丁慶燈

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

當(dāng)前有限的實測近場地震動數(shù)量以及震源環(huán)境和場地條件對結(jié)構(gòu)抗震的限制，引起了抗震工作者對脈沖型地震的模擬持續(xù)關(guān)注[1-2]。對實測地震動模擬的脈沖模型，學(xué)者所采用的數(shù)學(xué)模型主要有三角形模型、三角函數(shù)模型、帶包絡(luò)函數(shù)的三角函數(shù)模型、小波模型等模型。Mavroeidis和Papageorgiou[3]以Gabor小波為基礎(chǔ)，通過簡單的數(shù)學(xué)擬合方法提出一種單駝峰的速度時程脈沖模型；Baker[4]以多貝西小波為窗函數(shù)通過小波變換提出單駝峰的速度脈沖模型；蒲武川等[5]在Makris的模型基礎(chǔ)上考慮地震動不同位移恢復(fù)度的情況，提出了改進(jìn)的三角函數(shù)模型。除此之外也有以確定地震動為基礎(chǔ)的地震動模擬的研究，謝俊舉等[6]對汶川地震近場地震動脈沖特性進(jìn)行了研究，謝禮立等[7]對唐山地震進(jìn)行了模擬。

目前對近場地震動的模擬都以速度時程為基礎(chǔ)，這樣減少了高頻成分對模擬結(jié)果穩(wěn)定性的影響，但Rodríguez 和 Miranda[8]研究發(fā)現(xiàn)地震動高頻成分對結(jié)構(gòu)響應(yīng)有一定影響，尤其對加速度需求敏感性較強。同時，近場地震動模擬均只考慮了單脈沖模型，但不少實測地震動記錄含有多個脈沖，使得單脈沖模型的能量相較于實測地震動記錄有很大損失。

基于單脈沖模型的不足，本文提出以多貝西小波為小波基對地震動加速度時程多次連續(xù)小波變換后模擬地震動的方法，該方法可模擬多個脈沖部分的脈沖模型且不會影響單脈沖型地震動的模擬精度。同時，選取目前幾種常規(guī)單脈沖型數(shù)學(xué)模擬模型，從速度時程、反應(yīng)譜和橋梁的非線性地震響應(yīng)結(jié)果3個方面展開分析，對比分析各模型對不同類型地震動的模擬精度。

1 脈沖模型

1.1 包絡(luò)三角函數(shù)法

帶包絡(luò)曲線的三角函數(shù)擬合法(Menun模型)由Menun和Fu提出，通過2段帶包絡(luò)線的三角函數(shù)模擬脈沖部分[9]。MF模型含有VP、TP、t0、n1和n25個參數(shù)，n1、n2為分別控制前后2段三角函數(shù)形狀的參數(shù)，速度模擬公式為

(1)

1.2 Mavroeidis模型

Mavroeidis和Papageorgiou提出了基于Gabor小波提取速度脈沖的方法(MP模型)，該模型中保留Gabor小波諧波振蕩部分，替換高斯包絡(luò)函數(shù)為余弦包絡(luò)函數(shù)[3]。MP模型包含4個參數(shù)VP、fP、γ和φ，γ控制包絡(luò)線周期，φ確定振蕩函數(shù)相位，速度脈沖的振動頻率用偽速度反應(yīng)譜峰值法并計算后求得，其他參數(shù)用試錯法擬合。速度脈沖表達(dá)式為

(2)

1.3 Baker模型

Baker利用4階多貝西進(jìn)行連續(xù)小波變換，對地震動速度時程信號進(jìn)行頻譜分析，通過連續(xù)小波變換時頻圖最大能量所對應(yīng)的時刻和頻率來確定脈沖周期和脈沖發(fā)生時間[4]。

1.4 蒲武川模型

蒲武川根據(jù)Makris的三角函數(shù)模型考慮速度峰值的正負(fù)向差異，對Makris的三角函數(shù)脈沖模型作出改進(jìn)，使模型能夠模擬不同永久位移的地震動[5]。該模型(PWC模型)包含正負(fù)向速度時程峰值vm+、vm-；位移時程峰值dm；脈沖周期TP。速度模擬及脈沖周期公式為

(3)

(4)

2 本文擬合方法

地震波屬于典型的非平穩(wěn)信號，頻域特性隨時間變化而變化。對于局部區(qū)域的頻譜特性傅里葉變換不能實現(xiàn)，類似于窗口函數(shù)的小波變換在非平穩(wěn)信號中有明顯的優(yōu)勢，能反映地震波的局部頻譜特性。小波變換表達(dá)式如式(5)所示，通過改變幅值a和窗函數(shù)時間t來實現(xiàn)。

(5)

Baker模型中僅得到單脈沖模型，對近斷層地震動中高頻成分和多脈沖部分的模擬有很大局限性。前幾種模型都以地震動速度時程為研究對象，雖然能簡化擬合的難度，但是經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)，用速度時程曲線作為擬合對象會丟失地震動加速度時程曲線的很多特性，尤其是加速度多脈沖時程?；诖?，本文以加速度時程曲線為研究對象，利用多次小波變換來模擬多脈沖地震動以提高擬合精確度。

本文先通過MATLAB對地震動加速度時程進(jìn)行連續(xù)小波變換，然后獲得頻譜圖中最大能量值所處位置，根據(jù)小波變換尺度數(shù)組查找并確定對應(yīng)幅值a，脈沖周期T計算公式為

(6)

式中：Fs為采樣頻率；Fc為小波中心頻率。

根據(jù)對地震波的觀察發(fā)現(xiàn)，大多地震波的脈沖次數(shù)在4次以下，本文經(jīng)過4次擬合得到多脈沖模型，速度脈沖周期取多脈沖模型最優(yōu)頻率所對應(yīng)的周期。

3 地震動模擬

3.1 地震波選取

本文中為盡可能確保各模擬方法保持原文的準(zhǔn)確性，從Mavroeidis模型所提供的近場地震時程中根據(jù)Baker所提出的脈沖指示公式篩選出8條地震波(見表1)，所選地震波均為與斷層向垂直的波分量。選取的8條地震波按典型特征又分為了3類：1、2、3號地震波為典型單脈沖型地震波；4、5、6號地震波為多脈沖型地震波；7、8號地震波為長周期脈沖型地震波。

3.2 地震動速度時程曲線擬合

Menun模型實際模擬過程中，按原文所述先用遺傳法得到5個參數(shù)的局部最優(yōu)值，然后用牛頓法求出整體最優(yōu)值。蒲武川模型原文中未給出脈沖初始時刻的求值方法，實際模擬過程中用脈沖地震動與原始地震動最小標(biāo)準(zhǔn)差的方法求得，脈沖周期取Baker模型的周期，其余參數(shù)按原文所述求得。其他模型均按原文方法模擬。本文模型以加速度時程為參考擬合后轉(zhuǎn)化為速度時程曲線，地震動速度時程曲線擬合結(jié)果見圖1。

表1 地震波基本信息

圖1 速度時程曲線

由圖1可看出：不同的地震波、不同的模擬方法結(jié)果有一定偏差，部分能與原地震動很好吻合，也有部分?jǐn)M合出現(xiàn)較大偏差。其中：1、2、3號地震波各擬合方法均較好，但是蒲武川模型因其模型的缺陷使得最后一個小脈沖無法擬合；4、5、6號地震波為多脈沖地震波并含有大量高頻成分，而上述擬合方法中單脈沖模型均只能擬合有限數(shù)量脈沖，故整體擬合結(jié)果不夠理想，同時多脈沖的緣故使得各單脈沖模型識別出不同的主脈沖而導(dǎo)致脈沖周期也因擬合方法不同而明顯不同，本文模型則對多脈沖型地震動的模擬效果則明顯提升，能有效模擬多個脈沖；7、8號地震波的擬合中Baker和Mavroeidis模型的擬合地震波整體略大于原始地震波，其余單脈沖模型僅能較好擬合主脈沖，但多脈沖模型則能很好擬合出主脈沖中的次要脈沖。

不同擬合方法所得擬合結(jié)果的地震特征參數(shù)見表2。由表2可知：不同模型的單脈沖地震動和長周期地震動脈沖周期結(jié)果相近，偏差很??；4、5、6號多脈沖周期地震動不同模型的脈沖周期偏差較大，如6號波MF模型周期TP=6.45 s，而Baker模型周期TP=1.04 s，這主要是本文所列舉的脈沖模型均只考慮單一脈沖，對多脈沖模型的擬合沒有一定的準(zhǔn)確性。

表2 各模型模擬結(jié)果

3.3 反應(yīng)譜分析

將每條地震動不同模擬方法的反應(yīng)譜與原地震動的反應(yīng)譜結(jié)果對比，分別計算阻尼比為5%、10%、30%三種情況下相對速度反應(yīng)譜的結(jié)果。圖2反映了阻尼比分別取5%、10%、30%時不同地震動擬合波與原波的反應(yīng)譜表現(xiàn)。

由圖2可以看出：在高自振頻率內(nèi)，所有實測地震動的反應(yīng)譜曲線明顯高于其單脈沖擬合地震動反應(yīng)譜曲線，隨著自振頻率降低兩者逐漸相吻合；相較于單脈沖模型，本文模型擬合地震動與實測地震動的反應(yīng)譜相比，在高自振頻率和低自振頻率段均有良好的吻合度，較單脈沖模型在低自振周期有明顯優(yōu)化。這種現(xiàn)象主要由多個原因?qū)е?，對單脈沖型地震動而言，本文模型因有多次擬合過程，能有效擬合部分含有較高能量的高頻成分；對多脈沖型地震動而言，模擬多個脈沖使得更多脈沖被識別；對于長周期地震動而言，能有效識別主脈沖中的次要脈沖而有效提高地震動整體的擬合度。對于不同單脈沖模型的結(jié)果也會出現(xiàn)局部大偏差，如Mavroeidis模型對多脈沖模型的模擬在實測地震動卓越周期出現(xiàn)后有很大偏差，所有單脈沖模型對長周期地震動的模擬在實測地震動卓越周期出現(xiàn)后幾秒內(nèi)也有很大偏差。同時隨著阻尼比增加，高自振頻率部分的峰值減少，反應(yīng)譜曲線更光滑。

為顯示模擬結(jié)果的直觀性，圖3反映了各模擬地震動與原始地震動相對位移反應(yīng)譜的比值，模擬結(jié)果與圖2所表現(xiàn)的基本一致，單脈沖模型模擬的單脈沖型和長周期型地震動的反應(yīng)譜在短自振周期內(nèi)出現(xiàn)很大差異，長自振周期階段則吻合度較高，而本文模型則對整個階段均表現(xiàn)良好。單脈沖模型對多脈沖型地震動的整個階段模擬結(jié)果很差，Mavroeidis模型模擬結(jié)果明顯高于實測地震動反應(yīng)譜，而其他模型則低于實測地震動反應(yīng)譜。本文模型則對4、6號波的反應(yīng)譜表現(xiàn)較差，對5號波的反應(yīng)譜表現(xiàn)良好，這可能是4、6號波多脈沖不夠顯現(xiàn)的原因，但本文模型整體較單脈沖模型的結(jié)果有提升。

由圖2～3可知：多脈沖模型的擬合結(jié)果相較于單脈沖模型擬合地震動的反應(yīng)譜結(jié)果有明顯提升；對單脈沖型地震動可提升高自振頻率段內(nèi)反應(yīng)譜的擬合度；對多脈沖型地震動可以優(yōu)化整體反應(yīng)譜吻合度；對長周期型地震動可提高反應(yīng)譜高中自振頻率段吻合度。

圖3 相對位移反應(yīng)譜比

4 橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

4.1 有限元模型的建立

本文所選橋梁為某鐵路4跨連續(xù)梁橋(72+2×120+72) m，該橋位于Ⅱ類場地，抗震設(shè)防級別8度，地震動峰值加速度0.3g。本橋橋面寬12.2 m，上部為變截面單箱單室C55混凝土現(xiàn)澆結(jié)構(gòu)，下部結(jié)構(gòu)采用重力式橋墩，邊墩為C40混凝土材料，中墩為C50混凝土材料。承臺材料為C30混凝土，樁基礎(chǔ)材料為C35混凝土。

本文基于CSi Bridge有限元分析模塊建立橋梁非線性有限元模型，主梁用彈性梁單元模擬，摩擦擺支座采用系統(tǒng)自帶的Friction Isolator單元模擬，橋墩采用彈塑性梁柱單元模擬，從左往右編號依次為1#～5#橋墩。在本文材料本構(gòu)模型模擬中，鋼筋用軟件自有的Simple模型模擬，混凝土用Mander本構(gòu)模擬。構(gòu)件所選滯回曲線的準(zhǔn)確性對時程響應(yīng)結(jié)果的精確性有決定性作用，選擇合理的滯回模型很有必要，簡單的模型影響結(jié)果的準(zhǔn)確性，復(fù)雜的模型又會影響計算效率，因此本文使用考慮剛度退化的武田雙折線模型。全橋的有限元模型見圖4。

圖4 全橋有限元模型

4.2 非線性時程分析結(jié)果

時程分析會因地震波峰值加速度PGA不同有明顯差異，為減小不同地震動PGA對時程結(jié)果分析的影響，將原始地震動幅值均調(diào)整為0.3g，對應(yīng)的擬合地震動按相應(yīng)比例調(diào)幅。經(jīng)過對時程響應(yīng)結(jié)果的查看，各橋墩的地震響應(yīng)結(jié)果規(guī)律相近，為便于比較，本文以2#墩為分析對象作對比分析。圖5顯示了不同地震動作用下2#墩墩底最大彎矩值，圖6顯示了不同地震動作用下2#墩墩底最大剪力值，圖7顯示了不同地震動作用下2#墩墩頂最大位移值。

圖5 2#墩墩底最大彎矩值

圖6 2#墩墩底最大剪力值

圖7 2#墩墩頂最大位移值

由圖5～7可知，同工況下的墩底彎矩、墩底剪力和墩頂位移結(jié)果趨勢大致相同。本文以墩底彎矩結(jié)果為參考來分析地震響應(yīng)結(jié)果。

首先分析單脈沖模型對各類型模擬地震動響應(yīng)結(jié)果。1、2、3號單脈沖型模擬地震動的時程結(jié)果比較均衡，除Mavroeidis模型外實測地震動的響應(yīng)結(jié)果誤差在25%以內(nèi)且小于實測地震動響應(yīng)值，各模型間的誤差也在30%以內(nèi)。單脈沖模型模擬地震動的響應(yīng)結(jié)果以Baker模型和蒲武川模型為最優(yōu)，誤差控制在20%以內(nèi)。4、5、6號多脈沖型模擬地震動作用下隨地震波和模擬方法變化地震動響應(yīng)值變化很大。如Baker模型對4、6號波的誤差值分別為11%、70%，出現(xiàn)明顯的不穩(wěn)定性，Baker模型和蒲武川模型對6號波的誤差值分別為1%、70%，出現(xiàn)明顯模型間的不穩(wěn)定性。7、8號長周期型模擬地震動作用下的時程結(jié)果與4、5、6號波作用結(jié)果相似，即同一條波不同模擬方法、相同模擬方法對不同地震波的結(jié)果偏差均變化很大，其中蒲武川模型、Menun模型對地震波的模擬結(jié)果較好，其余2種模型對不同地震動的模擬出現(xiàn)很大差異。

從分析結(jié)果可知單脈沖模型對單脈沖型地震動的模擬比較優(yōu)秀，對多脈沖型地震動和長周期地震動的模擬出現(xiàn)明顯的不穩(wěn)定性。以Baker模型和Menun模型最典型，對單脈沖型地震動的模擬較好，對其他2類地震動的模擬很差，蒲武川模型的模擬結(jié)果則相對較穩(wěn)定。

相較于單脈沖模型，本文所提出的多脈沖模型的模擬結(jié)果有明顯的提高。對單脈沖型地震動、多脈沖型地震動和長周期地震動的模擬結(jié)果誤差最大分別為10%、22%、25%，雖對多脈沖型地震動和長周期型地震動模擬精度較單脈沖型地震動較弱，但模擬的精確度和穩(wěn)定性較單脈沖模型均有明顯提高。

5 結(jié)論

1) 本文基于小波變換的方法提出了多脈沖型地震動的模擬方法，通過與單脈沖模型的模擬結(jié)果對比，驗證了本文方法對多脈沖型和長周期型地震動的模擬的可靠性，同時也不會影響對單脈沖地震動的模擬精度。

2) 本文基于加速時程為研究對象，相較于單脈沖模型基于速度時程為研究對象，從反應(yīng)譜和時程響應(yīng)結(jié)果可以看出，本文方法的模擬結(jié)果對短自振周期結(jié)構(gòu)的響應(yīng)更接近。

3) 從時程響應(yīng)結(jié)果可知，時程響應(yīng)結(jié)果對單脈沖型地震動、多脈沖型地震動和長周期地震動的模擬結(jié)果誤差最大分別為10%、22%、25%，本文模型相較于單脈沖模型對不同類型地震動的模擬精度均有提升。

4) 本文模型較單脈沖模型考慮了一種模擬多脈沖型地震動的方法，但對于高頻成分的模擬還需要更進(jìn)一步的研究，有研究表明高頻成分也具有一定能量且對短自振周期結(jié)構(gòu)有較大損傷，需要進(jìn)一步研究。