賀 蕊,呂 宏,閆麗凝,龐令陽

(西安工業(yè)大學光電工程學院,陜西 西安 710021)

1 引 言

近年來,渦旋光束的軌道角動量在光學探測[1-2]、空間光通信[3-4]、光學微操縱[5]等領域擁有廣泛的應用。徑向偏振渦旋光束是一種偏振態(tài)沿徑向變化的渦旋光束[6-7],兼具獨特的偏振和相位分布特點,經過聚焦可能產生更新穎的軌道角動量性質,吸引了越來越多的關注。與完全相干光束相比,部分相干光束受湍流大氣影響更小,光束的傳輸質量和性能更為優(yōu)良[8-10],因此,開展部分相干的徑向偏振渦旋光束聚焦軌道角動量特性研究,對其在空間目標探測等領域的應用有著潛在價值。

Guo等人[11]研究了部分相干徑向偏振渦旋光束的相干長度和最大數值孔徑角對焦場強度,相干度和偏振度的影響。田博等人[12]研究了聚焦光束形成的三維多點光俘獲結構-光鏈。Shu等人[13]研究了聚焦部分相干徑向偏振渦旋光束對瑞利粒子的輻射力與其相干長度、束腰寬度、拓撲電荷及物鏡數值孔徑之間的關系。Wang等人[14]研究了攜帶離軸渦旋陣列的徑向偏振光束焦場內強度的空間重新分布對旋渦離軸距離和透鏡數值孔徑的依賴性。Zhang等人[15]研究了徑向偏振渦旋光束的拓撲電荷對聚焦光場的調制。Xu等人[16]基于矢量衍射理論研究了徑向偏振的多高斯謝爾模型渦旋光束經過高數值孔徑透鏡的聚焦特性。綜上所述,目前關于部分相干的徑向偏振渦旋光束聚焦研究中,軌道角動量特性相關報道還非常少見。

本文通過聚焦部分相干徑向偏振渦旋光束到目標平面處,研究了焦場目標平面處的軌道角動量特性。根據部分相干及Richards-Wolf矢量衍射積分理論推導了光場及軌道角動量密度分布,討論了光強和軌道角動量密度分布特性,同時,分析了入射光束的相干長度和聚焦透鏡的數值孔徑對縱向分量軌道角動量和軌道角動量密度分布的影響。

2 理論分析

偏振態(tài)沿徑向變化,并且攜帶±l拓撲荷的徑向偏振渦旋光束在源平面處的入射光場可以表示為:

(1)

式中,er為徑向偏振矢量;w0為束腰半徑。根據部分相干理論[17],得到部分相干徑向偏振渦旋光束源平面處的交叉譜密度函數為:

(2)

其中,lc為相干長度。經過高數值孔徑透鏡聚焦,滿足正弦近似條件r=fsinθ,因此,將式(2)改寫為:

A(θ1,θ2,φ1,φ2)=4ercos(lφ1)cos(lφ2)

(3)

式中,cos(lφ1/2)為光場的角相位項。則入瞳處的振幅包絡函數為:

(4)

根據Richards-Wolf矢量衍射積分理論[18],經過運算,得到柱坐標系下焦場目標平面處,部分相干徑向偏振渦旋光束的光場分量為:

{[Jl+1(kr1sinθ1)-Jl-1(kr1sinθ1)]×

[Jl+1(kr2sinθ2)-Jl-1(kr2sinθ2)]}×

exp(ikzcosθ1)exp(-ikzcosθ2)dθ1dθ2

(-i)lsinθ1sinθ2cosθ1cosθ2sin(lφ1)sin(lφ2)×

{[Jl+1(kr1sinθ1)+Jl-1(kr1sinθ1)]×

[Jl+1(kr2sinθ2)+Jl-1(kr2sinθ2)]}×

exp(ikzcosθ1)exp(-ikzcosθ2)dθ1dθ2

(-i)l+1(sinθ1)2(sinθ2)2×cos(lφ1)cos(lφ2)×

[Jl(kr1sinθ1)×Jl(kr2sinθ2)]×exp

(ikzcosθ1)exp(-ikzcosθ2)dθ1dθ2

(5)

非傍軸近似條件下,任意一束單色光的時間平均軌道角動量密度可以表示為[19]:

(6)

其中,P為坡印廷矢量,r=xex+yey+zez。經過矢

量運算,得到各分量的軌道角動量密度分布分別為:

(7)

式中,ω為入射光束的頻率;μ0為真空磁導率;c為光速,并且:

(8)

在光束橫截面上對軌道角動量密度進行積分得到軌道角動量:

(9)

3 數值計算

圖1所示為聚焦拓撲電荷|l|=1,|l|=2和|l|=3的部分相干徑向偏振渦旋光束在目標平面處的總光強It(r,φ,z),以及各分量光強Ix(r,φ,z),Iy(r,φ,z),Iz(r,φ,z)的分布情況。以下所有數值計算中所選取的參數值為:激光波長λ=632.8 nm,束腰半徑w0=1 cm,透鏡焦距f=1 cm,折射率n=1.3。

從圖1可以看出,目標平面處的光強沿著角向主要集中呈現(xiàn)在花瓣狀圖案內,且花瓣個數為2|l|,橫向分量x和y的強度相比于縱向分量z都較弱,橫向分量x的強度最弱。同時,光強中心存在空心型分布,橫向分量x的空心程度較其余分量更大,比較同一分量的光強分布得出,空心大小隨著拓撲荷絕對值的增大而變大。

圖1 聚焦不同階部分相干徑向偏振渦旋光束目標平面處的光強分布(其他參數設置為:相干長度lc=1 cm,數值孔徑NA=1)Fig.1 The light intensity distributions in the target plane of focusing partially coherent radially polarized vortex beams with different orders (The rest of parameter settings are:coherence length lc=1 cm,numerical aperture NA=1)

圖2所示為|l|=1,|l|=2,|l|=3和|l|=4的部分相干徑向偏振渦旋光束總光強以及各分量光強沿x軸的曲線分布圖。如圖2中的虛線顯示,目標平面上,縱向分量的強度分布曲線接近于總的強度分布曲線。同時,與橫向分量x的強度Ix相比,縱向分量強度Iz的光斑中心普遍具有較小的的空心尺寸,并且,隨著拓撲荷絕對值的增加,所有光強中心的空心增大,這與上述討論光強分布所得結果一致。其次,比較圖2(a),(c)和圖2(b),(d)可以發(fā)現(xiàn),相位拓撲荷絕對值為奇數的光束總光強It和橫向分量x的強度Ix存在不明顯的非對稱分布,而縱向分量強度Iz關于x=0保持對稱,相位拓撲荷絕對值為偶數時,所有光強始終關于x=0對稱分布。

圖2 不同階部分相干徑向偏振渦旋光束的光強分布曲線(所有光強已相對It歸一化)Fig.2 The light intensity curves of partially coherent radially polarized vortex beams with different orders(all intensities have been relatively normalized toIt)

為了研究入射光束的相干長度及透鏡的數值孔徑變化對光強的影響,圖3給出了拓撲荷|l|=2和|l|=3時,焦場目標平面處的總光強分布隨著相干長度和數值孔徑的變化情況。從圖3(a),(c)可以看出,隨著相干長度的增加,焦場平面處光強增大,光斑中心空心尺寸稍有減小,光強和空心現(xiàn)象在相干長度較小時變化程度更大,當相干長度增大至0.5 cm后,其變化不再對光強大小和光斑分布產生影響。此外,如圖3(a)中的虛線顯示,相干長度選擇較小值會在一定程度上破壞偶數階光束光強的對稱分布。從圖3(b),(d)可以看出,隨著數值孔徑的增大,目標平面處的光強沒有明顯變化,光斑中心空心尺寸略有減小。

圖3 不同相干長度和數值孔徑對部分相干徑向偏振渦旋光束焦場目標平面處光強分布的影響Fig.3 The influence of different coherence lengths and numerical apertures on the intensity distributions for partially coherent radially polarized vortex beams in the focal field target plane

圖4所示為結合公式(7)和(8)得到的|l|=1,|l|=2和|l|=3時,聚焦部分相干徑向偏振渦旋光束在目標平面處各分量的軌道角動量密度分布情況。從圖4可以看出,軌道角動量密度分布與光場分布類似,也集中呈現(xiàn)出花瓣狀結構,花瓣個數同樣為2|l|。不同之處在于,在軌道角動量密度分布中,只有橫向分量x的軌道角動量密度較弱,橫向分量y與縱向分量z的軌道角動量密度都較強。軌道角動量密度中心同樣存在空心型分布,橫向分量x的空心程度較其余分量更大,比較同一分量的軌道角動量密度分布得出,空心大小隨著拓撲荷絕對值的增大而變大。此外,在同等參數設置下,拓撲荷絕對值更小的光束,目標平面處的軌道角動量密度整體數值反而更大。

圖4 聚焦不同階部分相干徑向偏振渦旋光束目標平面處的軌道角動量密度分布Fig.4 The orbital angular momentum density distributions in the target plane of focusing partially coherent radially polarized vortex beams with different orders

圖5所示為入射光束的相干長度和透鏡的數值孔徑改變對縱向分量軌道角動量密度分布的影響。從圖5(a),(c)可以看出,縱向分量的軌道角動量密度隨著相干長度的增加而增大,但增大程度在減弱,同樣,當相干長度增大至0.5 cm后,相干長度的變化幾乎不再影響軌道角動量密度分布。從圖5(b),(d)可以看出,不同于數值孔徑變化對光強影響很小,隨著數值孔徑的增大,縱向分量的軌道角動量密度也在變大,并且變化程度越來越大。

圖5 不同相干長度和數值孔徑對縱向分量焦場目標平面處軌道角動量密度分布的影響Fig.5 The influence of different coherence lengths and numerical apertures on the orbital angular momentum density distributions for the longitudinal component in the focal field target plane

最后,分析了入射光束相干長度和透鏡數值孔徑的變化對縱向分量焦場目標平面處軌道角動量的影響,結果如圖6所示。如圖6(a)所示,隨著相干長度的增加,軌道角動量曲線迅速上升,當相干長度增大至0.5 cm后,軌道角動量的變化趨于平緩,即就是說,此后,相干長度的變化將不再影響縱向分量目標平面處的軌道角動量。從圖6(b)可以看出,對于攜帶±l拓撲荷的部分相干徑向偏振渦旋光束,透鏡數值孔徑較小時,縱向分量的軌道角動量隨著數值孔徑的增加緩慢增長,當增大至0.7后,也就是所謂的深聚焦情形,軌道角動量的增長程度越來越大。此外,可以發(fā)現(xiàn),數值孔徑在一定范圍內變化時,l的值越小,縱向分量的軌道角動量反而更大,這與分析圖4中NA=1時拓撲荷絕對值更小的光束,目標平面上的軌道角動量密度整體數值反而更大的結果相吻合。然而,隨著數值孔徑的持續(xù)增大,達到某一臨界值后,l的值越大,目標平面處的軌道角動量就越大。例如,對于|l|=1的光束,當NA>1.1后,其軌道角動量小于|l|=2的光束,而在此之前,當NA=1時,其軌道角動量為4.2708×10-30,大于|l|=2時的軌道角動量3.7504×10-30,而對于|l|=2的光束,這一變化發(fā)生在NA>1.2后。這說明,當利用部分相干的渦旋光束進行焦場目標探測時,可以通過控制入射光束的相干長度和聚焦透鏡的數值孔徑來調整光束的軌道角動量。

圖6 縱向分量的軌道角動量隨著相干長度lc和數值孔徑NA的變化Fig.6 The orbital angular momentum of the longitudinal component changes with the coherence lengthlcand the numerical apertureNA

4 結 論

本文研究了通過聚焦部分相干徑向偏振渦旋光束進行目標探測時,焦場目標平面處的強度和軌道角動量密度分布特性,以及入射光束的相干長度和聚焦透鏡的數值孔徑對縱向分量軌道角動量和軌道角動量密度分布的影響。結果表明:

(1)攜帶±l拓撲電荷的部分相干徑向偏振渦旋光束焦場目標平面處的軌道角動量密度和強度分布均沿著角向主要集中呈現(xiàn)在花瓣狀圖案內,花瓣個數為2|l|。在強度分布中,橫向分量的強度相比縱向分量都較弱,而在軌道角動量密度中,只有橫向分量x的軌道角動量密度較弱,橫向分量y與縱向分量的軌道角動量密度都較強。

(2)焦場目標平面處的光強,以及縱向分量的軌道角動量和軌道角動量密度都隨著相干長度的增加而增大,當相干長度增大至0.5 cm后,相干長度的變化對其不再產生影響。

(3)隨著數值孔徑的增大,光強沒有明顯變化,縱向分量的軌道角動量密度和軌道角動量均變大,并且,變化程度在數值孔徑大于0.7后越來越大。

研究成果對于將部分相干徑向偏振渦旋光束的軌道角動量特性用于光學探測等領域具有一定的參考意義。