慣性通過集中質(zhì)量單元來考慮，集中質(zhì)量單元附加在梁單元的節(jié)點(diǎn)上。旋翼槳葉的后掃掠結(jié)構(gòu)，采用真實(shí)拓?fù)浣⒛Ｐ?，考慮其幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對其固有特性的影響。該模型為這里的第Ⅰ種模型。

圖3 UH-60A旋翼的有限體積梁模型Fig.3 Finite Volume Beam Model of UH-60A

共建立三種不同的旋翼模型，以詳細(xì)分析不同的邊界條件、模型參數(shù)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對旋翼固有特性的影響，第Ⅱ種旋翼模型，除槳葉無后掃掠結(jié)構(gòu)外，與模型Ⅰ完全相同。其中第Ⅲ種旋翼模型的槳葉根部采用擺振鉸、揮舞鉸，無扭轉(zhuǎn)彈簧，即槳葉根部節(jié)點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)變形為零，其扭轉(zhuǎn)自由度被完全鎖死，如表2所示。

表2 三種模型的對比Tab2. The Comparison of Three Modals

4 計(jì)算結(jié)果與分析

在上述有限體積多體模型的基礎(chǔ)上，基于非對稱特征值QZ分解法計(jì)算了UH-60A旋翼在總距角為14.5°、工作轉(zhuǎn)速狀態(tài)下的扭轉(zhuǎn)、揮舞和擺振的前幾階固有頻率。這里的頻率計(jì)算結(jié)果與參考值的對比[7]，如表3所示。表中的頻率值按工作轉(zhuǎn)速無量綱化，并給出了相應(yīng)模態(tài)的固有振型。

表3 計(jì)算結(jié)果與參考值的對比Tab.3 The Comparison of Computation Values and Reference Values

由上表可知，計(jì)算的頻率值與參考值的誤差均在工程計(jì)算誤差要求范圍以內(nèi)，最大誤差不超過7%，由此驗(yàn)證了這里的模型是可靠的。需要說明的是文獻(xiàn)[7]以直梁模型對槳葉模型進(jìn)行了等效化處理，也導(dǎo)致了這里計(jì)算值與參考值存在一定的差別。

計(jì)算所得的各階模態(tài)對應(yīng)的前五階揮舞、前兩階擺振和前兩階扭轉(zhuǎn)振型，如圖4所示。由圖可見，鉸接式帶后掃掠角的旋翼的一階揮舞和一階擺振振型呈直線式分布，由于該旋翼考慮了旋翼根部傾轉(zhuǎn)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度對其固有特性的影響，其扭轉(zhuǎn)振型在根部的值具有一定的大小，其它各階的計(jì)算結(jié)果也分別符合鉸接式旋翼的分布規(guī)律。圖標(biāo)F、L、T分別表示揮舞、擺振和扭轉(zhuǎn)模態(tài)。

圖4 UH-60A旋翼的模態(tài)振型Fig.4 The Mode Shapes of UH-60A

計(jì)算了旋翼在（0～2）倍工作轉(zhuǎn)速時(shí)的固有頻率，以研究轉(zhuǎn)速對旋翼固有頻率的影響，計(jì)算結(jié)果，如圖5所示。圖中轉(zhuǎn)速采用無量綱轉(zhuǎn)速表示。由圖可知，轉(zhuǎn)速對旋翼的固有頻率具有明顯的“剛化效應(yīng)”，各階頻率隨著轉(zhuǎn)速的增大而增大，其對揮舞和擺振頻率的剛化效應(yīng)比較明顯，而對扭轉(zhuǎn)頻率的剛化效應(yīng)不是很明顯。

圖5 轉(zhuǎn)速對旋翼頻率的影響Fig.5 The Effect of Rotor Speed on Rotor Frequency

為了進(jìn)一步分析邊界條件對旋翼固有頻率的影響，對模型Ⅲ進(jìn)行了固有特性計(jì)算，并與模型Ⅰ進(jìn)行了對比分析，如表4所示。由表可知，當(dāng)槳葉根部的扭轉(zhuǎn)剛度很大時(shí)，采用兩種模型計(jì)算結(jié)果很接近，當(dāng)槳葉根部的扭轉(zhuǎn)剛度不是特別大時(shí)，就必須考慮旋翼變距系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度對槳葉固有頻率的影響。

圖6 后掃掠結(jié)構(gòu)對旋翼頻率的影響Fig.6 The Effect of Back Swept Structure on the Frequency of Blade

表4 模型Ⅰ和模型Ⅱ的扭轉(zhuǎn)頻率計(jì)算結(jié)果的對比Tab.4 The Comparison of Torsion Frequency of ModalⅠand ModalⅡ

對于帶槳轂彈簧的鉸接式旋翼，槳葉的根部受到彈簧的彈性約束。當(dāng)槳葉根部的擺振剛度K2=0～212×103N·m/rad時(shí)，頻率計(jì)算結(jié)果如所示，橫坐標(biāo)為2的指數(shù)值。由圖7（b）可知，與扭轉(zhuǎn)頻率的變化規(guī)律類似，前二階擺振頻率隨著擺振剛度的增加而較快增加，且增加的幅度越來越小，最后趨于水平。當(dāng)槳葉根部的揮舞剛度K3=0～212×103N·m/rad時(shí)，其頻率計(jì)算結(jié)果，如圖7（c）所示。橫坐標(biāo)為2的指數(shù)值。由圖可知，揮舞頻率的變化規(guī)律與扭轉(zhuǎn)和擺振頻率類似，前五階揮舞頻率隨著根部揮舞剛度的增加而較快增加，且增加的幅度越來越慢，最后趨于水平。

圖7 扭轉(zhuǎn)、擺振和揮舞剛度對旋翼固有頻率的影響Fig.7 The Effect of Torsion and Level and Flap Stiffness on Frequency of Blade

5 結(jié)論

基于有限體積法，采用有限體積梁單元建立了旋翼的多體模型，基于非對稱特征值QZ分解法計(jì)算了高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)條件下該旋翼的固有頻率和振型，并分別分析了轉(zhuǎn)速、后掃掠結(jié)構(gòu)和槳葉根部約束剛度對其固有特性的影響。得出以下結(jié)論：

（1）基于有限體積方法能夠準(zhǔn)確計(jì)算旋翼的固有頻率和振型，并可方便地計(jì)及槳葉根部變距系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度，誤差在可接受范圍之內(nèi)；

（2）轉(zhuǎn)速對旋翼的固有頻率具有明顯的剛化效應(yīng)，尤其是對擺振和揮舞頻率的剛化效應(yīng)大，而對扭轉(zhuǎn)頻率的剛化效應(yīng)?。?/p>

（3）槳葉的后掃掠結(jié)構(gòu)對其擺振、揮舞頻率影響很小，而后掃掠結(jié)構(gòu)降低了槳葉的扭轉(zhuǎn)頻率，在旋翼的設(shè)計(jì)中應(yīng)該適當(dāng)加以考慮；

（4）槳葉根部的扭轉(zhuǎn)、擺振和揮舞剛度分別對其扭轉(zhuǎn)、擺振和揮舞振型的頻率都有較大的影響，在計(jì)算其固有特性時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)適當(dāng)加以考慮，不宜一概完全忽略不計(jì)，以免降低計(jì)算精度。