邵 云

（南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171）

1 問題描述

勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平光滑直管內(nèi)小球的離心運(yùn)動(dòng)是一個(gè)十分經(jīng)典而又基礎(chǔ)的力學(xué)問題，國內(nèi)已有眾多文獻(xiàn)對其進(jìn)行了介紹并給出了嚴(yán)格的解答[1-5]。但遺憾的是，這些文獻(xiàn)僅僅給出了抽象的數(shù)學(xué)結(jié)果，而沒有進(jìn)一步地分析和描述，使得這個(gè)經(jīng)典、形象、生動(dòng)的力學(xué)問題缺失了應(yīng)有的生機(jī)。該問題可敘述如下：如圖1所示，內(nèi)壁光滑的直管在水平面內(nèi)繞其端點(diǎn)O以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)初始時(shí)刻t=0，此時(shí)直管位于Ox軸，質(zhì)量為m的小球相對靜止于管內(nèi)A點(diǎn)→隨著直管的轉(zhuǎn)動(dòng)，小球在離心力的作用下被甩出。設(shè)t時(shí)刻小球的極坐標(biāo)為(r,θ)，速度為v，受到管壁的支持力為FN，試求小球沿管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及FN。本文將繼續(xù)深入地討論該問題，力爭為讀者提供一個(gè)形象而完整的認(rèn)識。

圖1 水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)光滑直管內(nèi)小球的離心運(yùn)動(dòng)

2 在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中研究小球的離心運(yùn)動(dòng)

成立。易知其相對誤差在0.19%以下且隨θ的增加而快速地趨于0。因此，在直管旋轉(zhuǎn)半圈后，小球的極徑r隨時(shí)間t或極角θ呈指數(shù)函數(shù)增加，其空間軌跡是與轉(zhuǎn)速ω?zé)o關(guān)的對數(shù)螺線[6]，并且小球的徑向與橫向速度大小相等。從式（4）、（7）可以看出：空間軌跡的尺度依賴于小球的初始位置a，且與其成正比。

3 在地面參考系中分析小球的徑向與橫向動(dòng)能

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)力學(xué)知識，質(zhì)點(diǎn)在極坐標(biāo)系中的加速度矢量表示為a=ar er+aθeθ，其中，er、eθ分別為徑向、橫向單位矢量，ar、aθ則分別為徑向、橫向加速度分量，

其中，F(xiàn)r、Fθ分別為質(zhì)點(diǎn)所受合外力在徑向、橫向的分力。

由于本文中θ?=ω為一常量，并且小球在徑向不受外力作用，橫向受力為FN，因此式（8）、（9）可分別簡化為

微分方程式（10）即為式（1），它的嚴(yán)格解為式（2），直管轉(zhuǎn)過半圈后的近似解為式（5）。將式（3）代入式（11），即得直管對小球的橫向支持力：

由此可見，此時(shí)管壁對小球的支持力FN恰好是離心力mω2r的2倍。則是小球徑向動(dòng)能的增量[參見式（1）]。式（15）與式（16）的量值嚴(yán)格相等，這就決定了小球的橫向動(dòng)能與徑向動(dòng)能終將相等，速度分量亦然。

這里需要說明的是，式（14）～（16）在ω一定的情況下是嚴(yán)格成立的，它們適用于小球的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，而與上文θ＞π的設(shè)定無關(guān)。

4 初始橫向速度在半圈后可忽略的原因

由式（7）可見，當(dāng)直管從初始位置開始轉(zhuǎn)過半圈后，有

可見小球初始的橫向動(dòng)能，對于直管轉(zhuǎn)過半圈后小球的橫向動(dòng)能，已然不構(gòu)成什么影響。小球初始的橫向速度ωa對于轉(zhuǎn)過半圈后小球的橫向速度則更不會(huì)構(gòu)成影響（半圈后對速度的影響僅為對動(dòng)能影響的一半，這其中有個(gè)開平方的關(guān)系），此時(shí)小球的橫向與徑向速度大小近似嚴(yán)格相等。

5 小球自極點(diǎn)附近由相對靜止開始的離心運(yùn)動(dòng)

若令上文中的a→0，則得小球自極點(diǎn)附近由相對靜止開始的離心運(yùn)動(dòng)結(jié)果，下面舉例說明。設(shè)a=0.01cm，在直管轉(zhuǎn)過半圈時(shí)，有式（5）～（7）成立。當(dāng)θ=π時(shí)，由式（7）得

可見此時(shí)小球的離心運(yùn)動(dòng)剛剛進(jìn)入人眼能夠觀察到的范圍。因此，在這里，近似式（5）～（7）要比嚴(yán)格式（2）～（4）更具有現(xiàn)實(shí)意義。根據(jù)式（4）作出小球的空間軌跡，如圖2所示，該軌跡自極坐標(biāo)(0.12,π)cm起，為一對數(shù)螺線，此后小球每繞極點(diǎn)一圈，其極徑r將增大e2π≈535倍。

圖2 小球自極坐標(biāo)(0.01,0)開始的離心運(yùn)動(dòng)軌跡

若將式（7）代入式（1），則得半圈后小球的離心加速度

它也隨角度θ呈指數(shù)函數(shù)增加，這便是小球做對數(shù)螺線離心運(yùn)動(dòng)的原因所在。

6 總結(jié)

本文詳細(xì)研究了繞端點(diǎn)O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平光滑直管內(nèi)小球自相對靜止開始的離心運(yùn)動(dòng)，獲得嚴(yán)格的運(yùn)動(dòng)方程、速度方程和軌跡方程，以及當(dāng)直管轉(zhuǎn)過半圈后它們的近似表達(dá)式。當(dāng)直管轉(zhuǎn)過半圈后，小球的徑向速度vr與橫向速度ωr將趨于相等，它們和運(yùn)動(dòng)方程r=r(t)一樣，都隨時(shí)間t（或角度θ）呈指數(shù)函數(shù)增加，此時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為一與轉(zhuǎn)速ω?zé)o關(guān)的對數(shù)螺線，且小球受到管壁的橫向支持力FN恰為離心力的2倍。FN所做的功嚴(yán)格將其一半轉(zhuǎn)化為小球的橫向動(dòng)能，另一半轉(zhuǎn)化為徑向動(dòng)能。由于FN做的功一般遠(yuǎn)大于小球的初始動(dòng)能[見式（18）]，因此當(dāng)θ＞π時(shí)小球的橫向與徑向動(dòng)能及速度便能趨于相等。從轉(zhuǎn)動(dòng)參考系來看，小球的離心力mω2r隨角度θ呈指數(shù)函數(shù)增加[見式（19）]，是小球最終做對數(shù)螺線離心運(yùn)動(dòng)的原因所在。另外，小球自極點(diǎn)附近位置由相對靜止開始的離心運(yùn)動(dòng)，因其θ=0～π段的運(yùn)動(dòng)極其微?。ㄒ妶D2），故運(yùn)動(dòng)軌跡可完全看作對數(shù)螺線。

有必要補(bǔ)充的是，倘若小球的初始徑向速度vr(0)＞0，則同樣易求得小球在管內(nèi)的相對運(yùn)動(dòng)方程為