陳一波，栗保明

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210094)

等離子體發(fā)生器用途廣泛，在工業(yè)上常用于切割、焊接等，在科學(xué)研究上可用于物理學(xué)實(shí)驗(yàn)[1]。用于電熱化學(xué)炮的等離子體發(fā)生器按其等離子體電弧所處位置可分為軸線式和同軸式等離子體發(fā)生器。軸線式等離子體發(fā)生器的等離子體電弧位于放電室的中心軸線上，等離子體電弧引爆后向放電室外噴射以點(diǎn)燃發(fā)射藥。同軸式等離子體發(fā)生器的等離子體電弧環(huán)繞位于中心軸線處的消融材料棒，與發(fā)射藥距離更近、接觸面更大。同軸浮動(dòng)電極式表面放電等離子體發(fā)生器屬于同軸式等離子體發(fā)生器，其擁有數(shù)個(gè)浮動(dòng)電極，各電極沿柱狀聚乙烯壁周期性排列，通過施加數(shù)十千安以上的強(qiáng)電流使電極間沿聚乙烯表面生成等離子體電弧并向四周噴射，工作區(qū)域大，等離子體電弧與炮膛內(nèi)發(fā)射藥直接接觸，點(diǎn)火性能好，是一種應(yīng)用于電熱化學(xué)炮的新式等離子體發(fā)生器[2]。然而前人對(duì)此種等離子體發(fā)生器物理場(chǎng)的研究較少，且僅有的相關(guān)研究并未考慮到等離子體的產(chǎn)生、流動(dòng)與吸收，也未討論浮動(dòng)電極所受的洛倫茲力。筆者對(duì)等離子體電弧物理場(chǎng)重新建立了準(zhǔn)瞬態(tài)數(shù)學(xué)模型，使用計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)有限元分析軟件ANSYS FLUENT[3]，編寫用戶自定義方程(UDF)添加了燒蝕方程和磁流體動(dòng)力學(xué)(MHD)模型，并采用較為適合計(jì)算等離子體電弧湍流的剪切應(yīng)力湍流模型(SST)進(jìn)行仿真[4-5]。同時(shí)選取了幾種不同電極尺寸與排列間距分別計(jì)算等離子體電弧物理場(chǎng)，并進(jìn)行了后處理，對(duì)電阻、溫度、洛倫茲力、燒蝕質(zhì)量流率進(jìn)行了分析。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基本假設(shè)

等離子體電弧是不可壓縮的連續(xù)流體；等離子體電弧處于湍流狀態(tài)；等離子體電弧滿足局部熱力學(xué)平衡條件；等離子體電弧傳熱符合Rosseland輻射傳熱模型[6]；忽略旋流分量和重力。

1.2 計(jì)算區(qū)域

圖1是同軸浮動(dòng)電極式表面放電等離子體發(fā)生器剖面圖，其中心部位為被聚乙烯壁包裹的輸電桿，陽(yáng)極在其上端，電流自陽(yáng)極向下流過；固體為等間距排列在輸電桿聚乙烯壁上的浮動(dòng)電極，與輸電桿相絕緣；在等離子體區(qū)域電流向上流經(jīng)浮動(dòng)電極流回陰極。由于浮動(dòng)電極的周期性排列，可將同軸浮動(dòng)電極式表面放電等離子體發(fā)生器視為大量等效的等離子體發(fā)生單位的串聯(lián)[7-8]，筆者選取其中一個(gè)等離子體發(fā)生單位進(jìn)行計(jì)算，并忽略邊緣效應(yīng)。

如圖2所示，其中ABCDEFGH圍成的區(qū)域?yàn)榈入x子體電弧計(jì)算區(qū)域，CH為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，AB為等離子體流出邊界，AH與BC的延伸仍為等離子體電弧，CD與GH為聚乙烯壁。計(jì)算區(qū)域長(zhǎng)xm，寬ym，浮動(dòng)電極長(zhǎng)xs，寬ys。

1.3 控制方程

FLUENT軟件中內(nèi)置了流體基本的質(zhì)量連續(xù)性方程、動(dòng)量守恒方程、能量守恒方程[9]，以及數(shù)種湍流模型。采用充分考慮了低雷諾數(shù)和剪切流的剪切應(yīng)力模型(SST)作為湍流模型。

需要編寫UDF添加的燒蝕方程為

(1)

式中：Γ為燒蝕率；f為比例常數(shù)；σsb為黑體輻射系數(shù)；T為溫度；ha為燒蝕焓。

式(1)確定了聚乙烯壁的燒蝕質(zhì)量通量，由灰體輻射模型法計(jì)算所得[10-11]。

需要編寫UDF添加的磁流體動(dòng)力學(xué)模型包括：

1)電流連續(xù)性方程為

(2)

式中：r為徑向坐標(biāo)；x為軸向坐標(biāo)；jx和jr分別為軸向和徑向電流密度。

2)根據(jù)歐姆定律得到

(3)

(4)

式中：σ為電導(dǎo)率；φ為電勢(shì)。

3)磁矢勢(shì)方程：

(5)

(6)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；Ax和Ar分別為軸向和徑向磁矢勢(shì)。

4)磁感應(yīng)強(qiáng)度切向分量：

(7)

式中，Bθ為切向磁感應(yīng)強(qiáng)度。

與等離子體運(yùn)輸相關(guān)的動(dòng)量與能量守恒通過編寫UDF程序加入FLUENT的動(dòng)量與能量方程源項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)：

1)向FLUENT添加軸向動(dòng)量方程源項(xiàng)Fx：

Fx=jrBθ.

(8)

2)向FLUENT添加徑向動(dòng)量方程源項(xiàng)Fr：

Fr=-jxBθ.

(9)

3)向FLUENT添加能量方程源項(xiàng)Sh：

(10)

式中：kB為玻爾茲曼常數(shù)；e為基本電荷；σR為斯特藩-玻爾茲曼常數(shù)；λR為分子平均自由程。

式(8)、(9)為洛倫茲力，式(10)第1項(xiàng)為焦耳熱，第2項(xiàng)為洛倫茲功，第3項(xiàng)為Rosseland輻射傳熱模型。

式(2)～(10)實(shí)現(xiàn)了在FLUENT中建立完整的磁流體動(dòng)力學(xué)(MHD)模型。

1.4 邊界條件

1)質(zhì)量邊界條件：CD與HG為質(zhì)量入口邊界，質(zhì)量通量設(shè)置為式(1)。AB為壓強(qiáng)流出邊界，壓強(qiáng)為101.325 kPa(1個(gè)大氣壓)。

2)MHD模型邊界條件：BC和AH可設(shè)定電勢(shì)值或總電流密度。浮動(dòng)電極的電導(dǎo)率取黃銅電導(dǎo)率1.57×107S·m-1。等離子體工作氣體為聚乙烯等離子體，采用的等離子體輸運(yùn)系數(shù)見文獻(xiàn)[12]。另外，在CH處通入從H流入、從C流出的同值反向電流，并與其余各部分絕緣。

3)能量方程邊界條件：浮動(dòng)電極溫度為300 K，AH與BC為絕熱光滑表面。

2 求解過程

同軸浮動(dòng)電極式表面放電等離子體發(fā)生器工作時(shí)間短，僅為數(shù)毫秒，每平方厘米聚乙烯壁被燒蝕損失的質(zhì)量不到十毫克，因此尺寸上的變化可以忽略不計(jì)，網(wǎng)格種類選用固定網(wǎng)格。利用FULENT前處理軟件GAMBIT將計(jì)算域按正方形網(wǎng)格劃分，總網(wǎng)格數(shù)為16 800，節(jié)點(diǎn)數(shù)為17 131。

將編寫好的UDF編譯后導(dǎo)入FLUENT軟件，并添加3個(gè)用戶自定義標(biāo)量：UDS-0、UDS-1、UDS-2，分別用于計(jì)算電勢(shì)φ和兩個(gè)磁矢勢(shì)Ax、Ar，同時(shí)將邊界條件各參數(shù)輸入FLUENT軟件中，選定耦合(Coupled)與準(zhǔn)瞬態(tài)(Pseudo Transient)解算方法。

由于聚乙烯等離子體的物理特性隨溫度變化，電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流場(chǎng)、溫度場(chǎng)等各物理場(chǎng)之間相互耦合，需使用物理環(huán)境間接耦合法進(jìn)行處理。在每一輪迭代中，首先根據(jù)初值計(jì)算出電場(chǎng)環(huán)境中的電勢(shì)分布；然后由歐姆定律得到電流密度分布，并將電流密度的計(jì)算結(jié)果輸入磁場(chǎng)，得出磁感應(yīng)強(qiáng)度；之后將電磁力、焦耳熱、洛倫茲功、輻射傳熱等作為體積力、體積生熱代入流場(chǎng)中，求解速度和溫度的分布；最后將上述計(jì)算所得到的速度和溫度分布作為新的初值代入電場(chǎng)中開始新一輪的計(jì)算，反復(fù)迭代，直到計(jì)算收斂。由于UDF方程和源項(xiàng)的添加導(dǎo)致迭代計(jì)算過程容易發(fā)生振蕩，甚至是發(fā)散。為使求解順利進(jìn)行，根據(jù)前人的研究[13]，筆者在設(shè)計(jì)中提高了網(wǎng)格的質(zhì)量，最小正交質(zhì)量(Minimum Orthogonal Quality)為1.00；并設(shè)置較小的溫度亞松弛因子為0.6。

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 等離子體發(fā)生器物理場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果和后處理

本例中所采用的等離子體發(fā)生器為12個(gè)發(fā)生器單元串聯(lián)而成，每個(gè)單元尺寸為：xm=18 mm，xs=12 mm，ym=10 mm，ys=1 mm。取總電流為70 kA時(shí)仿真所得的各物理場(chǎng)為例進(jìn)行分析。

圖3為計(jì)算所得的等離子體電弧電勢(shì)分布，可見由于浮動(dòng)電極的電導(dǎo)率遠(yuǎn)大于等離子體電弧，所以浮動(dòng)電極自身的電勢(shì)差非常小，而在浮動(dòng)電極以外的等離子體中電流密度正比于電勢(shì)梯度，因此在E點(diǎn)和F點(diǎn)的電流密度是最大的。

圖4為等離子體電弧的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布，越靠近計(jì)算域?qū)ΨQ軸則磁感應(yīng)強(qiáng)度越大，在AB邊界的磁感應(yīng)強(qiáng)度接近0 T。

圖5為等離子體電弧的速度矢量，可見電流密度與磁感應(yīng)強(qiáng)度較高的地方所受洛倫茲力也較大，速度更高。

圖6為等離子體電弧溫度分布，位于聚乙烯壁正上方、距離各個(gè)熱量流出邊界較遠(yuǎn)的位置電弧溫度最高，為28 100 K，并比周圍的溫度分布更加集中。

溫度分布是所有物理量共同作用下的結(jié)果，也是模型每一步迭代求解的最后一部分，因此通過對(duì)比溫度分布能夠說明模型的正確性。本模型所得到的溫度分布方式與文獻(xiàn)[14]給出的幾乎完全一致，如圖7。

利用FLUENT的后處理功能對(duì)所得物理場(chǎng)進(jìn)行分析，得到此時(shí)發(fā)生器總電勢(shì)差為84 V×12=1 008 V；電流為70 kA，發(fā)生器單元電阻為84 V/70 kA=1.2 mΩ；發(fā)生器總電阻為1.2 mΩ×12=14.4 mΩ。

利用后處理功能在DE、EF、FG邊界上對(duì)垂直于表面的電流密度進(jìn)行積分，可以得到流經(jīng)浮動(dòng)電極的總電流為32.9 kA，同時(shí)可以算出作用于浮動(dòng)電極的洛倫茲力為789.6 N，方向向外。在理想狀態(tài)下，由于電流的軸對(duì)稱分布，浮動(dòng)電極所受的洛倫茲力僅為內(nèi)力，合力為0，然而實(shí)際上在起弧的瞬間電流分布可能并不均勻，因此整個(gè)等離子體發(fā)生器可能會(huì)遭受到由洛倫茲力產(chǎn)生的力矩。這里所給出的洛倫茲力可作為計(jì)算這種力矩上限的參考以及作為等離子體發(fā)生器力學(xué)特性分析的依據(jù)[15]。

利用后處理功能對(duì)燒蝕邊界CD和GH的燒蝕率進(jìn)行積分可求得此時(shí)CD和GH的燒蝕質(zhì)量流率之和為6.550 g/s，12個(gè)發(fā)生器單元的總燒蝕質(zhì)量流率為78.60 g/s。

3.2 各電流值仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

仍然采用3.1節(jié)中實(shí)例的尺寸，選取了數(shù)個(gè)不同電流值進(jìn)行仿真，并選取自由放電實(shí)驗(yàn)中相同電流值下所測(cè)得發(fā)生器總電阻值相比較，如表1所示。可見，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合較好，相對(duì)誤差絕對(duì)值在5%之內(nèi)。

表1 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)電阻值對(duì)比

3.3 電極尺寸與排列間距對(duì)物理場(chǎng)的影響

以3.1節(jié)中實(shí)例尺寸為基礎(chǔ)，當(dāng)總電流均為70 kA時(shí)，對(duì)調(diào)整了電極尺寸與電極排列間距的等離子體發(fā)生器物理場(chǎng)進(jìn)行仿真；并將得到的結(jié)果在表2中進(jìn)行對(duì)比。

表2 不同條件下物理場(chǎng)仿真結(jié)果對(duì)比

在嘗試的各種情況下，通過浮動(dòng)電極的電流都與浮動(dòng)電極的厚度和寬度正相關(guān)，而浮動(dòng)電極通過的電流越大、浮動(dòng)電極自身的寬度越大，其所受到的洛倫茲力也就越大。從建立的燒蝕模型可知，總燒蝕質(zhì)量流率與燒蝕邊界溫度正相關(guān)，正比于燒蝕邊界的總長(zhǎng)度，因此最高溫度較高時(shí)總燒蝕質(zhì)量流率也較高，最高溫度和燒蝕邊界長(zhǎng)度均較高時(shí)總燒蝕質(zhì)量流率最高。總燒蝕質(zhì)量流率直接決定了等離子體電弧向質(zhì)量流出邊界擴(kuò)散的速度，也決定了通電時(shí)刻與等離子體電弧點(diǎn)燃質(zhì)量流出邊界外發(fā)射藥的時(shí)刻的時(shí)間間隔[16]。

在xm/xs=1.5時(shí)，總電阻隨著浮動(dòng)電極的厚度減小而增加；最高溫度主要取決于等離子體電弧的熱量流出，其次取決于等離子體電弧的電阻率即產(chǎn)熱能力。而在xm/xs=3.0時(shí)，由于浮動(dòng)電極寬度的縮小、等離子體電弧的空間增大，等離子體電弧的熱量流出相對(duì)較小，熱量也更容易聚集在兩浮動(dòng)電極之間，此時(shí)電阻率對(duì)最高溫度的影響相對(duì)變大。

通過表2的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)等離子體發(fā)生器單元間距變小則電阻率變大，原因是間距的變小使得熱量流出邊界相對(duì)變大，熱量也更難聚集在兩個(gè)浮動(dòng)電極之間，而過大的等離子體發(fā)生器單元間距則可能會(huì)使整體溫度分布不均勻。另外，等離子體發(fā)生器單元間距變小后流過浮動(dòng)電極的電流變小，因此洛倫茲力也減小。

在所嘗試的情況下，xm=18 mm、xm/xs=3.0、ym/ys=10.0應(yīng)當(dāng)是最理想的等離子體發(fā)生器尺寸，因?yàn)榇藭r(shí)等離子體發(fā)生器總電阻較大，溫度最高，可見對(duì)電流的利用效率較高；浮動(dòng)電極受到的洛倫茲力較小，對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的要求相對(duì)降低；總燒蝕質(zhì)量流率最大，點(diǎn)火性能最好。

4 結(jié)論

1)給出了計(jì)算電熱炮同軸浮動(dòng)電極式表面放電等離子體發(fā)生器物理場(chǎng)的完整磁流體動(dòng)力學(xué)準(zhǔn)瞬態(tài)數(shù)學(xué)模型，通過UDF技術(shù)對(duì)ANSYS FLUENT二次開發(fā)實(shí)現(xiàn)了該種等離子體發(fā)生器物理場(chǎng)的仿真，仿真結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)所得符合較好。

2)對(duì)該種等離子體發(fā)生器物理場(chǎng)仿真的后處理結(jié)果顯示了每個(gè)浮動(dòng)電極可能遭受的洛倫茲力，以及整個(gè)等離子體發(fā)生器因此受到的最大力矩，可用于該種等離子體發(fā)生器力學(xué)特性分析。

3)用上述方法對(duì)調(diào)整尺寸后的同軸浮動(dòng)電極式表面放電等離子體發(fā)生器進(jìn)行仿真和對(duì)比，定性地得到了該種等離子體發(fā)生器物理場(chǎng)與其不同尺寸、不同間距的規(guī)律，選定了一種較優(yōu)尺寸，該尺寸及本文仿真分析方法均可供同類等離子體發(fā)生器設(shè)計(jì)參考。