林煒， 黃甫全， 陳靜安

（1．廣東第二師范學(xué)院 教師教育學(xué)院， 廣東 廣州510303；2．華南師范大學(xué) 基礎(chǔ)教育學(xué)院， 廣東 廣州510631；3．廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州510303）

學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是當(dāng)代教育的熱點議題。 近日，教育部印發(fā)了《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022 年版）》），其中“素養(yǎng)導(dǎo)向”是新修訂課程方案的一個顯著特征，即注重培育學(xué)生終身發(fā)展和適應(yīng)社會發(fā)展所需的核心素養(yǎng)。 專家對《課標(biāo)（2022 年版）》的解讀指出：新課程標(biāo)準(zhǔn)要以深化教學(xué)改革為突破，強化學(xué)科實踐，推進育人方式變革。 核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最終要落在學(xué)科核心素養(yǎng)的培育上［1］。 我國基礎(chǔ)教育課程改革早已確立了提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心價值目標(biāo)［2］，《課標(biāo)（2022 年版）》亦再次強調(diào)“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng)”。 學(xué)界一致認同數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)就是形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)［3］。 因而，數(shù)學(xué)素養(yǎng)教育的創(chuàng)新與研究將會持續(xù)受到學(xué)界的普遍關(guān)注。 縱觀國外相關(guān)文獻，學(xué)者們按照學(xué)習(xí)者的年齡段已經(jīng)分別就幼兒數(shù)學(xué)素養(yǎng)（Early Numeracy）、小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)（Primary Numeracy）、中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)（Numeracy in Secondary or High School）和成人數(shù)學(xué)素養(yǎng)（Adult Numeracy）等方面開展了全面研究，取得了大量成果［4-6］。 而我國已有關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的研究文獻，大多集中于中小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)與測評，如我國教育部頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011 年版）》）提出的以十大數(shù)學(xué)核心詞（數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識）為依據(jù)的學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》提出的六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析），以及學(xué)者們以不同方式探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的成分與結(jié)構(gòu)［7-9］。 事實上，小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)居于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的奠基地位，其內(nèi)涵的豐富性亟需開展研究［8］。 有鑒于此，本文擬在簡要厘清學(xué)者們對數(shù)學(xué)素養(yǎng)界定的基礎(chǔ)上，以《課標(biāo)（2022 年版）》的最新精神為指導(dǎo)，闡釋小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的文化性定義，構(gòu)建影響小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的整體模型，為探索小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)教育的學(xué)科實踐育人方式提供必要的理論基礎(chǔ)。

一、從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵到小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的探索

無論是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)還是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)注的重點都在于人們?nèi)绾瓮ㄟ^數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起與周圍事物的聯(lián)系，以及建立數(shù)學(xué)聯(lián)系時所表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略［2］。小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，既是學(xué)生未來賴以生存的數(shù)學(xué)本領(lǐng)，又是達到未來“數(shù)學(xué)上的高要求”所必備的數(shù)學(xué)根基［3］，其根本涵義源于對“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的理解。

盡管數(shù)學(xué)素養(yǎng)（Numeracy）這一術(shù)語被提出至今已有半個世紀，但是正如加爾（Gal Iddo）等學(xué)者于2005 年所判斷的：“‘?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)’概念尚未形成一個人們廣為接受的定義，亦未就如何與‘?dāng)?shù)學(xué)’ 相區(qū)別達成一致意見?！保?0］數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為一個專門術(shù)語，首先由1959 年英國出版的《克勞瑟報告》（The Crowther Report）提出。 該報告將數(shù)學(xué)素養(yǎng)與文化素養(yǎng)（Literacy）相提并論，指出數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為“文化素養(yǎng)的鏡像”，乃是為科學(xué)的文化與書面的文化架設(shè)橋梁的一種方式［11］。

進入20 世紀80 年代，國外突然掀起數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育研究高潮。 英國教育部門于1982年就學(xué)校數(shù)學(xué)教育問題出臺了《科克羅夫特報告》（The Cockcroft Report），進一步闡發(fā)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的寬泛涵義：數(shù)學(xué)素養(yǎng)涵括兩種特性，其中第一種是數(shù)字的“居家特性”，亦即一種將數(shù)學(xué)技能用起來的能力，使個體能夠就自己日常生活中的實用性數(shù)學(xué)需要應(yīng)對自如；第二種則是一種欣賞和把握諸如圖形、圖表或表格或百分比增長或參考數(shù)值減少等數(shù)學(xué)術(shù)語所示信息的能力［12］10-11。 在國內(nèi)，1985 年啟動的義務(wù)教育階段課程改革開始關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)問題。 國家教委在1992 年修訂頒布的《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》中，第一次正式在國家政策文件中提出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”術(shù)語概念，由此引發(fā)理論工作者與教師持久的研究熱情。其間，研究者對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的定義進行了多方面的探究，取得較為豐富的認識。 有研究者特別強調(diào)生活經(jīng)驗背景：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成是個體在已建立數(shù)學(xué)經(jīng)驗基礎(chǔ)之上對數(shù)學(xué)感悟、反思和體驗的結(jié)果”［13］。 但是更多研究者則將數(shù)學(xué)素養(yǎng)的涵義定位在數(shù)學(xué)教育的視角里進行闡釋。 比如，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)界定為“在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，內(nèi)化數(shù)學(xué)文化的成果，最終在自己身上體現(xiàn)一種新的價值或達到新的水平，同時能夠主動將數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于生活實踐”［14］等。 自《課標(biāo)（2011 年版）》提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以來，學(xué)界對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的探究空前踴躍，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為“具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力”［1］。 義務(wù)教育中的小學(xué)階段是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起始階段，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要的教育價值。 相對中學(xué)而言，小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵應(yīng)具備基礎(chǔ)性、全面性、持續(xù)性、啟發(fā)性等特點，為中學(xué)及以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展夯實根基。 而對于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)涵義的探究，目前尚處于起步階段，學(xué)界未達成統(tǒng)一的界定［8］。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的文化性定義

雖然小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的涵義至今仍處于探索階段，但分析《課標(biāo)（2022 年版）》可發(fā)現(xiàn)，它明顯超越了傳統(tǒng)知識傳授的范圍，在教學(xué)提示中大量增加了學(xué)科思想方法和探究方式學(xué)習(xí)，這開辟了學(xué)界對數(shù)學(xué)學(xué)科教育理解的新路徑。 基于此，結(jié)合小學(xué)生身心發(fā)展的階段性規(guī)律，以及小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的形象性、生活化等特點，小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展與特定社會文化背景及個人情感狀態(tài)密切相關(guān)，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的定義應(yīng)呈文化整合性趨勢［6］。

（一）數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念的發(fā)展脈絡(luò)

愛爾蘭數(shù)學(xué)教育專家馬桂爾（Maguire Terry）與奧當(dāng)拿（ O'Donoghue John）通過與研究者和實踐者進行廣泛討論，對眾說紛紜的數(shù)學(xué)素養(yǎng)定義進行了精心整理，開發(fā)了一個新穎的框架（見圖1），針對學(xué)界對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的概念不明晰問題，努力為之開辟一條富有秩序的思路［15］。在這一框架中，大量的數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念組織成為了一個復(fù)雜性程度逐漸增加的連續(xù)體。 在形成性定義中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)被看作基礎(chǔ)的計算技能；在數(shù)學(xué)化定義中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)呈“情境化”，表現(xiàn)為對日常生活中數(shù)學(xué)重要性的明確認知；而在第三類定義即整合型定義中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)則呈現(xiàn)出多層面的整合形式。

圖1 發(fā)展中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念連續(xù)體

所謂形成性定義，主要受傳統(tǒng)初等學(xué)校教育中形成簡單的計算技能的影響。 在《克勞瑟報告》之后，一些人在處理數(shù)學(xué)素養(yǎng)的概念時總是回避起初定義的復(fù)雜性。 比如，在1997 年聯(lián)合國教科文組織出版的《國際教育標(biāo)準(zhǔn)分類》里，“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”僅僅被定義為“簡單的和功能性的”素養(yǎng)。 “簡單”及“功能性”表明，此定義下的數(shù)學(xué)素養(yǎng)關(guān)涉的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中處于根本性地位的內(nèi)容，如基礎(chǔ)的、具體數(shù)字的、量化的技能，即小學(xué)生今后學(xué)習(xí)和社會生活中所必需的數(shù)學(xué)技能。

數(shù)學(xué)化定義則反映的是一種較為寬泛的數(shù)學(xué)素養(yǎng)觀，源自英國1982 年的《科克羅夫特報告》［12］5-12。 在數(shù)學(xué)化定義里，數(shù)學(xué)素養(yǎng)通常包括數(shù)字、貨幣和百分比，一些代數(shù)的、幾何的、統(tǒng)計的思想，以及成人生活中需要的問題解決方法。 這無疑將數(shù)學(xué)素養(yǎng)從“數(shù)學(xué)技能”擴展為“量化素養(yǎng)”（Quantitative Literacy）。 數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成性定義和數(shù)學(xué)化定義中，數(shù)學(xué)的功能性問題并沒有得到明確廓清。 事實上，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的功能性可以在更加寬廣的情境與目的中加以考察，這種復(fù)雜性在整合型定義里得到確認。 在整合型定義中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)被看成是一個復(fù)雜的、多層面的和精致的概念，綜合了具體情境中個體所涉的數(shù)學(xué)的、通信的、文化的、社會的、情感的以及人格的諸多方面因素。 正如康德萊（Condelli Larry）等所評論的：“這個意義上的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可以讓個體都賦權(quán)增能，既是‘知識消費者’又成為‘知識生產(chǎn)者’，亦即可以讓個體在技術(shù)意義上、在社會意義上、在個性意義上乃至在民主意義上，都富有數(shù)學(xué)修養(yǎng)”［16］。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的整體性與文化性內(nèi)涵

1． 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的整體性趨勢

時至今日，數(shù)學(xué)素養(yǎng)及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)教育的提出有別于傳統(tǒng)的大規(guī)模的教學(xué)改革。 為達成《課標(biāo)（2022 年版）》提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵：“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達世界”的“三會”培養(yǎng)目標(biāo)，本文試圖以素養(yǎng)的普及性和豐富性來理解小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的多極化價值取向，這與數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念發(fā)展的文化整體主義路向不謀而合。 經(jīng)濟合作和發(fā)展組織（OECD）實施的國際學(xué)生評估項目（PISA），已經(jīng)清晰地將數(shù)學(xué)素養(yǎng)評估區(qū)分為三大領(lǐng)域：第一個就是“生活背景或文化情境”（Situations or Contexts），第二個和第三個分別為“數(shù)學(xué)知識點”（Mathematical Content）和“數(shù)學(xué)勝任力”（Mathematical Competencies）［17］。 三者之間的關(guān)系可以形象地表達為圖2，意味著一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵應(yīng)該通過他或她在解決問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與技能的方式加以考察，以此為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供實踐路徑。

圖2 國際學(xué)生評估項目（PISA）數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)模式

由圖2 可知，小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與其生活經(jīng)驗、文化背景、問題解決、問題形成及數(shù)學(xué)勝任力有關(guān)。 其中，生活背景與文化情境乃數(shù)學(xué)問題所在之處，數(shù)學(xué)問題（及其解決方法）只能在個體親身經(jīng)驗中發(fā)生在不同的生活背景或文化情境里。 在問題解決中，數(shù)學(xué)知識點最為重要。 國外通常采取“重要理論系列”形式，將數(shù)學(xué)課程劃分為“數(shù)量”“空間與形狀”“變化與關(guān)系”以及“不確定性”四個方面，與我國將數(shù)學(xué)課程劃分為“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐”四大板塊有異曲同工之妙，有助于數(shù)學(xué)知識點的劃分和理解。 數(shù)學(xué)勝任力，則是小學(xué)生必須提高的數(shù)學(xué)品質(zhì)，以便學(xué)生們在接觸數(shù)學(xué)的初始階段就能在真實世界里使用數(shù)學(xué)來創(chuàng)設(shè)問題進而解決問題。 如數(shù)學(xué)問題解決中的再現(xiàn)型、聯(lián)結(jié)型與反思型三個系列的數(shù)學(xué)勝任力，分別包含著解決不同類型問題所需要的不同認知過程。

還應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的三大領(lǐng)域具有不同的性質(zhì)。 “生活背景或文化情境”指向真實世界的問題領(lǐng)域，“數(shù)學(xué)知識點”反映我們借以使用“數(shù)學(xué)鏡子”看待世界的方式，而“數(shù)學(xué)勝任力”則成為數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的核心。 只有當(dāng)學(xué)生獲得一定的數(shù)學(xué)勝任力，他們才能夠成功地解決數(shù)學(xué)問題。 因此，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是一個循環(huán)上升的整體性概念。表現(xiàn)為一位小學(xué)生成長為有創(chuàng)新精神、關(guān)心他人及具有反思性的公民所應(yīng)具有的數(shù)學(xué)能力，這種能力包括理解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中的作用、進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他相關(guān)學(xué)科知識、運用數(shù)學(xué)做出決策、在個人生活和未來社會中使用和滲透數(shù)學(xué)［18］。

2． 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的文化性內(nèi)涵及其定義

《課標(biāo)（2022 年版）》再次提出我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的“四基”——基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗的重要地位，對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理解亦有重要的指導(dǎo)意義。 相對初中而言，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識的穩(wěn)固與延展，強調(diào)基本數(shù)學(xué)技能的發(fā)展和提升，突出基本數(shù)學(xué)思想方法的體驗和感受。 此外，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也強調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活相關(guān)的、深入的聯(lián)系，以及學(xué)習(xí)者個體的生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗。 因此，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)擴大了“數(shù)學(xué)”本身的工具性與文化性雙重涵義和范圍，是面向所有個體的一種普遍性教育目標(biāo)。

本文進一步彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的文化取向，對小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進行概念外延的拓展，認為：小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是小學(xué)生通過學(xué)校學(xué)習(xí)與生活經(jīng)驗獲得的基本核心素養(yǎng)，以及成功提出與解決數(shù)學(xué)問題的一切外顯及內(nèi)隱、認知與非認知的勝任力。 因此，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在教育實踐中的表現(xiàn)包括熟練掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，初步形成一定的數(shù)學(xué)思維能力，成功提出與解決數(shù)學(xué)問題，激發(fā)持續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能，最終奠定其數(shù)學(xué)勝任力的發(fā)展。

三、構(gòu)建影響小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的整體模型

為了深入理解數(shù)學(xué)素養(yǎng)的概念內(nèi)涵，學(xué)界嘗試研究和建構(gòu)數(shù)學(xué)素養(yǎng)模型，探討特定定義下的數(shù)學(xué)素養(yǎng)構(gòu)成要素。 如美國教師協(xié)會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）清晰而全面地建立了數(shù)學(xué)素養(yǎng)模型，闡明數(shù)學(xué)素養(yǎng)包含五個方面：數(shù)學(xué)價值（Valuing Mathematics）、做數(shù)學(xué)的能力（Ability to Do Math）、問題解決（Problem Solver）、數(shù)學(xué)交流（Communicating Mathematically）和數(shù)學(xué)推理（Reasoning Mathematically）［19］。

近年來，數(shù)學(xué)教育的發(fā)展呈現(xiàn)整合趨勢，如學(xué)生在數(shù)量或數(shù)感方面的研究表明，使用一種更加整體性的方法，力求以整體的、連接型的知識體系來取代割裂的、片面的數(shù)學(xué)知識［12］10-11。秘魯土著人教育群體的教師教育項目等研究則提倡，創(chuàng)設(shè)一種整合型的學(xué)習(xí)環(huán)境——即完全的、互助的、統(tǒng)攝性的環(huán)境，能夠達到強有力地連接知識與學(xué)習(xí)個體、知識與生活經(jīng)驗的效果，從而有利于數(shù)學(xué)教學(xué)［20］33。 基于此，作為數(shù)學(xué)教育核心標(biāo)志的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)具有多元的、復(fù)雜的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。 不同于早期對數(shù)學(xué)素養(yǎng)及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等概念的理解，當(dāng)今學(xué)界采取的是更為廣泛的視角，不再簡單地將“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”等同于具體的數(shù)學(xué)知識技能，而是同時覆蓋了多維度多成分的概念。 比如說，綜合具體情境中個體所涉及的數(shù)學(xué)的、通信的、文化的、社會的、情感的以及人格的等諸多方面要素，而不再停留在割裂的、局部的狀態(tài)。

基于此，本文以《課標(biāo)（2011 年版）》中提出的十大數(shù)學(xué)核心詞為依據(jù)的學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為基礎(chǔ)，參照經(jīng)濟合作與發(fā)展組織所描述的數(shù)學(xué)素養(yǎng)模型，結(jié)合相關(guān)研究提及的小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的影響因素，如教育環(huán)境、社會因素、家庭環(huán)境等，構(gòu)建了影響小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的整體模型（見圖3）。

圖3 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體模型

圖3 表明，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展會受到認知、情意和環(huán)境三大維度的影響，其中認知因素維度包括數(shù)學(xué)知識技能、數(shù)學(xué)描述、數(shù)學(xué)思維、問題解決四個子維度；情意因素維度包括數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)態(tài)度、數(shù)學(xué)情緒、數(shù)學(xué)價值四個子維度；環(huán)境因素維度包括課堂氛圍、校外支持、語言環(huán)境和技術(shù)環(huán)境四個子維度，共12 個要素。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體模型的具體涵義

在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的文化性定義下，將復(fù)雜的涵義轉(zhuǎn)化為簡明的發(fā)展結(jié)構(gòu)模型，有助于深入全面理解小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的涵義。 本文從定義出發(fā)，確立了“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的整體模型”，以此探索小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的影響要素與發(fā)展結(jié)構(gòu)。 此結(jié)構(gòu)模型將影響小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的因素分為三大維度，12 個要素。

（一）認知因素

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體模型表明，構(gòu)成影響小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的認知因素維度共有4 個要素——以數(shù)學(xué)知識技能為基底，以數(shù)學(xué)描述和數(shù)學(xué)思維為兩翼，以問題解決為終極目標(biāo)。

第一，數(shù)學(xué)知識技能是數(shù)學(xué)認知的基礎(chǔ)。 影響小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展中的數(shù)學(xué)知識，指小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐”四大板塊中的所有知識，包括數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀等標(biāo)準(zhǔn)中提到的關(guān)鍵詞，都可作為衡量小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的指標(biāo)；而數(shù)學(xué)技能主要是指能夠按照一定的程序與步驟進行運算、作圖或畫圖的能力，也是我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提及的能力。

第二，數(shù)學(xué)描述是建立不同的數(shù)學(xué)模型，把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再把數(shù)學(xué)思想表述成數(shù)學(xué)模型的過程。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提及的“數(shù)據(jù)分析能力”以及“建立模型”等核心詞，都可理解為“數(shù)學(xué)描述”的能力。 在小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教育中，數(shù)學(xué)描述是把數(shù)學(xué)看成是一種語言和橋梁，傳遞數(shù)學(xué)與現(xiàn)實間信息的能力。 這對小學(xué)生尤其重要，因為小學(xué)生的社會性認知逐漸從具體片面向抽象全面過渡，數(shù)學(xué)-社會性認知會驅(qū)使他們?yōu)榱私鉀Q一些生活中的問題而產(chǎn)生用數(shù)學(xué)的意識，而后通過建立不同的數(shù)學(xué)模型進行轉(zhuǎn)化與表述，使問題得以解決。

第三，數(shù)學(xué)思維是考評數(shù)學(xué)認知的重要指標(biāo)。 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)思維主要包括表現(xiàn)思維敏捷性的“概括能力”和表現(xiàn)思維深刻性的“推理能力”兩個方面。 其中，概括能力一方面是指在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中對數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的概括，另一方面也可指向?qū)?shù)學(xué)材料的概括，即概括由數(shù)和字母符號所表達的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系，這些都是小學(xué)生理解和運用數(shù)學(xué)知識所需具備的最基本的能力［21］；而推理能力，也是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)的指標(biāo)，應(yīng)成為學(xué)生思維能力的評判指標(biāo)之一。

第四，問題解決是數(shù)學(xué)認知的綜合性目標(biāo)。 美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（Paul Halmos）認為：“數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解問題，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解”［22］。 因此，解決問題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合能力的集中體現(xiàn)。 在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提到的“應(yīng)用”和“創(chuàng)新”亦可通過問題解決過程來體現(xiàn)。 但是，有別于中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的是，對于小學(xué)生的問題解決而言，獨創(chuàng)性不宜占據(jù)重要的分量，而應(yīng)更關(guān)注學(xué)生能否解決與生活相關(guān)的實際問題能力。

（二）情意因素

情意因素是影響小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的新維度，近年來受到學(xué)界的關(guān)注［23-24］。 根據(jù)情感的強弱程度，把影響小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的情意因素分為數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)態(tài)度、數(shù)學(xué)情緒、數(shù)學(xué)價值4 個要素，并最終形成個體固化的數(shù)學(xué)價值取向［25］。

第一，數(shù)學(xué)信念可看作是在與數(shù)學(xué)學(xué)科知識、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者個體、數(shù)學(xué)問題解決活動等相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)討論的信念話題，也可看作是探討個體對數(shù)學(xué)學(xué)科取向的選擇性話題。 評價小學(xué)生的數(shù)學(xué)信念，可以從四個方面考慮：對數(shù)學(xué)學(xué)科的信念——如“數(shù)學(xué)是否基于規(guī)則的”？ 對學(xué)習(xí)者自身的信念——如“認為自己是否具備解決數(shù)學(xué)問題的能力”？ 對數(shù)學(xué)教學(xué)的信念——如“數(shù)學(xué)教學(xué)就是講授知識嗎”？ 對社會情境的信念——如“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是相互競爭嗎”？

第二，數(shù)學(xué)態(tài)度可等同于數(shù)學(xué)信念中的數(shù)學(xué)學(xué)科信念和學(xué)習(xí)者自身信念的整合，也可以看作是包括積極或消極感受的反應(yīng)，這種反應(yīng)具有中等的強度及合理的穩(wěn)定性［26］。 小學(xué)生的數(shù)學(xué)態(tài)度可以表現(xiàn)為：是否喜歡多位數(shù)計算；是否享受問題解決的過程；是否喜歡探索性學(xué)習(xí)等。

第三，數(shù)學(xué)情緒是相對于數(shù)學(xué)態(tài)度和數(shù)學(xué)信念而言的，表現(xiàn)的是一種瞬間性的，過程性的情感現(xiàn)象。 情緒分為積極和消極兩大路徑，諸如驚奇、欣喜、生氣、焦慮、恐慌等的感覺都可以因其強度和方向劃分為積極和消極的情緒。 小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)情緒可以表現(xiàn)為：當(dāng)遇到非常規(guī)問題時，學(xué)生是勇于還是害怕解決它們；在遇到具有數(shù)學(xué)欣賞力的事物時，是否有一種美的反應(yīng)等。 情緒雖然短暫，但是體現(xiàn)著學(xué)生間數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大差異。

第四，數(shù)學(xué)價值是小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)中情感因素的最高級階段。 數(shù)學(xué)價值體現(xiàn)在學(xué)生能夠聯(lián)系實際或者學(xué)習(xí)經(jīng)驗，認識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值所在。 數(shù)學(xué)價值的理解能夠極大促進學(xué)生的學(xué)習(xí)動機和信念，使學(xué)生對于數(shù)學(xué)的本質(zhì)有更深刻的了解。 作為起步和基礎(chǔ)階段的小學(xué)數(shù)學(xué)，應(yīng)呈現(xiàn)多元化的價值——小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅在現(xiàn)實意義上能套用某些公式去解決看得見摸得著的問題，它更重要的意義在于學(xué)生是否能從現(xiàn)象中抽取本質(zhì)，從信息中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的規(guī)律，從繁雜中尋求簡潔，從有限中推導(dǎo)無限等潛在的思維活動。

（三）環(huán)境因素

根據(jù)社會文化原理，環(huán)境因素成為影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的不可或缺的構(gòu)成維度。 影響小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的環(huán)境因素從內(nèi)到外分成4 個要素：課堂氛圍、校外支持、語言環(huán)境、技術(shù)環(huán)境。

“只是，陳班長的要求我作不了主?！瘪R國平將目光投向陳山利，“但，君子一言，駟馬難追。不管行不行，我都要去試一試?！?/p>

第一，課堂氛圍是影響學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的首要因素。 包括以下幾個方面：學(xué)生對學(xué)校的態(tài)度——即學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實際情況，學(xué)生是否認為自己在學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在浪費時間；學(xué)生與教師的關(guān)系——即數(shù)學(xué)教師和學(xué)生在教育教學(xué)過程中結(jié)成的相互關(guān)系，包括彼此所處的地位、作用和相互對待的態(tài)度；歸屬感——即學(xué)生是否以學(xué)校及班級作為他們?nèi)粘Ｉ畹闹行?；教師支持——即?shù)學(xué)教師是否為支撐學(xué)生個體學(xué)習(xí)而付出努力；紀律氣氛——即是否杜絕或改善數(shù)學(xué)課堂無秩序狀況，課堂是否頻繁發(fā)生吵鬧事件等［17］。

第二，校外支持主要表現(xiàn)為社會和家庭對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的支持程度。 其中，社會環(huán)境是影響學(xué)生學(xué)習(xí)的背景性因素，不同的經(jīng)濟條件、文化因素、宗教信仰或是社會態(tài)度都會在一定程度上影響學(xué)生的學(xué)習(xí)。 同時，文化間的區(qū)別和居住社區(qū)的知識基礎(chǔ)差異會造成學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不同發(fā)展；而家庭環(huán)境是學(xué)生的啟蒙教育環(huán)境，是學(xué)生賴以生存并具有時刻影響力的環(huán)境。 不同的家庭經(jīng)濟條件、家長素質(zhì)、態(tài)度和舉措都會影響學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 關(guān)于小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)習(xí)研究結(jié)果表明，學(xué)生的非正式學(xué)習(xí)如校外補習(xí)班、家長輔導(dǎo)等，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高有重要的影響［20］50。

第三，語言環(huán)境對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要影響。 小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的語言環(huán)境，指的是在眾多學(xué)生接觸的語言中，用于學(xué)習(xí)和思考所需要借助的語言工具，以及學(xué)生如何運用文化中所特有的語言來溝通關(guān)系的能力。 由于思維和語言的密切關(guān)系，目前已證實關(guān)注學(xué)生的理解和語言使用，是有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。

第四，技術(shù)環(huán)境是21 世紀教育發(fā)展的標(biāo)志。 研究表明，計算機軟件包可以使兒童對數(shù)學(xué)概念的理解產(chǎn)生積極的影響，如某些電腦游戲可成功突破學(xué)生在小數(shù)知識學(xué)習(xí)上的誤區(qū)和難點。 小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的技術(shù)環(huán)境，主要體現(xiàn)在計算機軟件輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，如是否有可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的特殊軟件，數(shù)學(xué)教師是否能夠使用計算機輔助教學(xué)，是否會整合學(xué)習(xí)系統(tǒng)和教學(xué)管理系統(tǒng)，教師或社會是否為數(shù)學(xué)教學(xué)提供信息和通訊技術(shù)等［20］113。

五、啟示與建議

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教育與養(yǎng)成，是踐行《課標(biāo)（2022 年版）》對數(shù)學(xué)教育提出的新要求，也是實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育終極目標(biāo)的有力途徑［1］。 因此，分析小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的影響因素，構(gòu)建整體模型，對我國小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科實踐發(fā)展具有諸多啟示。

第一，重視數(shù)學(xué)情感作用。 我國基礎(chǔ)教育課程改革早已明確提出發(fā)展學(xué)生“情感與態(tài)度”的目標(biāo)。 但是實踐中，很多數(shù)學(xué)教師并沒有落實情感目標(biāo)，觀念上還執(zhí)著于“唯知識論，分數(shù)至上”［27］。 其實，情感在數(shù)學(xué)教育中起著舉足輕重的作用。 近年來，美國數(shù)學(xué)課程改革亦提出數(shù)學(xué)情感的核心地位［28］。 數(shù)學(xué)教育的官方報告也強調(diào)，未來的全人化數(shù)學(xué)教育會把重心放在改變大眾對數(shù)學(xué)的信念和態(tài)度上［26］。 然而，在全球關(guān)注數(shù)學(xué)情感的環(huán)境下，PISA 報告卻指出：在數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試中，中國學(xué)生的數(shù)學(xué)認知成就雖然取得了世界前列的好成績，但是數(shù)學(xué)情感測評的情況非常令人堪憂［29］。 數(shù)學(xué)情感的研究再次被推上議題，只有將數(shù)學(xué)情感整合進數(shù)學(xué)認知和數(shù)學(xué)教學(xué)中進行研究，才能使數(shù)學(xué)教育研究不斷深入。

第二，提高數(shù)學(xué)表達能力。 隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)層級的遞進，越高年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動越傾向于思維活動。 而語言是思維的工具，數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng)與訓(xùn)練對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有好處。 我國現(xiàn)階段《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》也多次強調(diào)了表達、表述與交流。 不僅如此，評價建議中也指出：“評價應(yīng)當(dāng)重視考察學(xué)生能否理解并有條理地表達數(shù)學(xué)內(nèi)容”［30］。 據(jù)調(diào)查，我國高中生的數(shù)學(xué)表達能力很薄弱，有可能與小學(xué)階段的基礎(chǔ)訓(xùn)練有關(guān)。 數(shù)學(xué)表達應(yīng)該從小抓起，因為數(shù)學(xué)語言具有高度抽象性，數(shù)學(xué)語言表達需要高級的邏輯思維能力。

第三，深化數(shù)學(xué)思維水平。 我國學(xué)生主要的思維障礙是由思維膚淺性、思維差異性以及思維定勢的消極作用造成的［31］。 傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，重結(jié)果輕過程、重結(jié)論輕方法的理念都是思維淺顯的罪魁禍?zhǔn)住?因此，建議教師彌補和突破，盡可能在有限的時間里給學(xué)生提供足夠的思維訓(xùn)練，以促進其思維的深度發(fā)展。 另外，誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用也是可以提高學(xué)生思維水平的。

第四，數(shù)學(xué)問題解決現(xiàn)實化。 自20 世紀40 年代波利亞（Polya）的《問題解決》［32］一書問世起，就為“問題解決”在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的核心地位奠定了基礎(chǔ)。 我國傳統(tǒng)的問題解決存在內(nèi)容陳舊、題材偏離學(xué)生生活、學(xué)生對所提問題缺乏解答欲望等現(xiàn)象。 目前，問題解決的趨勢是數(shù)學(xué)的應(yīng)用性以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。 因此需要更新教師對問題解決的觀念，相信學(xué)生最終能使數(shù)學(xué)學(xué)科變得更有問題可以探究［31］。 這就意味著，在教學(xué)中要激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的強烈好奇心，多為學(xué)生提供現(xiàn)實生活中的問題，并鼓勵他們尋求多角度探究解題的方法，找到問題解決方案，成功解決問題。

綜上，本文在厘清數(shù)學(xué)素養(yǎng)界定的基礎(chǔ)上，結(jié)合《課標(biāo)（2022 年版）》的最新精神，以及我國小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的相關(guān)研究，提出小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的文化性定義，構(gòu)建了影響小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的整體模型。 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升有助于促進學(xué)生基本數(shù)學(xué)知識技能的掌握、必要數(shù)學(xué)思維能力和用數(shù)學(xué)解決生活問題能力的形成，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能，獲得終身發(fā)展的數(shù)學(xué)勝任力。 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的研究對數(shù)學(xué)教育實踐具有一定啟示，教師們要多重視數(shù)學(xué)情感作用，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)表達能力，深化數(shù)學(xué)思維水平，以及促進數(shù)學(xué)問題解決現(xiàn)實化。