江立輝, 馬成蕓, 陳華友

(1.合肥學(xué)院 人工智能與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 安徽 合肥 230601; 2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230039)

0 引言

自從Zadeh于1965年提出模糊集理論之后,有關(guān)模糊集理論的研究引起了廣大學(xué)者的關(guān)注,直覺(jué)模糊集、區(qū)間值直覺(jué)模糊集、區(qū)間值猶豫模糊集等新的概念先后被提出來(lái).對(duì)偶猶豫模糊集因?yàn)榘穗`屬猶豫函數(shù)和非隸屬猶豫函數(shù)兩個(gè)部分,可以更加靈活地為域中的每個(gè)元素賦值,因此能夠更加客觀地反映實(shí)際情況[1].模糊軟集是另一種模糊信息的表現(xiàn)形式,它為模糊環(huán)境下的決策研究打開(kāi)了一扇新的窗戶.軟集理論自提出以來(lái)得到了極大的豐富,包括區(qū)間值模糊軟集、區(qū)間值直覺(jué)模糊軟集、對(duì)偶猶豫模糊軟集、廣義模糊軟集、區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集、廣義區(qū)間值直覺(jué)模糊軟集、雙極值直覺(jué)模糊軟集等理論[2-11]被先后提出.距離和相似度是不確定性度量中的兩個(gè)重要的概念,是確定兩個(gè)對(duì)象之間關(guān)系的重要工具.2011年，Xu和Xia研究了猶豫模糊集的距離和相似度量公理化公式[12],王超在此基礎(chǔ)上提出了基于Hamming距離和Euclidean距離區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集的相似性度量[7].黃鶴基于三種猶豫模糊集的包含度提出了廣義猶豫模糊軟集的相似度量公式，并構(gòu)造了一種決策方法[13].

本文在上述研究的基礎(chǔ)上,將區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集與廣義模糊軟集相結(jié)合,提出了一型和二型廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集的概念,定義其交、并、補(bǔ)、“且”、“或”的運(yùn)算,證明了相應(yīng)的性質(zhì).此外,基于二型廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集的距離測(cè)度,研究了它的相似性度量及其性質(zhì).最后,提出了一種基于二型廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集相似度的多屬性決策方法,并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明了該方法的可行性和有效性.

1 基本概念

定義1[6]設(shè)U是一個(gè)初始論域,E是一個(gè)參數(shù)集,P(U)表示U的冪集,A?E,F:A→P(U)是一個(gè)映射,μλ是A的模糊子集,即μλ:A→[0,1].定義映射Fλ:A→P(U)×[0,1],對(duì)?e∈A,有Fλ(e)=(F(e),μλ(e)).其中F(e)∈P(U),μλ∈[0,1],則稱Fλ是軟論域(U,E)上的廣義模糊軟集.

2 廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集

1)A?B;

3) 〈μ2,ν2〉是〈δ2,ε2〉的子集,即?ej∈A,μ2(ej)≤δ2(ej)且ν2(ej)≥ε2(ej).

其中,函數(shù)σ(θ):(1,2,…,s)→(1,2,…,s)是一個(gè)序列,滿足hσ(θ)(x)≤hσ(θ+1)(x)(θ=1,2,…,s-1),即hσ(θ)是h中第θ大的值,s是h(xi,ej)中元素的個(gè)數(shù);函數(shù)ζ(η):(1,2,…,t)→(1,2,…,t)是一個(gè)序列,滿足gζ(η)≤gζ(η+1)(η=1,2,…,t-1),即gζ(η)是g中第η大的值,其中t是g(xi,ej)中元素的個(gè)數(shù).

根據(jù)定義8易得下述定理．

下面給出廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集交和并的定義．

同理可證,式(2)～(6)也成立.

λ2H(ej)=max{μ2(ej),δ2(ej)},κ2H(ej)=min{ν2(ej),ε2(ej)},

λ2HC(ej)=min{ν2(ej),ε2(ej)},κ2HC(ej)=max{μ2(ej),δ2(ej)},

λ2Q(ej)=max{ν2(ej),ε2(ej)},κ2Q(ej)=min{μ2(ej),δ2(ej)},

同理可證2)成立.

證明證明過(guò)程參考文[14]，可到得結(jié)論.

證明參見(jiàn)引文[14]的方法,容易證得結(jié)論．

下面給出廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集“且”、“或”的定義.

證明可參照文[14]，此處略.

3 廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集的相似度量

(1)

其中

則稱映射S為廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集的相似度量.

定理7 廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集的相似度量公式為

(2)

其中Hμ2ν2(ej)=(μ2(ej),ν2(ej)),Hδ2ε2(ej)=(δ2(ej),ε2(ej)).

證明1) 顯然成立;

根據(jù)定義6,有

μ2(ej)≤δ2(ej)≤ω2(ej)且ν2(ej)≥ε2(ej)≥θ2(ej).

SG(Hμ2ν2(ej),Hω2θ2(ej))≤min(SG(Hμ2ν2(ej),Hδ2ε2(ej)),SG(Hδ2ε2(ej),Hω2θ2(ej)))

4 基于廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集的多屬性決策方法

相似度量在決策、模式識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)和市場(chǎng)預(yù)測(cè)等許多領(lǐng)域中都非常重要,現(xiàn)有文獻(xiàn)在這方面也做了大量的研究.本節(jié)在廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集基礎(chǔ)上提出新的相似度量的概念,并基于此構(gòu)建一種新的決策方法.

對(duì)于一個(gè)多屬性決策問(wèn)題, 設(shè)U={x1,x2,…,xn}是一個(gè)初始論域,E={e1,e2,…,en}是一個(gè)參數(shù)集.首先構(gòu)造廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集正理想解和負(fù)理想解,表達(dá)式如下

(3)

(4)

顯然0≤s≤1,并且s的值越大,相應(yīng)的備選方案就越好.因此,可以通過(guò)s來(lái)對(duì)備選方案進(jìn)行排序,從而得到最佳備選方案.上述方法可歸納結(jié)為下面步驟.

步驟5: 通過(guò)排序選擇出最佳備選方案.

5 算例分析

隨著全球經(jīng)濟(jì)一體化進(jìn)程的推進(jìn),能源成為制約經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的重要因素,如何選擇合適的能源項(xiàng)目對(duì)一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和環(huán)境保護(hù)有著十分重要的意義．某地計(jì)劃對(duì)5個(gè)能源項(xiàng)目U={x1,x2,x3,x4,x5}進(jìn)行投資評(píng)估,參數(shù)集E={e1,e2,e3,e4}分別表示資源(e1)、生產(chǎn)(e2)、消費(fèi)(e3)和環(huán)境(e4),通過(guò)專家評(píng)估,綜合考慮這些因素后進(jìn)行投資決策．

步驟1: 根據(jù)實(shí)際情況,將專家提供的決策信息構(gòu)建廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息決策矩陣,包含各項(xiàng)目的屬性值及屬性權(quán)重．如表1所示．

表1 能源項(xiàng)目評(píng)分表

表2 不同參數(shù)下備選項(xiàng)目的相似度及排序

從計(jì)算結(jié)果可以看出,隨著參數(shù)λ的變化,項(xiàng)目的排序也會(huì)產(chǎn)生變化,但最優(yōu)項(xiàng)目的選擇基本穩(wěn)定,始終有x5和x3這兩個(gè)項(xiàng)目?jī)?yōu)于其他備選項(xiàng)目,故建議選擇項(xiàng)目x5進(jìn)行投資.

6 小結(jié)

廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集可以更多地表述決策者的猶豫態(tài)度,它不僅能夠描述元素xi屬于論域U的程度,還考慮到了參數(shù)ej的猶豫情況,是現(xiàn)有軟集理論的一種擴(kuò)充.文章定義了廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集的交、并、補(bǔ)、“且”、“或”運(yùn)算及性質(zhì),提出了相關(guān)定理,同時(shí)對(duì)其進(jìn)行了證明．此外,研究了該軟集的相似度量,并給出了基于廣義區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊軟集的多屬性決策方法.最后,通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性.