尚現(xiàn)偉，張 強，金 平，蔡國飆

（1. 北京航空航天大學(xué)，北京，100191；2. 北京航天動力研究所，北京，100076）

0 引 言

隨著近地軌道、低成本、高可靠性的可重復(fù)使用運載器（Reusable Launch Vehicle, RLV）的發(fā)展，對火箭輸送系統(tǒng)的可重復(fù)使用性與可靠性要求越來越高?？芍貜?fù)使用火箭發(fā)動機是RLV 的核心動力裝置， 而閥門系統(tǒng)作為進行發(fā)動機調(diào)節(jié)的關(guān)鍵部件，需要保證其在火箭多次回收利用的過程中能夠可靠地工作。氣動膜片球閥是液體火箭發(fā)動機中常用的一種閥門，具有可重復(fù)使用性較好、行程更大、疲勞壽命更高等優(yōu)點，氣動膜片球閥的工作性能和疲勞壽命主要取決于其氣動執(zhí)行機構(gòu)中的膜片，其中應(yīng)用比較多的是圓平膜片。

Atit Shah等從疲勞裂紋方面對橡膠膜片的疲勞壽命進行了研究，得到了影響橡膠疲勞性能的一部分因素。Baban Suryata等針對彈性墊層的疲勞壽命估計問題，提出了一種基于有限元分析的彈性墊層疲勞壽命估計方法，對某鐵路彈性體墊層的疲勞壽命進行了預(yù)測。美國材料實驗協(xié)會（American Society of Testing Materials，ASTM）就橡膠的循環(huán)疲勞試驗提出了標(biāo)準(zhǔn)試驗方法。

已經(jīng)進行的針對圓平膜片的研究工作大多是針對減壓閥、調(diào)節(jié)閥的金屬膜片展開的，但對于以氣動膜片球閥中的橡膠膜片研究較少。橡膠是一種超彈性材料，具有良好的伸縮性和復(fù)原性，而且材料特性和幾何特性都呈非線性變化，與金屬材料的線彈性完全不同。針對橡膠膜片在大行程工作過程中會涉及幾何和材料兩方面的非線性問題。這種情況下使用經(jīng)典理論求解存在效率低、精度較差等缺陷，也不能滿足高精度非線性的要求，需要對其使用非線性有限元方法進行模擬。

本文以球閥氣動執(zhí)行機構(gòu)的超彈性橡膠膜片為對象，提出一種超彈性橡膠膜片疲勞壽命及可靠性分析方法?；谟邢拊椒▽δ硽鈩幽て蜷y的超彈性橡膠圓平膜片進行建模分析，得到橡膠膜片在閥門工作過程中的應(yīng)力場，基于連續(xù)損傷理論計算橡膠膜片的疲勞壽命，以對其受力狀態(tài)產(chǎn)生較大影響的因素，如幾何尺寸、工作載荷、材料參數(shù)作為隨機變量，通過試驗設(shè)計，建立橡膠膜片疲勞壽命的響應(yīng)面模型，使用蒙特卡洛法進行橡膠膜片疲勞壽命和可靠性的計算。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 有限元仿真模型

1.1.1 幾何模型

本文研究的對象是球閥的氣動執(zhí)行機構(gòu)中的超彈性橡膠膜片，圖1 為某氣動膜片球閥所使用的橡膠膜片及支撐結(jié)構(gòu)的簡化結(jié)構(gòu)。橡膠膜片為完整的圓膜片，膜片的外邊緣被上底座壓緊，中部下端被推桿支撐，膜片和推桿之間無連接，為自然接觸。上端承受氣壓以產(chǎn)生線位移，推桿底部受復(fù)位彈簧支撐。

圖1 球閥氣動執(zhí)行機構(gòu)Fig.1 Schematic Diagram of Pneumatic Actuator for Ball Valve

工作過程為：初始狀態(tài)，膜片無變形，彈簧處于原位，閥門關(guān)閉。上蓋充氣孔充入控制氣體時，推桿在橡膠膜片作用下，壓縮彈簧并向下移動，閥門開啟；上蓋泄壓過程中，膜片和推桿在膜片彈性力和彈簧彈力的作用下復(fù)位?；贏nsys 建立結(jié)構(gòu)簡化后的軸對稱有限元模型，閥門工作過程如圖2 所示。

圖2 橡膠膜片的初始和工作狀態(tài)Fig.2 The Initial and Terminal State of the Rubber Diaphragm

1.1.2 超彈性體材料特性

本文的研究對象膜片的材料是超彈性橡膠，高度非線性且不可壓縮，涉及3 種非線性：

a）幾何非線性。

當(dāng)橡膠膜片在受外力時，可以呈現(xiàn)較大變形及翻轉(zhuǎn)，當(dāng)外力消失后，基本恢復(fù)原狀。基于超彈性體的這種性質(zhì)，將其作為球閥氣動執(zhí)行機構(gòu)的作動膜片是可行的。在本設(shè)計中，膜片的最大變形達到37 mm。

b）材料非線性。

橡膠膜片的材料可近似為不可壓縮的超彈性材料，其應(yīng)力、應(yīng)變表現(xiàn)為強非線性。主要體現(xiàn)在：大變形、大應(yīng)變、材料的應(yīng)力應(yīng)變非線性嚴(yán)重、材料的體積近似不可壓縮。目前提出的幾種用來表征橡膠材料特性的函數(shù)、法則和模型，有基于統(tǒng)計熱力學(xué)的Neo-Hookean 應(yīng)變能函數(shù)、 基于熱力學(xué)的Exponential-Hyperbolic 法則和基于表象學(xué)理論的Mooney-Rivlin 模 型 、 Klosenr-Segal 模 型 、Ogden-Tschoegl 模型。本文在計算過程中，選用的超彈性材料模型是一階Ogden 模型：

式中μ和 α為材料常數(shù)，階數(shù)可根據(jù)實際情況進行調(diào)整。本文中采用一階Ogden 模型進行計算。材料參數(shù)=1.21，=1.956。

c）接觸非線性。

接觸問題的復(fù)雜性和難點在于其接觸狀態(tài)的不確定性，這將給有限元計算帶來嚴(yán)重的收斂問題，故接觸問題是工程領(lǐng)域中復(fù)雜的非線性問題。橡膠膜片與腔體、頂桿之間的接觸是高度的非線性行為，是屬于剛體和柔體之間的面-面接觸。接觸問題也是帶約束條件的泛函極值問題，較為常用的接觸算法有Lagrange 乘子法、罰單元法、子結(jié)構(gòu)法和基于求解器的直接約束法。本文中金屬和超彈性橡膠之間的接觸算法采用的是Lagrange 乘子法，在建立的幾何模型中適當(dāng)?shù)厥┘幼銐虻募s束。

1.1.3 計算網(wǎng)格及邊界條件

在網(wǎng)格劃分過程中，低階單元具有比高階單元更好的收斂性，單元形函數(shù)的階次越高，單元的適應(yīng)能力也就越強。故本文中超彈性橡膠膜片的網(wǎng)格使用的單元類型為高階單元Plane183，其具有二次位移特性，該單元可用作平面單元（平面應(yīng)力、平面應(yīng)變和廣義平面應(yīng)變）或軸對稱單元。進行了不同水平的網(wǎng)格劃分，以驗證網(wǎng)格無關(guān)性。厚度方向劃分7 層，膜片網(wǎng)格的單元總數(shù)為2090 個時可以滿足網(wǎng)格無關(guān)性。圖3 是結(jié)構(gòu)局部網(wǎng)格劃分情況。

圖3 氣動執(zhí)行機構(gòu)有限元模型的局部網(wǎng)格Fig.3 Local Mesh of Pneumatic Actuator

在計算中施加的邊界條件主要為：中心軸對稱約束、橡膠膜片與缸體和橡膠膜片支承片之間的成對接觸面、下缸體的固定約束、推桿的回位彈簧支撐、上蓋的徑向位移約束、膜片周邊螺栓處徑向位移限制、預(yù)緊力以及工作壓強。

1.1.4 有限元數(shù)值計算方法

超彈性橡膠材料相比于金屬材料，其有限元分析基本方程有所不同。對于常見的金屬材料，其有限元分析過程的進行基于求解單元剛度方程：

其中，為單元剛度矩陣：

但對于超彈性橡膠材料，其本構(gòu)方程中引入了應(yīng)變能密度函數(shù)，是應(yīng)變張量不變量、、的函數(shù)。其余求解過程與典型有限元數(shù)值計算過程相同。

1.2 疲勞壽命及可靠性模型

對超彈性橡膠膜片進行疲勞壽命計算及可靠性分析的思路是在已有非線性有限元模型基礎(chǔ)上，以氣動執(zhí)行機構(gòu)的幾何尺寸、橡膠膜片的材料參數(shù)、工作載荷為變量，以膜片的疲勞壽命為響應(yīng)值建立多項式響應(yīng)面模型。利用蒙特卡洛法，在參數(shù)所分布的范圍內(nèi)，按照參數(shù)自身的分布規(guī)律進行抽樣，將抽樣結(jié)果代入到上文的響應(yīng)面模型之中，可以計算得到樣本點的疲勞壽命及可靠性。

1.2.1 疲勞壽命計算模型

超彈性體橡膠的疲勞壽命是基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)理論，用一階Ogden 應(yīng)變能函數(shù)導(dǎo)出橡膠材料疲勞損傷化方程，建立了以等效應(yīng)變范圍為損傷參量的疲勞壽命預(yù)測模型。

疲勞壽命可以根據(jù)其在疲勞載荷下相應(yīng)的應(yīng)變范圍得出：

式中為橡膠常數(shù)，=1.25；為橡膠材料常數(shù)，=2163；為橡膠材料屬性參數(shù)，=1.21；為橡膠材料屬性參數(shù)，=1.956； εΔ 為橡膠材料在載荷下的應(yīng)變范圍。

1.2.2 可靠性理論與蒙特卡洛法

本文方法將疲勞壽命分析與可靠性計算相結(jié)合，首先以超彈性橡膠膜片疲勞壽命為響應(yīng)量，建立二階響應(yīng)面模型。利用蒙特卡洛法，對二階響應(yīng)面方程進行取點，求解在隨機因素下的疲勞壽命及可靠性分布。本文進行的響應(yīng)面法采用的試驗設(shè)計方法是中心復(fù)合設(shè)計（Central Composite Experimental Design，CCD）。

機械可靠度分析和設(shè)計的主要目標(biāo)是求解結(jié)構(gòu)的可靠度，可靠度為

式中為可靠度；f ()為研究對象包含的基本隨機參數(shù)向量=(,,… ,x)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；狀態(tài)函數(shù)=()用來表示研究對象的兩種狀態(tài)：()≤0 時為失效狀態(tài)，()＞0 時為可靠狀態(tài)。

基于蒙特卡洛法（Monte-Carlo）進行可靠性計算。步驟如下：

a ） 設(shè) 結(jié) 構(gòu) 功 能 函 數(shù) 為=()， 其 中= (,,… ,X)為任意分布的隨機參數(shù)。

b）對隨機變量進行次隨機抽樣，得到組樣本點x (= 1,2,… ,)。

c）將組樣本點代入到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)表達式，得到個功能函數(shù)值Z (= 1,2,…,)。

d）設(shè)在個中存在個Z＜0（即結(jié)構(gòu)失效），當(dāng)充分大時，結(jié)構(gòu)的失效概率為=/。

2 結(jié)果與討論

本文提出了一種針對超彈性橡膠膜片的疲勞壽命及可靠性分析方法，通過對氣動膜片球閥中的超彈性橡膠膜片及其附屬結(jié)構(gòu)建立有限元分析模型，分析了影響膜片疲勞壽命的主要因素，并進行試驗設(shè)計，構(gòu)建了二階響應(yīng)面對膜片疲勞壽命進行擬合，應(yīng)用蒙特卡洛法對膜片的可靠性進行了計算。

圖4為膜片應(yīng)力場分布，可以看到與頂桿平直段接觸的膜片區(qū)域等效應(yīng)力較小，在與頂桿圓角接觸的膜片下表面處出現(xiàn)應(yīng)力集中。在膜片與下腔的圓角接觸部分的膜片上表面產(chǎn)生了較大的應(yīng)力值，此處的膜片在下腔的約束下，呈現(xiàn)彎曲狀態(tài)，應(yīng)力達到1.2798 MPa。上表面受彎程度最大，應(yīng)力值最高，是危險區(qū)域，將產(chǎn)生危險點，危險點最先被破壞。在計算分析過程中，由于鋼材和超彈性橡膠膜片強度差異較大，不考慮橡膠膜片之外結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力。

圖4 工作狀態(tài)時橡膠膜片的等效應(yīng)力分布云圖Fig.4 Cloud Diagram of Von-mise Stress Distribution of Rubber Diaphragm in Working Condition

圖5為應(yīng)力在不同厚度上沿徑向的分布。~分別為上表面至下表面不同厚度的徑向應(yīng)力分布情況。

圖5 橡膠膜片不同厚度中的等效應(yīng)力分布Fig.5 Von-mises Stress Distribution at Different Thickness of Rubber Diaphragm

由圖5 可知，在各個厚度上，膜片的應(yīng)力變化趨勢基本相同，第1 個峰值是推桿的圓角處，自膜片下表面至上表面，應(yīng)力值逐漸減小，第2 個峰值出現(xiàn)在下腔圓角處，自膜片的上表面至下表面應(yīng)力的峰值逐漸減小。峰值明顯高于推桿處的膜片應(yīng)力峰值。在膜片的其他位置，應(yīng)力變化較為平緩，在膜片的各厚度處差別不大，且顯著低于峰值處的應(yīng)力值。膜片在工作過程中的最大等效應(yīng)力的大小直接影響其疲勞壽命。

在獲取膜片應(yīng)力場后，基于連續(xù)損傷模型進行膜片壽命計算，并以膜片危險點壽命為響應(yīng)值，建立響應(yīng)面模型。表1 為進行試驗設(shè)計時變量的取值范圍。

表1 試驗設(shè)計中變量的取值范圍Tab.1 The Value Range of Variables in the Test Design

選取對膜片的工作應(yīng)力有較大影響的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)、工作載荷為變量，在考慮加工限制及工作性能條件限制下，設(shè)計變量的取值范圍和初始值。根據(jù)CCD 試驗設(shè)計方法得到試驗點的參數(shù)組合情況，共31 種試驗設(shè)計組合，限于篇幅未列出。

圖6為以下腔圓角值和工作載荷這兩個對膜片的疲勞壽命影響較大的因素為變量，繪制的以疲勞壽命為響應(yīng)的響應(yīng)曲面。從圖6 中可以看到，總體趨勢上，隨著下腔圓角的增大，超彈性橡膠膜片的疲勞壽命會增加。隨著工作壓強的增加，膜片疲勞壽命的響應(yīng)值也會逐漸略微下降，但變化幅度較小，即橡膠膜片的疲勞壽命對工作載荷變化的敏感性比對結(jié)構(gòu)尺寸的敏感性差。

圖6 疲勞壽命Nf 關(guān)于P 和R2 的響應(yīng)曲面Fig.6 Fatigue Life Response Surface for Effects of P and R2

膜片的疲勞壽命對于氣動執(zhí)行機構(gòu)的工作壓強和膜片的厚度的響應(yīng)曲面如圖7 所示。

圖7 疲勞壽命Nf 關(guān)于P 和t 的響應(yīng)曲面Fig.7 Fatigue Life Response Surface for Effects of P and t

由圖7 可知，隨著工作壓強的增大，橡膠膜片的疲勞壽命值降低，隨著膜片厚度的增加，膜片的疲勞壽命值先增大后減小，存在峰值。說明膜片厚度對膜片疲勞壽命的影響規(guī)律與其他影響因素的規(guī)律不同，影響趨勢呈現(xiàn)拋物線型。同時，由圖7 中軸的刻度值可知，工作壓強對膜片疲勞壽命的影響程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于氣動執(zhí)行機構(gòu)的下腔圓角對膜片疲勞壽命的影響程度。根據(jù)分析可知，工作氣壓的波動對膜片的疲勞壽命影響不大，控制膜片疲勞壽命的重點措施是控制氣動執(zhí)行機構(gòu)的下腔圓角尺寸值。利用蒙特卡洛法，在參數(shù)分布的范圍內(nèi)，按照參數(shù)自身的分布規(guī)律進行抽樣取點10 000 個，將抽樣的結(jié)果帶入已建立的二階響應(yīng)面模型中，進行統(tǒng)計可以得到疲勞壽命的分布情況。

圖8為橡膠膜片疲勞壽命分布曲線，并使用威布爾分布對橡膠膜片的疲勞壽命進行擬合。由圖8 可知，膜片的壽命在給定的參數(shù)分布下，大部分樣本點的疲勞壽命值分布在8000~10 000 區(qū)間內(nèi)。能夠達到可重復(fù)使用的要求，而且大大高于目前常用的波紋管的壽命值。

圖8 橡膠膜片的疲勞壽命分布Fig.8 Fatigue Life Distribution Curve of Rubber Diaphragm

圖9為橡膠膜片的可靠性分布曲線，通過對橡膠膜片的疲勞壽命威布爾分布函數(shù)進行積分，得到了不同壽命下，膜片結(jié)構(gòu)的可靠性。由圖9 可知，壽命大于7800 次的可靠度為0.9 978。可靠性較高，能夠滿足可重復(fù)使用液體火箭發(fā)動機的要求。通過以上計算流程，可以說明本文方法能夠針對超彈性橡膠膜片疲勞壽命及可靠性分布進行準(zhǔn)確計算。

圖9 橡膠膜片的可靠性分布曲線Fig.9 Reliability Distribution Curve of Rubber Diaphragm

3 結(jié) 論

為了提高液體火箭發(fā)動機閥門的可重復(fù)使用性，本文以球閥氣動執(zhí)行機構(gòu)的超彈性橡膠膜片為對象，提出了一種超彈性橡膠膜片疲勞壽命及可靠性分析方法。在非線性有限元計算基礎(chǔ)上，通過試驗設(shè)計建立了橡膠膜片疲勞壽命的響應(yīng)面模型，利用Monte-carlo法和可靠性理論進行膜片可靠性計算，得到以下結(jié)論：

a）超彈性橡膠材料能夠滿足大行程的設(shè)計目標(biāo)，具有良好的伸縮性和復(fù)原性。使用基于應(yīng)變能函數(shù)的有限元計算方法能夠較準(zhǔn)確地計算超彈性橡膠的非線性問題，效率較高。

b）氣動球閥橡膠膜片在產(chǎn)生大變形時，內(nèi)部層與層之間應(yīng)力分布均勻，等效應(yīng)力沿徑向的變化趨勢基本相同，厚度的波動對膜片內(nèi)部應(yīng)力的分布影響不大。在膜片曲率半徑較小處產(chǎn)生應(yīng)力的峰值明顯高于膜片平直段的應(yīng)力值。

c）基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)理論的橡膠膜片疲勞壽命對橡膠膜片的支承結(jié)構(gòu)和工作氣壓的波動較為敏感，隨著氣動執(zhí)行機構(gòu)下腔圓角的減小，膜片的疲勞壽命值明顯降低，隨著工作氣壓的減小，膜片疲勞壽命略微升高。膜片的疲勞壽命對膜片的材料屬性參數(shù)和膜片厚度波動的敏感性較低。

d）本文提出的方法能夠針對超彈性橡膠膜片疲勞壽命及可靠性分布進行準(zhǔn)確計算。針對所研究的算例，在設(shè)計變量的波動范圍內(nèi)，閥門超彈性橡膠膜片疲勞壽命值大于7800 次的可靠度為0.9 978?？刂萍庸こ叽绾凸ぷ鬏d荷的波動能夠提高膜片的疲勞壽命，使得橡膠膜片具有較高的可重復(fù)使用性，以及更高的可靠性，能夠滿足可重復(fù)使用液體火箭發(fā)動機的要求。