劉卓沄，盧桂萍，彭崗舉

（1.北京理工大學珠海學院，廣東珠海 519000；2.珠海華星智造科技有限公司，廣東珠海 519000）

0 引言

隨著機器人技術蓬勃發(fā)展，越來越多機器人競賽出現(xiàn)。在大部分的機器人競賽中，麥克納姆輪全向移動平臺已經(jīng)得到了廣泛運用，其所存在的數(shù)學分析是當今全向輪中的一個研究熱點。國內(nèi)外大多數(shù)對麥克納姆輪運動分析以采用高等數(shù)學知識對其進行分析研究，存在分析復雜，理論性較強，應用性較低的情況。

本文將針對青少年在機器人競賽中對無法運用所學知識理解麥克納姆輪全向運動平臺運動原理這一問題，通過向量分析法分析麥克納姆輪的運動過程，利用數(shù)學分析建立全向平移運動學模型，使得青少年能夠在機器人競賽中予以實際運用麥克納姆，提高青少年機器人競賽的學術性，也可以提高青少年學生的創(chuàng)新實踐能力和科學研究能力。

1 研究現(xiàn)狀及背景

1.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

麥克納姆輪是1973 年由瑞典Mecanum AB 公司工程師Bengtllon 提出，其承載能力大，運動性能優(yōu)越，具有較高的研究價值。經(jīng)過長期的發(fā)展，其相關設計制造技術已經(jīng)較為成熟，而其相關運動學模型，正是當今研究的熱點。由于麥克納姆輪驅動的全向移動機器人存在諸多優(yōu)勢， 使其在工業(yè)界和學術界得到越來越多的關注，諸多學者對其運動學建模和動力學建模展開了研究[1]。

1.1.1 國外研究現(xiàn)狀

Patrick Muir 使用矩陣變換的方法提出麥克納姆輪全向移動平臺的運動學模型。在國外Jorge通過對比傳統(tǒng)車輪和全向輪的區(qū)別，并用旋量的方法提出麥克納姆輪的運動學模型，王一治[2]討論了麥克納姆輪四輪系統(tǒng)實現(xiàn)全方位運動的條件，比較了常見的6種布局形式，進而優(yōu)選出能實現(xiàn)全方位運動的最佳方案。Muir 等對此類機器人進行了運動學建模，從運動學方式上，給出了基于麥克納姆輪的全向機器人運動學公式。Tlale 等為此類機器人建立了動力學模型并從動力學角度對基于麥克納姆輪的全向機器人展開分析。盡管此類機器人的運動學和動力學模型發(fā)展較為成熟，針對應用于實際環(huán)境的移動機器人軌跡跟蹤控制研究仍然方興未艾[3]。

1.1.2 國內(nèi)的研究現(xiàn)狀

我國在移動機器人方面的研究起步較晚，但是發(fā)展勢頭卻十分迅速[4]。目前國內(nèi)大多數(shù)對麥克納姆輪分析以采用高等數(shù)學知識對其進行分析研究，存在分析復雜，理論性較強，應用性較低的情況。

1.2 研究背景和設計目的及意義

麥克納姆輪作為機器人競賽中應用最廣泛的全向平移平臺，面向群體廣。通過調查研究發(fā)現(xiàn)，不少青少年機器人賽事中，均出現(xiàn)了使用麥克納姆輪作為競賽的移動平臺。而麥克納姆輪存在結構繁瑣，運動原理復雜，蘊含的理論數(shù)學知識較多的情況。但大多數(shù)青少年所掌握的數(shù)學理論知識，無法正確地運用在對麥克納姆輪的分析中。

如何才能讓青少年群體更加充分地理解麥克納姆輪全向移動平臺的運動原理是當下需要解決的一個問題。所以需要研究一種簡單易懂的分析方法，使得青少年能夠充分理解麥克納姆輪的運動過程，正確使用麥克納姆輪作為機器人的移動平臺，并能通過簡要的數(shù)學公式應用在機器人的運動控制中。提高青少年機器人競賽的學術性，也可以提高青少年學生的創(chuàng)新實踐能力和科學研究能力。

2 麥克納姆輪全向移動平臺設計

2.1 模型建立

麥克納姆輪由一組圍繞輪體對稱放置的若干個全等小輥子組成，其中小輥子具備特殊輪廓曲線，具有零轉半徑的特點，能夠在在平面內(nèi)做任意方向的移動，從而實現(xiàn)機器人全方位移動的功能[5]。一個麥克納姆輪需要由一個電機單獨控制，并且4 個麥克納姆輪所組成的全向移動平臺具有良好的移動性能。因此，該研究選取兩個左旋和兩個右旋的麥克納姆輪對稱安裝，組成全向移動平臺，如圖1～2所示。

圖1 全向移動平臺俯視圖

圖2 全向移動平臺軸測圖

2.2 與其他模型建立對比

從車體運動學方面，將別的分析方法設的眾多物理變量里面一些對于理解麥克納姆輪的運動平臺影響不大的物理量省去，如別的分析方法設4個麥克納姆輪的轉動速度為ω1、ω2、ω3、ω4；車 體 的 速 度 為v1、v2、ω0；輥子的速度為vg1、vg2、vg3、vg4[3]。將輥子速度省去，把其他速度用向量進行表示，這樣會更簡潔易懂。在對單個麥克納姆輪方面，同樣地把輥子的運動曲線以及輥子的結構設計省去，因為此部分涉及的數(shù)學知識和力學知識比較多，青少年理解起來頗為困難，又因基于向量分析法對麥克納姆輪全向移動平臺的研究目的是為了讓青少年更直觀地理解麥克納姆輪全向移動平臺的運動原理，從而更有效地應用在比賽上。

3 麥克納姆輪全向移動平臺運動分析

3.1 對單個麥克納姆輪分析

單個麥克納姆輪的運動包括輪廓的運動和小輥子的運動。輪轂和不與地面接觸的小輥子繞輪轂中心轉動[6]。

如圖3所示，左側的麥克納姆輪在地面上向前滾動時受到地面對輪子向前的摩擦力f，將這個力沿著滾軸的兩個互相垂直的方向進行正交分解得到分力F1和F2，由于麥克納姆輪四周的滾軸各擁有一個旋轉自由度，所以分力F1實際上只使得滾軸轉動而并沒有影響輪子的移動；分力F2是對輪子有大小為fcos 45°的壓力，那么輪子就會朝著F2的方向移動，這個分力才是讓麥克納姆輪移動的動力。同理，圖3所示右側的輪子會受到45°角斜向左上方的力。

圖3 麥克納姆輪受力分析

3.2 對麥克納姆輪全向移動平臺研究

單個麥克納姆輪無法實現(xiàn)全方位移動，至少需要4個才能組成全方位移動平臺。本文將以常規(guī)四輪麥克納姆輪全向移動平臺為例進行運動分析，該移動平臺可實現(xiàn)全方位移動。

通過分析整體全方位移動平臺，發(fā)現(xiàn)后兩輪的情況和前兩輪也是及其相似的，并得出以下結論：（1）左右一對麥克納姆輪各自受到的力都斜向外側呈45°夾角；（2）因為麥克納姆輪全向移動平臺中左上角的輪子安裝和右下角的相同，右上角的和左下角的相同，所以在分析全向移動平臺整體運動時可以把這兩對相同特征的輪子整體考慮。

如圖4～5 所示，以機器人的幾何中心建立坐標系，原點C為車體的幾何中心，其y軸始終指向車體縱軸，x軸與y軸垂直并組成右手坐標系，x軸與驅動電機輸出軸平行，y軸與x軸垂直并組成右手坐標系?！觥觥觥鯟D表示麥克納姆輪的右前輪和左后輪的單位速度，■→■■■CF表示左前輪和右后輪的單位速度，它們互相垂直，則可以把這兩個矢量作為正交基底合成平面內(nèi)任意一個矢量，這在機器人的移動上的效果則是改變4 個輪子的轉速實現(xiàn)機器人在平地上的全向平移。

圖4 全向移動平臺坐標系

由圖5得x和y的值為0.5，化簡式（1）可得下式：

圖5 全向移動底盤向量示意圖

根據(jù)上述數(shù)學關系可知這兩個實數(shù)可以分別表示兩對安裝相同的輪子的轉速，因此可得出了麥克納姆輪的全向平移運動模型如下：

4 應用實例

在青少年機器人競賽中，機器人的運動控制尤為重要，在不少比賽中，對參賽選手所設計的機器人的移動精度提出了較高的要求。一項名為FTC 科技挑戰(zhàn)賽的機器人競賽，每年約有25 萬名高中生參與其中，是規(guī)模最大的青少年機器人競賽。該機器人競賽分為自動階段和手動階段，在自動階段，參賽機器人完全由事先編好的程序自動運行以完成指定任務。作為競賽場地的環(huán)境設置較為復雜，故不可預見性較強。機器人能夠在程序控制下完成任務，是靠自身安裝的各種傳感器“認識和感知”周圍復雜的場地情況并自動判斷執(zhí)行相關程序。手動控制階段， 則是參賽隊員操控手柄， 通過WiFi 與機器人建立連接，手動控制機器人完成相關任務[7]。

4.1 全自動程序的應用

自動階段需要讓機器人全自主運動，在限定的時間內(nèi)，完成對應的任務，這對機器人的移動提出了較高的要求。通過使用全向平移方程，只需用Y軸方向和X軸方向的位移計算出機器人所需位移的距離，根據(jù)麥克納姆輪周出，以及每個輪子的轉動圈數(shù)，再依靠時間與速度的關系計算出每個輪子分配的功率，即可以讓機器人移動到指定的位置，避免了繁瑣的程序編寫，將全向移動平臺自動控制代碼由原來23 行命令代碼，縮減到僅5行，實現(xiàn)了對程序的精簡化，如圖6所示。

圖6 自動階段程序

4.2 手動程序應用

手動階段需要參賽選手通過遙控器操縱場上的機器人，完成相應的競賽任務，需要更好地操縱機器人，盡可能做到人機結合。而參賽選手在場上所使用的遙控器由左右兩個搖桿控制，搖桿的運動可分為x軸上的分量和y軸上的分量，且搖桿的返回值為x軸和y軸的坐標，將這特點與全向平移方程結合，能過完全模擬機器人的運動狀態(tài)。降低了參賽選手對機器人的操作難度，提升了操作效率。如圖7～8所示。

圖7 手動階段程序1

圖8 手動階段程序2

5 結束語

本文基于向量分析法對麥克納姆輪全向移動平臺的研究對麥克納姆輪的應用，在研究方法上實現(xiàn)了創(chuàng)新，擯棄了難度較大的高等數(shù)學相關知識體系，能讓青少年群體使用通俗易懂的知識體系進行研究，讓青少年更好地運用自己的所學知識，提高綜合運用知識能力和自學能力，具有一定的促進作用。并且可使得麥克納姆輪更加廣泛地運用在各種機器人競賽乃至其他應用場合。

隨著青少年機器人競賽的普及，將會有更多的群體參與其中，更多難度較大的知識將會運用其中，未來將繼續(xù)研究相關機器人競賽的技術難點，普及相關機器人技術。