林平芬（福建省龍巖市蓮東小學(xué)）

“臨界點(diǎn)”是物理學(xué)名詞，指物體由一種狀態(tài)變成另一種狀態(tài)前，應(yīng)具備的條件。例如：水→冰→水蒸氣，因?yàn)槟芰坎煌霈F(xiàn)了相的改變，相的改變代表界的不同，這時(shí)，我們稱(chēng)它為臨界了，而臨界時(shí)的值則稱(chēng)為臨界點(diǎn)，后來(lái)人們用以形容事態(tài)發(fā)展的待變狀態(tài)。那么，我常想：在數(shù)學(xué)中，是否存在待變狀態(tài)，也就是“臨界點(diǎn)”呢？《基于核心素養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維培養(yǎng)》課題開(kāi)展研究后，我發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中不僅無(wú)處不在，還蘊(yùn)含著豐富內(nèi)涵，具有特殊性，只不過(guò)在教學(xué)中往往被忽略而已。

多年的教學(xué)實(shí)踐中，我從“臨界點(diǎn)”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)它，尋找它，理解它，運(yùn)用它，從而引導(dǎo)學(xué)生逐步走向結(jié)構(gòu)化思維的探索之路。

一、認(rèn)識(shí)“界”，感受“界”之特殊

何為數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域里的“臨界點(diǎn)”呢？我以下列說(shuō)明：

張奠宙先生說(shuō)：“首先要給出0，再談?wù)?fù)數(shù)。”把這句話轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言：正數(shù)→0→負(fù)數(shù)，以“0”為界，就形成了一個(gè)數(shù)域的結(jié)構(gòu)，如果放到數(shù)軸上，結(jié)構(gòu)就一目了然了。（如圖一）

圖一

以“0”為界，形成數(shù)域結(jié)構(gòu)后，我們?cè)賮?lái)解讀教材就更能理解編者的設(shè)計(jì)意圖了。人教版六年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”這單元，共有3個(gè)例題，例1以溫度引入課題，0°C表示淡水開(kāi)始結(jié)冰的溫度，是零上溫度與零下溫度的分界點(diǎn)，這是自然意義規(guī)定的相反量；還有一種人為規(guī)定的分界，如教材中的例2、例3：例2從存折分析，收入為正，支出為負(fù)；例3以大樹(shù)為界，向東為正，向西為負(fù)；除此以外，如，以海平面為界（記作0），比海平面高記為正數(shù)，比海平面低記為負(fù)數(shù)；以商場(chǎng)為例，盈利為正、虧損為負(fù)；以產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)如薯片200克為界（記作0），超出部分為正，不足部分為負(fù)，以北京時(shí)間為界（記作0），比它早為正，比它遲記為負(fù)……但無(wú)論是自然規(guī)定還是人為規(guī)定，正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)為0是無(wú)可厚非的。自然意義規(guī)定的“0”（如氣溫），學(xué)生是有體驗(yàn)的，固定的、比較容易理解；而人為規(guī)定的“0”是變化的，學(xué)生的體驗(yàn)不足，難度就增加了。但如果明確了“0”這個(gè)分界點(diǎn)的重要性，確定了0，再來(lái)談?wù)?fù)數(shù)，難度就降低了。

這樣，學(xué)生就能較好地認(rèn)識(shí)“界”的真正內(nèi)涵，并感受其特殊必性，從而形成數(shù)域結(jié)構(gòu)，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化思維的形成。

二、尋找“界”，發(fā)現(xiàn)“界”之所在

學(xué)生認(rèn)識(shí)了“界”之后，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生尋找更多的“臨界點(diǎn)”，并自主建構(gòu)各種數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，努力促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的形成。我是從以下三方面引領(lǐng)學(xué)生尋找“臨界點(diǎn)”的：

（一）從特殊點(diǎn)入手尋找

“特殊點(diǎn)”之所以特殊，就在于它的與眾不同。如“0”。我們知道，以“0”為界，可以區(qū)分正負(fù)，以“0”為界，點(diǎn)上“小數(shù)點(diǎn)”，還能把一個(gè)小數(shù)分成了整數(shù)部分、小數(shù)點(diǎn)和小數(shù)部分。0就是一個(gè)特殊點(diǎn)；還有“1”，以“1”為界，可以區(qū)分真假分?jǐn)?shù)，比1大的分?jǐn)?shù)，即分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫作真分?jǐn)?shù)，比1大或等于1的分?jǐn)?shù)，即分子比分母大或分子與分母相等的分?jǐn)?shù)叫作假分?jǐn)?shù)。以“1”為界，一個(gè)數(shù)，乘1，就得原數(shù)；一個(gè)數(shù)乘比1大的數(shù)，積就比原數(shù)大；一個(gè)數(shù)乘比1小的數(shù)，積就比原數(shù)小。同理，以“1”為界，一個(gè)數(shù)除以1，除以比1大的數(shù)、除以比1小的數(shù)，商也有一定的規(guī)律。以90°為界，可以對(duì)角進(jìn)行分類(lèi)：小于90°的是銳角、等于90°的是直角，大于90°小于180°的是鈍角，等于180度的是平角，等于360°的是周角，大于180°而小于360°的是優(yōu)角……像這樣，數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域里的特殊點(diǎn)比比皆是，在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們?nèi)绻芤龑?dǎo)學(xué)生隨時(shí)關(guān)注各種“臨界點(diǎn)”，并迅速建立起各種知識(shí)結(jié)構(gòu)，便能很好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維能力。

（二）從對(duì)比入手尋找

“臨界點(diǎn)”的核心特征是“相變”，那么，教師就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生觀察“相變”的過(guò)程，并對(duì)變化前后的數(shù)量關(guān)系、空間形式進(jìn)行對(duì)比，便可尋找到“臨界點(diǎn)”之所在?！笆M(jìn)制”計(jì)數(shù)法是目前世界通用的計(jì)數(shù)法，1，2，3，4，5，6，7，8，9，當(dāng)數(shù)到9時(shí)，再添上1就是10，數(shù)的表征從一位數(shù)變成了兩位數(shù)，即數(shù)由一個(gè)數(shù)字轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)字組合而成?！?0”就是一位數(shù)變?yōu)閮晌粩?shù)的分界點(diǎn)，這個(gè)特殊性如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并感知呢？教材里用數(shù)小棒的活動(dòng)，1根、2根、…9根，當(dāng)數(shù)到9根時(shí)，再添上一根是10根，把它們捆成一捆，課堂教學(xué)實(shí)踐中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么要捆成一捆呢？”“這一捆小棒可以表示什么？還可以表示什么呢？”學(xué)生操作時(shí)，10根“捆”成一捆的操作就賦予了“1個(gè)十”和“10個(gè)一”的含義，數(shù)出10根，捆成一捆，再拆開(kāi)來(lái)，數(shù)一數(shù)，再捆成一捆，這樣反復(fù)操作，引導(dǎo)學(xué)生充分感知10個(gè)一等于1個(gè)十，1個(gè)十等于10個(gè)一，建構(gòu)了“十進(jìn)制”計(jì)數(shù)法的模型，為后續(xù)十位上的滿十進(jìn)一、百位上的滿十進(jìn)一、千位上的滿十進(jìn)一……提供了有力的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然就能遷移應(yīng)用。從“10”這個(gè)特殊的數(shù)字出發(fā)，感受十進(jìn)制的進(jìn)位“臨界點(diǎn)”的特殊性，是對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域知識(shí)具有深遠(yuǎn)影響的關(guān)鍵生長(zhǎng)點(diǎn)。

（三）從運(yùn)動(dòng)入手尋找

在《三角形》單元教學(xué)中，我在學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形并學(xué)會(huì)了分類(lèi)后，設(shè)計(jì)了運(yùn)用幾何畫(huà)板，讓學(xué)生在方格圖中通過(guò)運(yùn)動(dòng)，感受三角形頂點(diǎn)平移引起角的大小變化、引起三角形分類(lèi)的變化、引起三角形高的位置的改變的探究。以直角形為界，我先固定了一個(gè)銳角三角形和一個(gè)直角三角形，再讓鈍角三角形隨著頂點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)起來(lái)，截圖如下（圖二）：

圖二

當(dāng)鈍角三角形的頂點(diǎn)D平移運(yùn)動(dòng)起來(lái)后，我提出了三個(gè)問(wèn)題：

鈍角三角形的頂點(diǎn)D平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，什么變了，什么不變？

什么時(shí)候會(huì)變成直角三角形呢？以直角三角形為界，當(dāng)點(diǎn)D走到哪兒時(shí)，變成銳角三角形？走到哪兒時(shí)又變成了鈍角三角形呢？

你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

在討論第1個(gè)問(wèn)題時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為鈍角三角形的頂點(diǎn)D平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，三角形的底邊不變，頂點(diǎn)D的位置變了，另外兩條邊的位置與大小隨之改變，所以三角形的角度、形狀都變了，有時(shí)是鈍角三角形，有時(shí)是直角三角形，有時(shí)是銳角三角形。

在討論第2個(gè)問(wèn)題時(shí)，有的學(xué)生直觀指出，當(dāng)三角形的高DB與邊DC重合時(shí)，就是直角三角形，只有這兩種情況。

當(dāng)點(diǎn)D在底邊BC的正上方之間時(shí)，也就是高在三角形內(nèi)，是銳角三角形；當(dāng)D點(diǎn)移到線段BC的上方外時(shí)，這個(gè)三角形就變成了鈍角三角形。

在討論第3個(gè)問(wèn)題“你還有什么發(fā)現(xiàn)？”時(shí)，學(xué)生說(shuō)，在方格圖里，我可以清楚看見(jiàn)三角形的底不變，高的長(zhǎng)度也不變，形狀不斷變化。

運(yùn)用幾何畫(huà)板讓圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，或旋轉(zhuǎn)，或平移，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生觀察、思考、分析，讓學(xué)生能直觀地看明白，以直角三角形的直角邊為界，頂點(diǎn)處在不同的位置，三角形的類(lèi)型就不同，特別是鈍角三角形，頂點(diǎn)離底邊越遠(yuǎn)，高就離底邊越遠(yuǎn)，鈍角就越大，形狀變化就越大，同時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了“三角形等積變形”的形成過(guò)程，明確了直角三角形是形變的“臨界點(diǎn)”之所在，從而便自主地建構(gòu)起知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。

像這樣在運(yùn)動(dòng)中尋找“臨界點(diǎn)”的方法，在“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)中常常適用。如：兩條直線在同一平面內(nèi)的位置關(guān)系：相交與垂直，運(yùn)用幾何畫(huà)板，在運(yùn)動(dòng)中可以使學(xué)生深度理解，在同一平面內(nèi)，垂直是兩條直線相交的一種特殊情況，以它為界，其余的相交都不會(huì)成直角，只能稱(chēng)為相交；角的分類(lèi)也可以，在運(yùn)動(dòng)中，以直角為“臨界點(diǎn)”，可以迅速幫助學(xué)生建立角的類(lèi)別知識(shí)結(jié)構(gòu)。像這樣的例子還有很多，在運(yùn)動(dòng)國(guó)尋找“臨界點(diǎn)”，不僅可以幫助學(xué)生建構(gòu)“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)結(jié)構(gòu)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

三、理解界，明晰界之關(guān)聯(lián)

建立了界以后，理解界之關(guān)聯(lián)是需要老師下大功夫的。如何理解界之關(guān)聯(lián)呢？數(shù)形結(jié)合與問(wèn)題驅(qū)動(dòng)乃是良策。

（一）以表助解，界中晰聯(lián)

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”無(wú)論是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，還是“圖形與幾何”領(lǐng)域，均可應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，用畫(huà)圖、列表等方式，幫助學(xué)生理解“臨界點(diǎn)”，明確界之關(guān)聯(lián)。

以人教版五年級(jí)上冊(cè)“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”為例：質(zhì)數(shù)的概念是一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)就叫作質(zhì)數(shù)；合數(shù)的概念是一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫作合數(shù)。那么根據(jù)這兩個(gè)概念，一個(gè)數(shù)所含的因數(shù)數(shù)量是判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的要點(diǎn)，它們的分界點(diǎn)就在2個(gè)因數(shù)上。為了方便理解，我們可以做成下面的表格（如圖三）：

圖三

通過(guò)上面的列表分析，可以清晰地看出整數(shù)1為什么既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，因?yàn)樗囊驍?shù)數(shù)量最特別，只有1個(gè)。而質(zhì)數(shù)是兩個(gè)，合數(shù)的因數(shù)數(shù)量是2個(gè)以上，即3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)……通過(guò)列表，可以使學(xué)生更為清晰地理解質(zhì)數(shù)與合數(shù)的界在何處，是怎樣建立的，這樣的方式形成的數(shù)的分類(lèi)結(jié)構(gòu)是有框架的，有源可溯，有據(jù)可依的，用這樣的方式建立的概念模型是關(guān)聯(lián)的，牢不可破的。

（二）以形助解，融中建聯(lián)

除了列表之外，數(shù)形結(jié)合的強(qiáng)大力量是人盡皆知的，我們要想盡辦法，將它融入課堂教學(xué)中。以人教版四年級(jí)上冊(cè)“角的度量”為例，我畫(huà)出這樣一條線段（如圖四）：

圖四

你認(rèn)為上圖中的（ ）點(diǎn)可能是（ ）角，大約是（ ）°，理由是：（ ）。

這樣的設(shè)計(jì)，把角的分類(lèi)知識(shí)放到線段上，在0o~360o之間，設(shè)置不同的點(diǎn)，將數(shù)與形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感與量感，滲透了數(shù)形結(jié)合、化曲為直的數(shù)學(xué)思想。其中B點(diǎn)表示的約是90°，是直角，它是一個(gè)“分界點(diǎn)”，具有參照作用。

理解界，以列表、數(shù)形結(jié)合等方式分析“界”與“界”之間的關(guān)聯(lián)，明確“界”形成的原因，有助于結(jié)構(gòu)的形成，促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng)。

四、運(yùn)用“界”，實(shí)施“界”之本質(zhì)

學(xué)生建立起“臨界點(diǎn)”的概念后，就需要有意識(shí)地引導(dǎo)他們運(yùn)用這一知識(shí)本質(zhì)特征去解決問(wèn)題。如在《三角形》單元教學(xué)中，學(xué)生運(yùn)用幾何畫(huà)板建立了“三角形的等積變形”模型后，明確了三角形分類(lèi)的“臨界點(diǎn)”后，我設(shè)計(jì)了這樣一道選擇題：

如右圖（圖五），平行四邊形內(nèi)有一個(gè)三角形ABC，已知它的面積是18平方分米，那么陰影部分的面積是（ ）平方分米。

圖五

此題只給了一個(gè)信息：三角形的面積是18平方分米，要求的是陰影部分的面積是多少平方分米？而陰影部分是由兩個(gè)三角形組成的，它們的底和高的大小均未知，所以感覺(jué)本題有一定的難度。但在我執(zhí)教的《三角形面積的再認(rèn)識(shí)》一課中，因?yàn)閷W(xué)生在圖形的“運(yùn)動(dòng)”中建立了關(guān)于“臨界點(diǎn)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有近60%的學(xué)生馬上給出了答案為C。他們的想法如圖六所示，將三角形ABC的頂點(diǎn)A沿著平行四邊形的上邊平移，移至對(duì)角的位置，這時(shí)三角形ABC的面積就是平行四邊形的一半，也與原來(lái)的面積相等（同底等高），所以陰影部分的面積就是三角形ABC的面積。

圖六

又如，在五年級(jí)上冊(cè)《異分母分?jǐn)?shù)的加減法》一課中，我出了這樣一道單項(xiàng)選擇題：

下列各式中，（ ）的和大于1。

由此可見(jiàn)，一旦學(xué)生認(rèn)識(shí)了“臨界點(diǎn)”，形成了尋找“臨界點(diǎn)”的習(xí)慣，知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成就水到渠成了。當(dāng)他們?cè)趯W(xué)習(xí)中遇到困難時(shí)，就能自主探索，自覺(jué)實(shí)踐，形成運(yùn)用“臨界點(diǎn)”來(lái)解決問(wèn)題的思考方式，日積夜累，長(zhǎng)此以往，他們就逐漸從“臨界點(diǎn)”走向了結(jié)構(gòu)化思維。