駱意

【摘要】新中考實施后，中考數(shù)學試題呈現(xiàn)出基礎性、新穎性、創(chuàng)新性并重的局面，相當一部分學生對此類題目常常感到束手無策。在此背景下，應當有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想，提高學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;新中考;建模思想;課例

2020年起，廣東省初中學業(yè)水平考試實行全省統(tǒng)一命題、統(tǒng)一試卷、統(tǒng)一考試時間。按照《教育部關(guān)于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》（教基〔2019〕15號）要求，各學科命題均以《義務教育課程標準（2011年版）》為依據(jù)，體現(xiàn)課程改革的理念與要求，減少單純記憶、機械訓練性質(zhì)的內(nèi)容，突出對學科主干知識和學科素養(yǎng)的考查，增強與學生生活、社會實踐的聯(lián)系，注重考查學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，引導發(fā)展素質(zhì)教育。

中考數(shù)學試題呈現(xiàn)出基礎性、新穎性、創(chuàng)新性并重的局面，而我們的一部分學生對此類題目常常感到束手無策。

新中考背景下，如何有效地提高學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力呢？筆者認為，應有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想。數(shù)學課程標準指出：數(shù)學學習的最重要成果就是學會建立數(shù)學模型，用以解決實際問題。培養(yǎng)學生的建模思想，讓學生經(jīng)歷建模和解模過程，有助于提高學生數(shù)學建模、抽象思維等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)。

什么是數(shù)學建模思想？就是把現(xiàn)實生活中的問題抽象，抓住問題的本質(zhì)特征，用數(shù)學符號表示出來，它反映的是同類問題的共同特征，求出模型的解后，需要回歸到具體的問題中，驗證解的合理性，它包含數(shù)學建模和模型思想兩個方面：一是數(shù)學建模：數(shù)學符號、數(shù)學公式及數(shù)量關(guān)系對現(xiàn)實問題原型簡化的本質(zhì)描述。

二是模型思想：是學生遇到問題，通過分析，理清其中的各種關(guān)系，提出關(guān)鍵信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，進而建立這些信息之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的語言、符號進而抽象，概括出問題的本質(zhì)過程，這個本質(zhì)具有同類問題的共同特征，就是數(shù)學模型，對這個模型求解，獲得問題的解，最后回歸到問題，驗證解的合理性，體現(xiàn)了一個完整的思維過程。

一、課例分析

題目：（2020·廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，∠ABC=90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2。在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為______。

這是新中考背景下2020年廣東省中考第17題填空壓軸題，題目創(chuàng)設了一個“貓捉老鼠”的新穎情境，抽象出數(shù)學問題，即求線段的最小值問題?？疾榈暮诵闹R點是圓的定義和圓外一點與圓上一點的最值問題，但絕大部分的學生束手無策，不知從何入手，得分十分不理想。

首先，綜合分析學生的解題障礙，主要是：（1）無法識別點E的運動路徑是一段圓弧，本質(zhì)上是對圓的動態(tài)的定義不熟悉。（2）缺乏處理圓外一點與圓上一點最值問題的解決方法。

基于以上分析，筆者做了以下教學設計：

1.立足教材，提出問題：立足教材習題，引出動點路徑問題。

2.多個角度，深化概念：用動點的觀點認識圓的概念及外延，構(gòu)造模型。

3.理解模型，初步應用：理解并簡單運用模型。

4.強化作圖，化歸方法：通過作圖和思考，突破圓外一點到圓上一點距離最值問題解題方法。

5.綜合運用，拓展提升：聚焦中考真題，解決生活情境中“動點最值”問題，提升解題能力。

6.變式教學，遷移應用：能用此類題型的解題思路、步驟去解決不同情境中的問題。

7.課堂小結(jié)，內(nèi)化提升：動點觀念下初中數(shù)學概念的整理。（圓、中垂線、角平分線）

二、教學過程

環(huán)節(jié)一：立足教材，提出問題

情景引入（九年級下冊課本第100頁“想一想”）：在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長為3m的繩子，繩子的另一端栓著一只狗。

問題1：假如繩子始終是緊繃的，那么這只狗繞著這根柱子跑一周所經(jīng)過的路徑是多長？為什么？

問題2：假如繩子不是始終緊繃著的，你還能計算路徑長嗎？

思考：如果我們將柱子看作一個定點B，這只狗看作是一個動點E，則繩子為線段BE，如果BE的長度固定，那么動點E的運動路徑有何特點？

環(huán)節(jié)二：多個角度，深化概念

從動點的角度去理解圓的概念，深化對圓的定義的認識。

構(gòu)造模型

模型特征（條件）：________________

模型結(jié)論：________________________

環(huán)節(jié)三：理解模型，初步應用

如圖，有一架豎直靠在直角墻面的梯子，點E是它的中點。

（1）當梯子固定不動時，BE的長和梯子MN有何關(guān)系？

（2）當梯子下滑時，梯子長度MN保持不變，點E會動嗎？如果會，運動路徑是什么？

解題反思：____________________________。

環(huán)節(jié)四：強化作圖，化歸方法

如圖，假如點D處有一只貓，它是靜止不動的。

（1）這只狗跑到什么位置時，貓和狗的距離最短？請畫出這個位置，并說出你的理由。

（2）這只狗跑到什么位置時，貓和狗的距離最長？請畫出這個位置，并說出你的理由。

解題反思：三點共線，將動點到定點的距離最值問題，化歸為點心距問題。

環(huán)節(jié)五：綜合應用，拓展提升

（2020·廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉。把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，∠ABC=90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2。在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為______。

解題反思：“定點定長模型”初步解題步驟：1.找動點→2.判路徑→3.現(xiàn)圓形→4.點共線→5.構(gòu)直角三角形。

環(huán)節(jié)六：變式教學，遷移提高

（折疊生圓問題）如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，MC=2，E是CD上一動點，將△MCE沿ME翻折得到△MFE.

（1）則AF的最小值為____________.

環(huán)節(jié)七：課堂小結(jié)，內(nèi)化提升

1.本節(jié)課你學到了哪些知識和思想方法？你還有哪些困惑？

2.你認為還有哪些概念可以從動點的角度去認識？

通過這樣的教學設計和課程，一個較難的問題得到了很好的解決，課后再總結(jié)反思。

三、新中考背景下培養(yǎng)學生數(shù)學建模思想的策略

1.立足教材，創(chuàng)設情境的策略

按照新中考的要求，中考命題要增強與學生生活、社會實踐的聯(lián)系，注重考查學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。因此，我們的教學不能“急功近利”地脫離情境直奔知識點去，而應當創(chuàng)設恰當?shù)那榫匙屩R合理地“發(fā)生”和“生長”。教材中有很多很好的素材可供我們選取，立足教材，依標靠本，根據(jù)教學內(nèi)容，合理創(chuàng)設情境，加強新舊知識的聯(lián)系，發(fā)掘新知識的生長點，這是第一步。

2.把問題想在前面的策略

教師施教前，應當充分了解學情，并根據(jù)學情把問題想在前面：學生可能存在的解題障礙是什么？如何突破？需要如何引導？啟發(fā)？如何搭臺階？如何進行教學設計？只有把問題想充分了，才能把教學設計做細做好，才能讓我們的課堂充滿思維的火花。

3.問題串施教的策略

新中考注重考查學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，所以，培養(yǎng)學生的建模思想，我們的課堂不能沒有問題。問題串教學策略是一個很好的方法。數(shù)學課堂的教學，就應該在分析問題和解決問題中引導學生層層生疑，在析疑和釋疑中不斷發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力，提升學生數(shù)學思維的品質(zhì)。我們在教學的時候，要根據(jù)所選擇的題目，設置問題串，幫助學生去解決問題，一方面降低題目的難度，也容易消化所學的知識，另一方面，降低學習難度，將數(shù)學方法融入其中，于無聲處培養(yǎng)學生思維。

4.及時地歸納，反思，建構(gòu)的策略

問題求解完后，應當及時地歸納、反思和構(gòu)建。通過反思，進一步理清條件、結(jié)論，提出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，進而建立它們之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的語言、符號進而抽象、概括出問題的本質(zhì)，這就是建模，體現(xiàn)了一個完整的思維過程。

歸納，反思，建構(gòu)可以以小組合作學習的方式交流討論，讓學生自己找、自己說。為什么不是教師直接講？因為一個題目并不是我們講明白的，是學生悟出來的。即使我們講明白了，學生沒有真正領(lǐng)悟，過兩周學生可能又不會了。

5.注意遷移應用的策略

經(jīng)過反思，運用數(shù)學的語言、符號概括出問題的本質(zhì)，完成建模之后，還要回歸到問題，驗證解的合理性。此時應當注意問題的遷移應用，讓學生運用模型的解，去解決同類問題，達到舉一反三、觸類旁通的目標。

責任編輯? 李? 源