方藝忠，姜浩楠，陳 旸，蔡遠(yuǎn)利，孟 剛

（1. 北京航天長征飛行器研究所，北京，100076；2. 試驗物理與計算數(shù)學(xué)國家重點(diǎn)實驗室，北京，100076；3. 西安交通大學(xué)電子與信息學(xué)部，西安，710049；4. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

無線定位系統(tǒng)通常需要兩個或者更多的傳感器來對目標(biāo)位置進(jìn)行捕獲。常見的定位方法通?；诘竭_(dá)時間（Time of Arrival，TOA）、到達(dá)方位（Angle of Arrival，AOA）、接收信號強(qiáng)度（Received Signal Strength，RSS）和到達(dá)時間差（Time Difference of Arrival，TDOA）中的一種或多種量測信息對目標(biāo)的位置進(jìn)行估計。由于在無線通信系統(tǒng)、檢測系統(tǒng)以及導(dǎo)航系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，基于TOA 等量測信息的目標(biāo)定位問題得到了廣泛的關(guān)注和研究。本文主要研究基于TOA 量測的多傳感器協(xié)同定位算法。

TOA 協(xié)同定位的目標(biāo)是根據(jù)分布在不同位置的傳感器獲得的目標(biāo)信號到達(dá)時間量測（當(dāng)信號傳播速度為1 時，到達(dá)時間量測即為距離量測）來估計目標(biāo)的位置，本質(zhì)上是一類優(yōu)化問題。不同定位方法的主要區(qū)別之一是目標(biāo)函數(shù)不同，常用的目標(biāo)函數(shù)包括距離最小二乘（Range Least Squares，RLS）和距離平方最小二乘（Squared Range Least Squares，SRLS）。大部分解析算法都是采用SRLS 作為目標(biāo)函數(shù)，將歐氏距離轉(zhuǎn)換成為更容易處理的二階多項式的形式，保證了最優(yōu)解的存在性。然而，數(shù)值迭代算法一般都采用RLS 作為目標(biāo)函數(shù)，從一個給定的初始估計開始，不斷逼近最優(yōu)解。在量測噪聲服從零均值高斯分布的假設(shè)下，RLS 得到的解和最大似然估計解一致。除此以外，還有一些優(yōu)化工具箱可以給出RLS 意義下的最優(yōu)解，如半正定松弛（Semidefinite Relaxation，SDR）[和多項式優(yōu)化（Polynomial Optimization，POP）等。這一類方法可以以任意精度逼近最大似然估計，缺點(diǎn)是計算時間過長。

本文主要研究TOA 定位算法中的解析算法和數(shù)值迭代算法。解析算法通常是在原始問題上放松了一些條件或者運(yùn)用一些巧妙的數(shù)學(xué)變換，推導(dǎo)出目標(biāo)位置的直接結(jié)果；數(shù)值迭代算法則是從一個初始估計開始，不斷逼近全局最優(yōu)解，這通常會消耗非常多的時間，不便于實際應(yīng)用。然而，數(shù)值迭代算法也有著多方面的優(yōu)勢，如適用于任意數(shù)量任意類型的量測信息、編程相對簡單、不需要放松任何條件以及容易擴(kuò)展和推廣等。本文利用熱圖分析了兩類算法在不同目標(biāo)位置下的表現(xiàn)，隨后在不同量測噪聲強(qiáng)度條件下對比了多種定位算法的估計效果，能夠?qū)Σ煌瑘鼍跋露ㄎ凰惴ǖ倪x擇提供幫助。同時，通過對迭代算法進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，可以改善算法的魯棒性，提升算法在量測噪聲強(qiáng)度較大環(huán)境下的估計效果，達(dá)到與解析算法同樣好的估計精度。

1 問題描述

假定為二維平面內(nèi)目標(biāo)的位置，s (= 1,2,…,)為第個傳感器的位置，各個傳感器獲取的信號源到自身位置的時間量測信息依次為,… , T。TOA 定位的目標(biāo)是：在傳感器位置,…,和傳感器量測,… , T給定的情況下，估計目標(biāo)的位置。為了簡便，本文假定信號的傳播速度為1，則TOA 量測即為距離量測。

由此量測方程可以寫為

依據(jù)極大似然準(zhǔn)則，TOA 定位問題的解可通過下式求得：

等價于：

通過式（3）求得的最小二乘解是在方差意義下的最優(yōu)解。

2 解析算法

本小節(jié)介紹一些解決TOA 定位問題的解析算法。盡管解析算法在推導(dǎo)方面較為復(fù)雜，但其不需要初始估計且能夠保證結(jié)果的收斂性，相比于數(shù)值迭代算法得到的結(jié)果更加精確和穩(wěn)定。

2.1 基線法

基線法通過計算所有傳感器位置坐標(biāo)的均值作為目標(biāo)位置的估計：

從計算公式可以看出，基線法得到的目標(biāo)位置估計不依賴于任何量測信息。在平均意義下，可以判斷，基線法的估計效果較差。

2.2 Simple Intersection 算法

從幾何上理解，該算法考慮?1組圓，用直線代替它們的交會部分。由于消除掉了非線性項，得到的結(jié)果等價于在少了一個量測的情況下對目標(biāo)進(jìn)行估計的結(jié)果。

采用Simple Intersection 算法得到的目標(biāo)位置估計為

2.3 Bancroft 算法

式（7）整合到一起，可以得到：

即：

式（9）左右兩邊同時乘以矩陣的Moore–Penrose偽逆，可以得到：

兩邊同時平方可以得到：

等價于：

Bancroft 算法的具體流程為：

a）計算向量= ()1；

b）計算向量= ()；

c）求解方程（14）的兩個根；

2.4 Beck 算法

Beck 等人于 2008 年提出了一種精確的least-quartic 算法。在求解的過程中，需要使用二分法尋找單變量嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的根，因此得到的并不是嚴(yán)格意義上的解析解，但這種算法能夠保證估計效果收斂。具體算法流程如下：

3 數(shù)值迭代算法

數(shù)值迭代算法的典型代表是高斯-牛頓算法，又稱為加權(quán)迭代最小二乘算法。高斯-牛頓算法在量測噪聲較大的情況下無法避免估計發(fā)散的問題。為了克服這一缺陷，對傳統(tǒng)的高斯-牛頓算法進(jìn)行修正，得到正則化的高斯-牛頓算法。

3.1 高斯-牛頓算法

高斯-牛頓算法流程如下：

a）選擇合理的初始估計值和算法中止參數(shù)。設(shè)置=0 。

b）計算雅可比矩陣：

c）迭代更新=+Δ，其中，

式中為量測噪聲協(xié)方差矩陣。

3.2 正則化高斯-牛頓算法

相比于原始的高斯-牛頓算法，正則化高斯-牛頓算法的不同僅在于Δx的設(shè)置，其具體流程如下：

a）選擇合理的初始估計值和算法中止參數(shù)。設(shè)置=0 ；

b）計算雅可比矩陣：

c）迭代更新=+Δ，其中，

式中為正則化系數(shù)； x為正則化位置。

4 熱圖分析法

為了更全面地刻畫不同種類算法的估計效果，本小節(jié)利用熱圖分析解析算法（以Beck 算法為例）和數(shù)值算法（以正則化高斯-牛頓算法為例）針對不同位置目標(biāo)的估計誤差。熱圖起源于數(shù)據(jù)矩陣中數(shù)值的二維顯示，顏色越淺，表明該算法對位于當(dāng)前方格的目標(biāo)定位效果越好；顏色越深，表明該算法對位于當(dāng)前方格的目標(biāo)定位效果越差。

在量測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為100 m 的情況下，Beck 算法和正則化高斯-牛頓算法得到的均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）關(guān)于目標(biāo)位置熱圖如圖1和圖2 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，解析算法和數(shù)值算法針對不同位置目標(biāo)的估計效果非常相似，數(shù)值算法的估計效果絲毫不亞于解析算法。

圖1 Beck 算法均方根誤差（RMSE）關(guān)于目標(biāo)位置的熱圖Fig.1 Heat Map of RMSE of Beck Algorithm with Respect to Target Position

圖2 正則化高斯-牛頓算法均方根誤差（RMSE）關(guān)于目標(biāo)位置的熱圖Fig.2 Heat Map of RMSE of Regularized Gauss-Newton Algorithm with Respect to Target Position

5 仿真分析

本小節(jié)針對多傳感器TOA 定位問題，對比不同解析算法和數(shù)值迭代算法的估計效果。

仿真結(jié)果如圖3 所示。Michael提出的Partitioning算法能夠給出R-LS 準(zhǔn)則下的全局最優(yōu)解，可以用于性能評估。

圖3 TOA 算法效果對比Fig.3 Comparison of TOA Algorithms

Beck 算法、Cheung 算法和Partitioning 算法等在不同量測噪聲強(qiáng)度下均能保持較高的定位精度，對噪聲的敏感性較弱?；€法、Simple Intersection 算法和Bancroft 算法的估計效果較差。當(dāng)量測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差小于300 m 時，其余幾種算法幾乎能夠達(dá)到一致且最優(yōu)的估計效果。當(dāng)量測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到2 ×10 m 時，原始的高斯-牛頓算法得到的誤差曲線開始發(fā)散，表明其在較大量測噪聲強(qiáng)度下估計效果不能得到保證，而正則化高斯-牛頓算法在高強(qiáng)度噪聲環(huán)境下依然能保證與優(yōu)異的解析算法幾乎一致的估計效果，展現(xiàn)了其更強(qiáng)的魯棒性。

在噪聲標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到 6 ×10~10m 時，可從圖3 中看出基線法的估計效果反而是最好的，說明在量測噪聲強(qiáng)度過大時，最好的估計策略是摒棄所有得到的量測信息，直接利用先驗信息對目標(biāo)的位置進(jìn)行估計。

6 結(jié) 論

本文研究了基于到達(dá)時間量測的多傳感器定位問題，其本質(zhì)上是一類優(yōu)化問題，可以通過解析算法或者數(shù)值迭代算法進(jìn)行求解。以Beck 算法為代表的解析算法雖然能夠保證估計結(jié)果收斂，但通常需要在多種假設(shè)和前提下才能得到閉式解，求解過程較為復(fù)雜；以高斯-牛頓算法為代表的數(shù)值迭代算法結(jié)構(gòu)簡單、易于擴(kuò)展和推廣，但其需要初始估計且無法保證結(jié)果收斂。在實際應(yīng)用中，如果能夠獲得較為準(zhǔn)確的先驗信息同時對實時性要求不高，建議采用數(shù)值迭代算法；反之，Beck 算法等解析算法是更好的選擇。本文對比了多種較為經(jīng)典和有效的TOA 定位算法，同時利用熱圖分析了算法在不同目標(biāo)位置下的估計效果，能夠為TOA 定位問題的算法選擇提供幫助。