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一類線性拋物型方程組弱解存在性證明

2022-06-09 12:25曠雨陽王太榮李興華
關(guān)鍵詞:范數(shù)拋物常數(shù)

曠雨陽 , 王太榮, 李興華

(安順學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 貴州 安順 561000)

熱能的擴(kuò)散以及布萊克-斯科爾斯模型等演化問題,都是以拋物型偏微分方程形式出現(xiàn),拋物型偏微分方程更在流體力學(xué)、熱力學(xué)、電磁學(xué)以及概率論的解析處理中都有重要應(yīng)用,因此它在自然科學(xué)中有廣泛應(yīng)用[1-2].故而激起了許多研究者的興趣和重視,經(jīng)過研究已取得了很多成果,到目前為止,對(duì)拋物型偏微分方程解的存在性的研究成果較好,如文獻(xiàn)[3]-[8]等.

本文采用Galerkin方法[9]討論一類線性拋物型方程組弱解存在性證明.此類拋物型偏微分方程組在微波加熱系統(tǒng)中應(yīng)用很廣,微波加熱主要通過微波滲透到物體內(nèi)部,微波撞擊所加熱物質(zhì)分子,使其運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生熱量,實(shí)現(xiàn)物體加熱.物體內(nèi)部的溫度分布通過熱傳導(dǎo)實(shí)現(xiàn),具體可以用Maxwell方程與熱傳導(dǎo)方程的耦合系統(tǒng)描述其數(shù)學(xué)模型[10].

1問題的提出

下面采用Galerkin方法討論如下一類線性拋物型方程組及其初邊值條件問題:

2預(yù)備知識(shí)

使得

命題1[9]當(dāng)1

命題2[9]當(dāng)1

定理2(Poincare不等式)[9]設(shè)1≤p<+∞,Ω?Rn為一有界區(qū)域,

定理3(緊嵌入定理)[9]設(shè)Ω?Rn為一有界區(qū)域,1≤p≤+∞,

i) 若Ω滿足一致內(nèi)錐條件,則當(dāng)p≤n時(shí),下列嵌入是緊的,

w1,p(Ω)

w1,p(Ω)Lq(Ω), 1≤q<+∞,p=n;

ii) 若?Ω恰當(dāng)光滑,則當(dāng)p>n時(shí)下列嵌入是緊的,

w1,p(Ω)

注1[9]上面所述的緊嵌入是指,對(duì)被嵌入空間的任何有界序列,總存在一個(gè)在嵌入空間強(qiáng)收斂的子序列,即嵌入算子是緊的.

定理4(存在唯一性定理)[11]設(shè)帶有初值問題的常微分方程組為

如果A(t)是n×n矩陣,f(t)是n維列向量,它們都在區(qū)間a≤t≤b上連續(xù),則對(duì)于區(qū)間a≤t≤b上的任何數(shù)t0及任一常數(shù)n維列向量η,方程組x′=A(t)x+f(t)存在唯一解φ(t),定義于整個(gè)區(qū)間a≤t≤b上,且滿足初值條件φ(t0)=η.

3假設(shè)條件

4線性拋物型方程組弱解存在性證明

使它滿足

(4)

其中,(·,·)為L(zhǎng)2(Ω)3中的內(nèi)積,注意到

則有

(5)

(6)

則方程組(5)與(6)轉(zhuǎn)化為

于(0,t)上積分,進(jìn)而有

(7)

(8)

由Poincare不等式

(9)

對(duì)此式兩端在(0,t)積分得

(10)

由(8),(9)及(10)得

由(7)式,即為

將此式整理得

所以,

其中,μ≥0為Poincare不等式中的常數(shù),從而

(11)

于(0,T)上積分,即

進(jìn)而有

將此不等式移項(xiàng)得

從而有,

(12)

聯(lián)合(11)與(12)得

(13)

其中,c是不依賴于m的常數(shù).

在該式兩端同乘以αjk,并對(duì)k從1到j(luò)求和,從而有

令j→∞,得

(14)

對(duì)此等式兩邊令m→∞時(shí)取極限,即得

從而有

(15)

又因?yàn)?/p>

將之代入(15)式整理得

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