魏 杰, 董 珺

(蘭州工業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)科部, 甘肅 蘭州 730050)

高等數(shù)學(xué)課程作為理工類及經(jīng)管類學(xué)生一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程和解決科技問(wèn)題的重要工具。例如，高等數(shù)學(xué)不僅是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一種重要的表述工具，同時(shí)也成為經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要的分析工具；土木工程專業(yè)的學(xué)生需要利用高數(shù)當(dāng)中的導(dǎo)數(shù)以及偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)中的知識(shí)；通信工程專業(yè)的學(xué)生需要對(duì)重積分以及無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用；材料學(xué)科中，在溶體中存在異質(zhì)相粒子，會(huì)在熱作用下自發(fā)生長(zhǎng)，這種長(zhǎng)大過(guò)程就需要用到高等數(shù)學(xué)中微分方程來(lái)解決，等等。而要會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決專業(yè)問(wèn)題，首先要理解數(shù)學(xué)理論，打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，然后才能與實(shí)際相結(jié)合，而不能拔苗助長(zhǎng)，數(shù)學(xué)沒(méi)學(xué)好就想如何去應(yīng)用。文中的相關(guān)概念和例子見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2]。

1 學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中存在的問(wèn)題

由于一般本科院校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知不夠明確，導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情不高，主要存在以下問(wèn)題：① 高等數(shù)學(xué)中的概念過(guò)于理論化；② 高等數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、法則過(guò)于抽象；③ 高等數(shù)學(xué)中定理的適用范圍不夠清晰；④ 高等數(shù)學(xué)中的某些題型的解題方法過(guò)于繁瑣。

2 良好的教學(xué)方法是啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的源泉

2.1 通過(guò)通俗的語(yǔ)言及簡(jiǎn)單易懂的例子解釋理論概念

高等數(shù)學(xué)中的許多概念過(guò)于抽象，且晦澀難懂。這也是部分學(xué)生認(rèn)為其是“高高的掛在樹(shù)上”，從一開(kāi)始就不愿意主動(dòng)學(xué)習(xí)的原因。例如，極限是高等數(shù)學(xué)的重要工具，極限概念是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，但由于太過(guò)抽象，學(xué)生很難理解，從而影響了后續(xù)的學(xué)習(xí)熱情。在講數(shù)列極限定義時(shí)，首先作如下解析：

②ε是用來(lái)衡量xn與a的接近程度，既有任意性,又有確定性。

③N不唯一,極限的定義并不要求取到最小的或最佳的正整數(shù),我們只關(guān)心N的存在性。

④ 一個(gè)數(shù)列收斂與否,收斂于哪個(gè)數(shù),與這一數(shù)列的前面有限項(xiàng)無(wú)關(guān).換句話說(shuō),你可以隨意修改數(shù)列的有限項(xiàng),而不至于影響其收斂性。

然后給出下面例子，幫助學(xué)生理解。

例1 數(shù)列{xn}收斂于實(shí)數(shù)a等價(jià)于( )

(A)?ε>0,在(a-ε,a+ε)內(nèi)有數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)

(B)?ε>0,在(a-ε,a+ε)內(nèi)有數(shù)列{xn}的有限項(xiàng)

(C)?ε>0,在(a-ε,a+ε)外有數(shù)列{xn}的無(wú)窮項(xiàng)

(D)?ε>0,在(a-ε,a+ε)外有數(shù)列{xn}的有限項(xiàng)

2.2 通過(guò)拓展及總結(jié)運(yùn)算法則，達(dá)到正確使用的目的

對(duì)于上面的∞-∞，很多同學(xué)馬上寫(xiě)成0，也有同學(xué)寫(xiě)成不存在。

針對(duì)諸如上述問(wèn)題，在講解極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，筆者一般進(jìn)行如下拓展與總結(jié)：

① 只有當(dāng)f(x)與g(x)的極限都存在時(shí),才能使用四則運(yùn)算法則.否則,很容易產(chǎn)生謬誤。

② 以下兩個(gè)結(jié)論,經(jīng)常出現(xiàn)在已知極限求參數(shù)類型的題目中。

③ 一般,當(dāng)a0≠0,b0≠0,m,n為非負(fù)整數(shù)時(shí)有

這種方法稱為“保留最大項(xiàng)法”或“抓大項(xiàng)法”。

最終解出m=-2,n=2.

2.3 通過(guò)錯(cuò)例分析使用條件，避免錯(cuò)誤使用定理

高等數(shù)學(xué)中的定理是計(jì)算和證明問(wèn)題的理論依據(jù)，尤其是一元函數(shù)部分，但如果按照一般教科書(shū)上所寫(xiě)，學(xué)生很難正確使用。筆者在講授時(shí)，通常會(huì)通過(guò)錯(cuò)例及反例分析，避免錯(cuò)誤使用定理，如學(xué)生學(xué)習(xí)了牛頓-萊布尼茨定理之后，會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為存在原函數(shù)和存在定積分是一致的；又如，等價(jià)無(wú)窮小替換定理是計(jì)算極限的重要方法，但很多學(xué)生在使用時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。

為此，對(duì)等價(jià)無(wú)窮小替換定理作如下解釋：等價(jià)無(wú)窮小替換對(duì)分子或分母中的因式可以進(jìn)行代換，若極限中分子或分母中的無(wú)窮小是以和或差的形式出現(xiàn),則盡量不要代換,否則將可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。

2.4 簡(jiǎn)化計(jì)算方法，提高解題效率，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣

“興趣是最好的老師?！痹S多學(xué)生不喜歡學(xué)高等數(shù)學(xué)的原因在于很多題目的解決方法過(guò)于麻煩，計(jì)算量過(guò)大，往往需要花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間才能解決一道題目(有時(shí)候還空歡喜一場(chǎng))，缺乏獲得感和成就感。筆者在授課時(shí)，會(huì)經(jīng)常提出新的方法和解題技巧，將很繁瑣的解題過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化，有時(shí)候甚至?xí)徊匠尚停寣W(xué)生與教科書(shū)上的解法對(duì)比，可能教科書(shū)上需要十幾步才能解決的問(wèn)題，我們需要三五步就能快速解決,以此來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如，對(duì)于“1∞”型的極限，教科書(shū)上告訴我們需要湊成第二類重要極限的形式：

再使用結(jié)論。

上面兩種方法是這種基本問(wèn)題的一般解決方案，不僅過(guò)程麻煩，會(huì)導(dǎo)致部分學(xué)生難以解決，經(jīng)常出錯(cuò)，降低了獲得感和成就感，而且對(duì)復(fù)雜如

這類問(wèn)題，基本無(wú)法下手。這樣讓喜歡做課外拓展的學(xué)生感覺(jué)教師上課所講方法是否合理高效，甚至懷疑老師的授課水平，久而久之對(duì)課堂失去興趣，更談不上主動(dòng)學(xué)習(xí)了。

筆者在處理這一問(wèn)題時(shí)，會(huì)首先證明一個(gè)結(jié)論：

設(shè)limu(x)=1, limv(x)=∞,則有l(wèi)imu(x)v(x)=elimv(x)[u(x)-1].

又如，二重積分的計(jì)算是很多學(xué)生提起來(lái)就頭痛的事情，如何選坐標(biāo)系，系選好后如何定限，限定好后又如何計(jì)算等問(wèn)題一步接一步。筆者在講解時(shí)結(jié)合對(duì)稱性和形心公式，對(duì)部分復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，做到真正的化繁為簡(jiǎn)，更有獲得感和成就感。

解析首先畫(huà)出積分區(qū)域D如圖1所示,是正方形減去半圓,記正方形所圍區(qū)域?yàn)镈1,半圓所圍區(qū)域?yàn)镈2,則

圖1 積分區(qū)域D

2.5 通過(guò)一題多解提升解決問(wèn)題的能力

解題時(shí)多個(gè)方法多條路，多儲(chǔ)“備胎”，應(yīng)由“一題一法”向“一題多法”轉(zhuǎn)變，才能不會(huì)“書(shū)到用時(shí)方恨少”。這樣學(xué)生在練習(xí)時(shí)才能“條條道路通羅馬，此中必有我一條”。

3 結(jié)語(yǔ)

從概念的深度理解、法則拓展及解題方法總結(jié)等方面，提升學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的獲得感和成就感，以此增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主觀能動(dòng)性，使得學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，愛(ài)上學(xué)習(xí)。