徐飛，高兵兵

(1.鹽城工學(xué)院 汽車工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051；2.西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，陜西 西安 710072)

火炮作為地面部隊(duì)裝備的主要火力武器，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)越來越復(fù)雜，使用環(huán)境也趨于惡劣，其使用可靠性問題已經(jīng)成為影響作戰(zhàn)效能發(fā)揮的主要因素。因此,如何評(píng)估和提高火炮的可靠性成為目前亟需解決的問題。響應(yīng)譜和疲勞損傷等效技術(shù)被廣泛用于制定振動(dòng)加速試驗(yàn)譜[1-2]，進(jìn)而評(píng)估武器裝備系統(tǒng)(尤其是火炮、戰(zhàn)車等)在振動(dòng)環(huán)境下的潛在損傷和疲勞壽命[3]。為提高響應(yīng)譜計(jì)算效率和精度，Kelly和Smallwood分別提出采用脈沖響應(yīng)不變數(shù)字濾波器和斜階躍響應(yīng)不變數(shù)字濾波器計(jì)算沖擊響應(yīng)譜(Shock Response Spectrum, SRS)[4-5]。Ahlin對(duì)Smallwood的算法進(jìn)行了改進(jìn)，給出了利用斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算SRS和疲勞損傷譜(Fatigue Damage Spectrum, FDS)的MATLAB程序[6]。Brandt等對(duì)比了脈沖響應(yīng)不變法、斜階躍響應(yīng)不變法和Runge-Kutta方法在單自由度和多自由度系統(tǒng)中的計(jì)算結(jié)果，指出數(shù)字濾波器在計(jì)算速度、解的穩(wěn)定性、動(dòng)力學(xué)范圍以及誤差的可控性方面都明顯優(yōu)于Runge-Kutta[7]。ISO 18431-4給出了利用斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算SRS的具體過程，并分析了該方法引入的偏置誤差[8]。Ahlin等[9]分析了脈沖響應(yīng)不變法引入的混疊誤差以及階躍響應(yīng)不變法引入的偏置誤差和相位誤差，并給出了利用斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算非線性力學(xué)系統(tǒng)強(qiáng)迫響應(yīng)的方法[10-11]。近年來，利用斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算SRS、極值響應(yīng)譜(Extreme Response Spectrum, ERS)和FDS，以評(píng)估振動(dòng)與沖擊環(huán)境及推導(dǎo)試驗(yàn)譜等已得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用[12-14]。

盡管現(xiàn)有斜階躍響應(yīng)不變法引入的誤差隨著采樣頻率的增大而減小，但即使采樣頻率大于激勵(lì)信號(hào)最高頻率10倍以上，其誤差依然較大。為進(jìn)一步減小誤差，筆者基于卷積核重點(diǎn)研究了三點(diǎn)拉格朗日法引入的響應(yīng)偏置誤差和相位誤差，并在不同采樣率下與斜階躍響應(yīng)不變法進(jìn)行了對(duì)比，最后基于三點(diǎn)拉格朗日數(shù)字濾波器對(duì)FDS和ERS進(jìn)行了優(yōu)化分析，并結(jié)合案例對(duì)上述過程進(jìn)行了闡述。

1 理論建模

1.1 基于數(shù)字濾波器的FDS和ERS數(shù)學(xué)模型

對(duì)于時(shí)域信號(hào)，線性時(shí)不變力學(xué)系統(tǒng)的響應(yīng)等于激勵(lì)信號(hào)與脈沖響應(yīng)信號(hào)的卷積：

(1)

式中：x(t)為響應(yīng)；f(τ)為激勵(lì)；h(t)為脈沖響應(yīng)信號(hào)。

對(duì)于離散信號(hào)，當(dāng)前時(shí)間步的系統(tǒng)響應(yīng)x(n)可表示成如下數(shù)字濾波器形式[9]：

(2)

式中：bj和aj為數(shù)字濾波器系數(shù)；Nb和Na為數(shù)字濾波器階數(shù)。

考慮一個(gè)Q輸入P輸出的多自由度線性力學(xué)系統(tǒng)，其系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為模態(tài)模型：

(3)

式中：Nm為模態(tài)階數(shù)；[Rr]P×Q和Pr分別為系統(tǒng)第r階模態(tài)的留數(shù)矩陣和極點(diǎn)；上標(biāo)*表示復(fù)共軛。

由式(2)和(3)可知，利用數(shù)字濾波器可將多自由度系統(tǒng)在q點(diǎn)輸入下p點(diǎn)的響應(yīng)表示為

(4)

因此，構(gòu)造出不同數(shù)字濾波器的系數(shù)即可求解多自由度系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的響應(yīng)。筆者重點(diǎn)研究斜階躍響應(yīng)不變法以及三點(diǎn)拉格朗日法兩種數(shù)字濾波器。

常見的振動(dòng)響應(yīng)譜包括FDS和ERS。FDS本質(zhì)上描述了一系列單自由度系統(tǒng)對(duì)同一個(gè)加速度激勵(lì)的響應(yīng)，如圖1所示的各個(gè)單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)被轉(zhuǎn)換成一定時(shí)間內(nèi)的疲勞損傷并與其共振頻率形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖2所示。

在輸入加速度x(t)下，一個(gè)共振頻率為fn，阻尼比為ζ的單自由度系統(tǒng)的加速度輸出xa可利用數(shù)字濾波器求解：

xa=filter(b,a,x(t)),

(5)

式中：a和b對(duì)應(yīng)式(4)中所采用的數(shù)字濾波器的系數(shù)；filter為MATLAB函數(shù)。

在時(shí)域計(jì)算FDS時(shí)，利用雨流計(jì)數(shù)法對(duì)各應(yīng)力水平下的循環(huán)次數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)，然后結(jié)合S-N曲線和Miner準(zhǔn)則計(jì)算疲勞損傷量：

(6)

(7)

式中：Ni為應(yīng)力Si下的疲勞壽命；b為疲勞指數(shù)；D為時(shí)域總損傷；p為所考慮的應(yīng)力量級(jí)數(shù)；ni表示在應(yīng)力Si下的循環(huán)次數(shù)。

假設(shè)應(yīng)力與加速度成正比：

S=kxa，

(8)

則式(7)可表示為

(9)

ERS和FDS類似，不同之處在于ERS表示的是各單自由度系統(tǒng)的最大響應(yīng)值與其共振頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即

DERSt=max(filter(b,a,x(t))).

(10)

由式(9)、(10)可以看出，相比ERS，F(xiàn)DS由于受疲勞指數(shù)b(通常大于1)的影響，對(duì)不同數(shù)字濾波器的算法更加敏感，進(jìn)一步驗(yàn)證見2.2節(jié)。

1.2 數(shù)字濾波器誤差分析

各種數(shù)字濾波器方法對(duì)于輸入信號(hào)在單位采樣時(shí)間內(nèi)的插值近似都可看成是時(shí)域激勵(lì)信號(hào)與各濾波器卷積核的卷積，該卷積對(duì)應(yīng)于頻域的乘積。斜階躍響應(yīng)不變法的卷積核及其傅里葉變換如下[9]：

(11)

(12)

三點(diǎn)拉格朗日法的卷積核及其傅里葉變換如下：

(13)

(14)

由式(11)～(14)可以看出，數(shù)字濾波器引入的偏置誤差(%)和相位誤差分別為

(15)

(16)

2 仿真案例

2.1 基于數(shù)字濾波器的響應(yīng)誤差對(duì)比

以單自由度系統(tǒng)為例，詳細(xì)對(duì)比斜階躍響應(yīng)不變法以及三點(diǎn)拉格朗日法引入的偏置誤差和相位誤差。系統(tǒng)參數(shù)如下：m=1 kg，c=6 N·s/m，k=10 kN/m，采樣頻率fs=80 Hz。

在單位脈沖激勵(lì)下，圖3對(duì)比了理論FRF和采用數(shù)字濾波器方法得到的FRF。從圖3可以看出，兩種數(shù)字濾波器法得到的FRF都偏離了理論值。偏置誤差隨著信號(hào)最高頻率f和采樣率fs之比的增大而增大，如圖4所示。

從圖4可以看出，當(dāng)頻率比低于0.1時(shí)(即采樣頻率fs大于信號(hào)最高頻率f的10倍以上時(shí))，偏置誤差均小于5%，其中三點(diǎn)拉格朗日法偏置誤差更小并接近0。

圖5給出了兩種數(shù)字濾波器方法引入的相位誤差。從圖5可以看出，斜階躍響應(yīng)不變法相位誤差為0，三點(diǎn)拉格朗日法的相位誤差隨著信號(hào)最高頻率和采樣率之比的增大而增大，當(dāng)頻率比低于0.1時(shí)(即采樣頻率fs大于信號(hào)最高頻率f的10倍以上時(shí))，三點(diǎn)拉格朗日法的相位誤差接近0。

2.2 基于數(shù)字濾波器的響應(yīng)譜優(yōu)化分析

假設(shè)激勵(lì)加速度為xa(t)，持續(xù)時(shí)間為60 s，對(duì)應(yīng)頻率范圍2～40 Hz，功率譜密度為0.01 g2/Hz，如圖6所示。令質(zhì)量因子Q=10，疲勞指數(shù)b=4，分別基于斜階躍響應(yīng)不變法和三點(diǎn)拉格朗日法計(jì)算位移FDS和ERS。為對(duì)比不同采樣頻率下兩種濾波器計(jì)算結(jié)果，令采樣頻率分別為激勵(lì)信號(hào)最大頻率的2、4、6、10倍，結(jié)果如圖7、8所示。

從圖7、8可以看出，采樣頻率越大，利用兩種數(shù)字濾波器方法得到的FDS和ERS越準(zhǔn)確，且得到的FDS和ERS越接近；在同樣的采樣率下，利用三點(diǎn)拉格朗日法得到的FDS和ERS更準(zhǔn)確；由于最大共振頻率與加速度激勵(lì)的最高頻率重合，因此在40 Hz附近兩種濾波器算法下的FDS和ERS誤差略有縮??；即使采樣頻率達(dá)到10倍的激勵(lì)信號(hào)最大頻率，利用三點(diǎn)拉格朗日法得到的FDS和ERS依然比斜階躍響應(yīng)不變法更準(zhǔn)確。

利用三點(diǎn)拉格朗日法和斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算FDS和ERS，在不同頻率點(diǎn)計(jì)算得到兩種方法的相對(duì)誤差最大值，如圖9所示。圖中紅色曲線是分別利用三點(diǎn)拉格朗日法和斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算得到的FDS的相對(duì)誤差；綠色曲線是分別利用三點(diǎn)拉格朗日法和斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算得到的ERS的相對(duì)誤差。

從圖9可以看出，隨著采樣頻率的增大，利用兩種濾波器得到的FDS和ERS相對(duì)誤差減??；當(dāng)采樣頻率為激勵(lì)最高頻率的10倍時(shí)，F(xiàn)DS相對(duì)誤差超過10%，ERS相對(duì)誤差在2%到3%之間；當(dāng)采樣頻率約為激勵(lì)最高頻率的15倍時(shí)，F(xiàn)DS相對(duì)誤差小于5%；ERS相對(duì)誤差明顯小于FDS誤差。

3 工程應(yīng)用

GJB 150.16A—2009軍用裝備實(shí)驗(yàn)室環(huán)境試驗(yàn)方法規(guī)定，在隨機(jī)載荷作用下，采用功率譜密度(Power Spectrum Density, PSD)評(píng)估振動(dòng)環(huán)境下武器裝備系統(tǒng)的振動(dòng)耐久性[15]。然而，當(dāng)實(shí)測(cè)載荷服從非高斯分布時(shí)，直接計(jì)算其PSD將引入較大誤差。圖10為實(shí)測(cè)非高斯隨機(jī)載荷。

實(shí)測(cè)隨機(jī)載荷的PSD如圖11所示。利用該P(yáng)SD可在頻域直接求解FDS，如圖12紅色曲線所示，其隱含的假設(shè)是實(shí)測(cè)隨機(jī)載荷服從高斯分布；而利用筆者給出的三點(diǎn)拉格朗日法可在時(shí)域求解實(shí)測(cè)隨機(jī)載荷的FDS，可充分考慮實(shí)測(cè)載荷的非高斯隨機(jī)特性，如圖12藍(lán)色曲線所示。

從圖12可以看出，直接計(jì)算實(shí)測(cè)載荷的PSD會(huì)導(dǎo)致在整個(gè)頻率段上明顯的欠試驗(yàn)，從而降低武器裝備系統(tǒng)的振動(dòng)耐久性評(píng)估精度。

4 結(jié)論

筆者詳細(xì)對(duì)比了斜階躍響應(yīng)不變法和三點(diǎn)拉格朗日法兩種數(shù)字濾波器引入的偏置誤差及相位誤差，并基于三點(diǎn)拉格朗日數(shù)字濾波器對(duì)FDS和ERS進(jìn)行了優(yōu)化分析。結(jié)論如下：

1)采樣頻率大于激勵(lì)信號(hào)的最高頻率10倍以上時(shí)，兩種數(shù)字濾波器的偏置誤差均小于5%，其中三點(diǎn)拉格朗日法偏置誤差更小且接近0。

2)當(dāng)采樣頻率大于激勵(lì)最高頻率的10倍以上時(shí)，兩種數(shù)字濾波器的相位誤差均等于或接近0。

3)即使采樣頻率大于激勵(lì)信號(hào)最高頻率10倍以上，相比斜階躍響應(yīng)不變法，利用三點(diǎn)拉格朗日法計(jì)算得到的FDS和ERS依然更加準(zhǔn)確，且FDS精度提高10%以上。

4)相比ERS，F(xiàn)DS對(duì)于所選用的數(shù)字濾波器方法更加敏感。

5)當(dāng)實(shí)測(cè)隨機(jī)載荷服從非高斯分布時(shí)，利用筆者給出的三點(diǎn)拉格朗日數(shù)字濾波器法計(jì)算時(shí)域FDS，進(jìn)而反推損傷等效的PSD，可避免欠試驗(yàn)，提高振動(dòng)疲勞壽命的評(píng)估精度。

綜上所述，三點(diǎn)拉格朗日法引入的誤差最小，應(yīng)該取代斜階躍響應(yīng)不變法用于響應(yīng)譜計(jì)算，其對(duì)于提高武器裝備系統(tǒng)可靠性和疲勞壽命的評(píng)估精度具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。