中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)(230000)鮑瑞華
評(píng)注反函數(shù)在教材與高考中早已淡化,但對(duì)數(shù)學(xué)有更高要求的同學(xué)還是要進(jìn)一步了解原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系,會(huì)用反函數(shù)解決相關(guān)的方程與不等式問題.這種方法與同構(gòu)法在知識(shí)與能力上的要求是相同的,關(guān)鍵點(diǎn)還是如何構(gòu)造.此思路源于人教版選修2-2 第40 頁(yè)B 組第1 題:利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式,并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證:lnx <x <ex,x >0.
分析(2)因?yàn)閙≤2,所以只需證明ex-ln(x+2)>0,即證ex >ln(x+2).
此題構(gòu)造不了“反函數(shù)式”,但是通過圖象觀察,容易發(fā)現(xiàn)ex≥x+1,且x+1 ≥ln(x+2).
由于等號(hào)不同時(shí)取得,易得ex >ln(x+2).
評(píng)注找“中間量”是證明不等式中常見的方法,這種方法在比較大小,數(shù)列的放縮,數(shù)學(xué)歸納法證明中都有應(yīng)用.反函數(shù)法只是找“中間量”的一種渠道.我們可以通過對(duì)原式進(jìn)行整理、變形、兩邊同乘、同除一個(gè)式子、換元、借助圖象等方式尋找“中間量”.
教材題目1(人教版選修2-2 第40 頁(yè)B 組第1 題第(4)題)利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式,并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證:lnx <x <ex,x >0.
教材題目2(2019 人教A 版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第104 頁(yè)復(fù)習(xí)參考題第18 題)
已知函數(shù)f(x)= ex -ln(x+m).當(dāng)m≤2 時(shí),求證f(x)>0.
問“題”那得清如許,唯有源頭活水來,可以看出合肥市2022年高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)第12 題和2020 新高考全國(guó)Ⅰ卷第21 題等高考題的“母題”來源于教材,只是將原題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幎?立足教材,選編教材原題,生成教材變題,是高考命題的一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí),這體現(xiàn)了高考命題的公平性和基礎(chǔ)性原則.
羅增儒教授語(yǔ):教材是課程的載體,因此高考命題最具體、最方便的依據(jù)其實(shí)是教材.數(shù)學(xué)高考試題“源于教材,高于教材”,高三復(fù)習(xí)要對(duì)教材二次開發(fā),結(jié)合高考命題實(shí)際,對(duì)教材中的某些內(nèi)容要進(jìn)行補(bǔ)充、變式、拓展.教材中的結(jié)論主要以公式,定理,法則的形式直接呈現(xiàn).事實(shí)上,教材中隱藏的一些結(jié)論需要開發(fā),這些結(jié)論往往是高考命題的重要取材,是解答高考試題的重要工具.如人教版選修2-2 第40 頁(yè)B 組第1 題第(3)題:利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式,并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證:ex >x+1,x ?=0.正如前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅曾所說“很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其教學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……”,該習(xí)題既有教學(xué)價(jià)值,也有應(yīng)用價(jià)值.