賀子光，趙法鎖，陳昊祥，吳 博，周靜靜

(1.黃淮學(xué)院 建筑工程學(xué)院，河南 駐馬店 463000；2.長安大學(xué) 地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西 西安 710064；3.北京建筑大學(xué) 北京市工程結(jié)構(gòu)與新材料工程研究中心，北京 100044；4.信息產(chǎn)業(yè)部電子綜合勘察研究院，陜西 西安 710054)

由于特殊的變形破壞模式，分區(qū)破裂化作為深部圍巖典型的非線性力學(xué)現(xiàn)象自被發(fā)現(xiàn)以來便受到了廣泛關(guān)注[1-6]。經(jīng)過40 余年的研究，在理論分析、試驗以及數(shù)值模擬等方面都取得了一定的成果。但關(guān)于圍巖分區(qū)破裂化形成機理的研究，仍然是一個尚未完全解決的問題。E.I.Shemyakin 等[4]認(rèn)為破裂區(qū)的形成是由于支撐壓力區(qū)在環(huán)向應(yīng)力作用下，徑向應(yīng)變超過極限而發(fā)生劈裂破壞所致。M.A.Guzev 等[7]采用非歐幾何與非平衡熱力學(xué)模型，分析了含缺陷巖石介質(zhì)的變形破壞問題以及圍巖分區(qū)破裂化現(xiàn)象。周小平等[8]通過自由能密度、平衡方程以及變形非協(xié)調(diào)條件，確定了圓形隧道圍巖的應(yīng)力場，認(rèn)為應(yīng)力場的波動特性是引起圍巖分區(qū)破裂化的原因。戚承志團隊[9-14]在梯度理論的框架下，考慮巖體進入塑性階段后的能量耗散和自組織現(xiàn)象，詳細(xì)地分析了圓形隧道圍巖的分區(qū)破裂化現(xiàn)象。王明洋等[15]從能量的角度出發(fā)，結(jié)合統(tǒng)計物理學(xué)，分析深部圍巖在準(zhǔn)定常場與擾動場相互作用下的變形與運動規(guī)律，建立了分區(qū)破裂化的計算方法。上述學(xué)者從不同角度研究了圍巖分區(qū)破裂化的產(chǎn)生機理，文獻[6,16]對深部圍巖分區(qū)破裂化的研究進展進行了詳細(xì)闡述，并利用彈塑性理論、斷裂力學(xué)理論、非線性科學(xué)理論等對分區(qū)破裂化現(xiàn)象形成的機理進行了探索，從試驗和數(shù)值模擬2 種手段再現(xiàn)了分區(qū)破裂化現(xiàn)象的一些主要特點。但需要指出的是上述研究對于分區(qū)破裂化現(xiàn)象的定量表述尚不能令人滿意。

內(nèi)變量梯度理論[17-18]是研究分區(qū)破裂現(xiàn)象的方法之一，引入了描述材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的特征尺度，在解釋固體材料的尺寸效應(yīng)、變形局部化以及空間變形模式等方面顯現(xiàn)出了獨特的優(yōu)越性和適應(yīng)性。該理論采用應(yīng)變梯度或者其他內(nèi)變量梯度作為額外的模型變量，將這些梯度變量引入到介質(zhì)的平衡方程或者內(nèi)變量演化方程中，可得到不可逆變形的局部化解或者空間分布解。

在分析相關(guān)研究成果的基礎(chǔ)上，筆者提出采用內(nèi)變量梯度理論來研究分區(qū)破裂現(xiàn)象，可得到圓形隧道圍巖中應(yīng)力場和變形場的封閉解析解，并進行理論與試驗對比結(jié)果，驗證提出方法的可靠性，以期為定量描述分區(qū)破裂化現(xiàn)象提供一種新的方法手段。

1 內(nèi)變量梯度模型

在長期的地質(zhì)構(gòu)造作用下，巖體被內(nèi)部的微裂紋、節(jié)理裂隙以及斷層破碎帶等不同尺度的結(jié)構(gòu)面分割成了不同尺寸的巖塊，由于內(nèi)部結(jié)構(gòu)面和缺陷分布的復(fù)雜性與隨機性，造成了巖體材料的非連續(xù)性、非均勻性以及力學(xué)性質(zhì)的離散性。巖體的變形和破壞主要表現(xiàn)為宏觀力學(xué)特性的變化，而深部巖體的宏觀力學(xué)特性主要由應(yīng)力水平與內(nèi)部(微觀)構(gòu)造層次決定。長久以來，材料物理學(xué)家及力學(xué)家擬通過研究材料的微觀特性來確定材料的宏觀特性，但眾多的嘗試都難以實現(xiàn)既定目標(biāo)。初期認(rèn)為失敗的原因是描述材料變形破壞的數(shù)學(xué)手段的復(fù)雜性所造成，但長期深入研究發(fā)現(xiàn)，一方面是對于材料變形的認(rèn)識不正確；另一方面是材料內(nèi)部包含著眾多的結(jié)構(gòu)層次所致[19]。

由于內(nèi)部結(jié)構(gòu)層次的存在，在外力場的作用下，巖石材料的變形與應(yīng)力分布復(fù)雜而紊亂，并伴隨有應(yīng)力集中、應(yīng)變局部化以及非協(xié)調(diào)變形等現(xiàn)象。在筆者的前期工作中[20-21]，采用簡化的內(nèi)變量梯度模型，很好地解釋了圓孔問題的尺寸效應(yīng)，且該模型形式簡單、物理意義明確。基于上述原因，本文將采用下式所示模型研究圍巖分區(qū)破裂化現(xiàn)象。

式中：σij為應(yīng)力張量；εij為應(yīng)變張量；λ、μ為拉梅常數(shù)；c為梯度系數(shù)，c=l2(l為材料內(nèi)檁長度)；δij為Kronecker 符號；?2為拉普拉斯算符；εkk為體應(yīng)變。關(guān)于此模型的理論推導(dǎo)可參考文獻[22]。

觀察式(1)可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的內(nèi)變量梯度模型的物理本質(zhì)為經(jīng)典胡克定律的擴展，沿用了胡克定律中關(guān)于材料均勻、連續(xù)和各向同性的假定。區(qū)別在于本文提出的內(nèi)變量梯度模型引入了材料體應(yīng)變的梯度項此項用于描述材料微觀結(jié)構(gòu)對其宏觀力學(xué)行為的影響，具體的物理學(xué)動機和意義詳見文獻[23]。

深部圓形隧道可簡化為軸對稱平面應(yīng)變問題，力學(xué)模型如圖1 所示。

圖1 圓形隧道力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model for circular tunnels

此時，式(1)可化為極坐標(biāo)形式：

式中：σr、σθ和σz分別為徑向、環(huán)形和軸向應(yīng)力分量；E′=E(1?ν)/(1+ν)，ν′=ν/(1?ν)，E為巖石的彈性模量；ν為泊松比；εr為徑向應(yīng)變；εθ為環(huán)向應(yīng)變。

由對稱性可知，圍巖僅產(chǎn)生徑向位移ur，此時幾何關(guān)系可簡化為：

如果體力忽略不計，則平衡方程可化為：

將式(2)?式(5)代入式(6)可得一個關(guān)于ur的四階常微分方程，求解該方程可得：

式中：c'=cν'；J為第一類貝塞爾函數(shù)；Y為第二類貝塞爾函數(shù)；下標(biāo)表示階數(shù)；A，B，C1，C2為積分常數(shù)。

為了確定式(7)中的積分常數(shù)，需要4 個邊界條件，除了經(jīng)典的應(yīng)力邊界條件σr|r=a=0，σr|r→∞=σ0以外，仍需2 個其他邊界條件。其他邊界條件的物理本質(zhì)為位移邊界條件，其具體形式[18,22]可表示為：

將積分常數(shù)代入式(7)可得圍巖的位移場：

由式(9)所示位移場可知，圍巖的應(yīng)變場為：

需要注意的是，地下隧道開挖前圍巖處于預(yù)壓狀態(tài)并已產(chǎn)生初始位移：

2 應(yīng)力與變形場的分布及參數(shù)敏感性分析

為了研究隧道周圍應(yīng)力與變形場的分布情況以及梯度系數(shù)的敏感性，參考實際案例和參數(shù)取值經(jīng)驗，各參數(shù)值選擇如下：隧道開挖半徑a=2.5 m，遠場應(yīng)力σ0=40 MPa，圍巖的彈性模量與泊松比分別為E=20 GPa，ν=0.25。理論計算結(jié)果如圖2?圖4 所示。

圖2 深部圓形隧道圍巖位移場ur 分布曲線Fig.2 Distribution of the radial displacement field around circular tunnels

圖3 深部圓形隧道圍巖應(yīng)變場分布曲線(受壓為正)Fig.3 Distribution of the strain field around circular tunnels

圖4 深部圓形隧道圍巖應(yīng)力場分布曲線Fig.4 Distribution of the stress field around circular tunnels

由圖2?圖4 可知，提出的梯度模型求得的應(yīng)力場和變形場以經(jīng)典彈性解為基準(zhǔn)上下波動，表現(xiàn)出準(zhǔn)周期性和波動特性，且隨著梯度系數(shù)c'的增大，解的準(zhǔn)周期性和波動特性越顯著。梯度系數(shù)c'取值越大，表明材料內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)的尺度越大，此時微觀結(jié)構(gòu)對材料宏觀力學(xué)性能的影響越顯著。當(dāng)梯度系數(shù)c'=0 時，梯度模型退化為經(jīng)典彈性理論。梯度模型求得的變形場與應(yīng)力場的波動特性為理論解釋圍巖分區(qū)破裂化提供了一種可能。

本文提出的梯度模型形式簡單，物理意義明確，僅包含一個未知參數(shù)，即梯度系數(shù)。關(guān)于材料梯度系數(shù)(或內(nèi)檁長度)的確定，通常情況下需與材料的尺寸效應(yīng)、表面能效應(yīng)、剪切帶寬度以及刻痕深度等聯(lián)系，再結(jié)合試驗數(shù)據(jù)加以確定，具體可參考文獻[24]。但由于巖石材料的特征尺寸包含從地質(zhì)構(gòu)造級別一直到微晶體級別各個層級，在不同地應(yīng)力水平與幾何條件下激活的特征尺度也不盡相同，因此，確定巖石材料梯度系數(shù)最可靠的方法是將梯度系數(shù)聯(lián)系到分區(qū)破裂的周期或破碎區(qū)寬度，然后通過擬合試驗或?qū)崪y數(shù)據(jù)來確定。

3 理論預(yù)測與試驗結(jié)果對比分析

為了驗證本文理論的準(zhǔn)確性，需要與試驗結(jié)果進行對比。由于在實際操作中圍巖內(nèi)部的應(yīng)力場很難測量，而徑向位移的測量相對容易，故本文選取文獻[25]中的位移場試驗數(shù)據(jù)進行對比。

文獻[25]中試驗選取新型鐵晶砂膠結(jié)巖土相似材料，模型的幾何尺寸與應(yīng)力比均采用1∶50 的縮比，此時施加的應(yīng)力約為相似材料抗壓強度的2 倍，相似材料的具體參數(shù)見表1。

表1 巖土相似材料的物理力學(xué)參數(shù)[25]Table 1 Physical and mechanical parameters of geotechnical similar materials[25]

參數(shù)選取如下：隧道開挖半徑a=2.5 m，圍巖的彈性模量與泊松比分別取E=260 MPa，ν=0.26，梯度系數(shù)c=0.25 m2，遠場應(yīng)力分別取σ0=4、5、6 MPa。由式(17)計算可以得到圍巖的位移場，理論計算與試驗結(jié)果對比如圖5 所示。

圖5 理論計算位移場與試驗結(jié)果對比Fig.5 Comparison between theoretical prediction and experimental data

比較圖5 可以發(fā)現(xiàn)，理論曲線與試驗結(jié)果擬合程度很好，整體上理論結(jié)果較試驗結(jié)果偏小。但理論計算求得的徑向位移的波動周期、波峰波谷的位置以及幅值大小都與試驗結(jié)果基本吻合，可以很好地描述圓形隧道周圍的位移場，也證明了理論模型的正確性。

需要指出的是，本文采用的理論模型認(rèn)為隧道為平面應(yīng)變問題，而試驗則是在三維受力狀態(tài)下進行。與三維受力狀態(tài)相比，平面應(yīng)變狀態(tài)相當(dāng)于在軸向施加了一個變形約束，從而提高了圍巖的剛度同時也限制了圍巖的徑向位移。軸向約束雖然會使圍巖的徑向位移減小，但并不會影響徑向位移的波動周期以及波峰波谷的位置。筆者認(rèn)為上述理由是造成理論預(yù)測低于試驗數(shù)值的主要原因。

4 破碎區(qū)位置及寬度的估算

由式(13)?式(19)可知，圓形隧道圍巖中變形場與應(yīng)力場的分布，為了進一步估算圍巖破碎區(qū)的位置及寬度，需要確定圍巖滿足的屈服準(zhǔn)則。此處，假設(shè)圍巖服從Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則，即：

式中：φ為巖石材料的內(nèi)摩擦角；σc為巖石的單軸抗壓強度。

假設(shè)圍巖內(nèi)摩擦角φ=20°，單軸抗壓強度σc=5 MPa，梯度系數(shù)c=0.25 m2，遠場應(yīng)力(即初始地應(yīng)力)分別取σ0=10、40、70 MPa，此時圓形隧道圍巖破裂區(qū)位置及寬度如圖6 所示。

圖6 初始地應(yīng)力σ0 對圓形隧道破裂區(qū)的影響Fig.6 Influence of in-situ stress σ0 on the distribution of fractured zones

由圖6 可知，隨著初始地應(yīng)力σ0的增大，圓形隧道圍巖破碎區(qū)數(shù)量增加，且破壞范圍向外擴展。當(dāng)初始地應(yīng)力水平較小時，圍巖可能僅出現(xiàn)一個破裂圈，此時圍巖將不會發(fā)生分區(qū)破裂現(xiàn)象。因此，圍巖如要出現(xiàn)分區(qū)破裂化現(xiàn)象，初始地應(yīng)力σ0需要達到一定數(shù)值，即隧道需要滿足一定的埋深要求。

需要特別說明的是，本節(jié)關(guān)于破碎區(qū)的估算并未考慮圍巖破壞后的應(yīng)力重分布，因此，理論預(yù)測值和實際測量數(shù)據(jù)可能存在出入。

5 結(jié) 論

a.考慮內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)對宏觀力學(xué)性質(zhì)的影響，由提出的梯度模型求得的應(yīng)力場與變形場以經(jīng)典彈性解為基準(zhǔn)上下波動，表現(xiàn)出顯著的準(zhǔn)周期性與波動性，為解釋圍巖分區(qū)破裂化現(xiàn)象提供可能。

b.梯度系數(shù)對圍巖應(yīng)力場與變形場的影響存在一定規(guī)律。梯度系數(shù)取值越大，表明材料內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)的尺度越大，此時微觀結(jié)構(gòu)對材料宏觀力學(xué)性能的影響越顯著。當(dāng)梯度系數(shù)等于0 時，梯度模型退化為經(jīng)典彈性理論。

c.通過比較理論計算與試驗數(shù)據(jù)可知，梯度模型可以很好地描述圓形隧道周圍的位移場，證明本文所提理論模型的正確性。

d.結(jié)合Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則，估算了圓形隧道圍巖破裂區(qū)的位置及寬度。研究表明，隨著初始地應(yīng)力σ0的增大，圓形隧道圍巖破碎區(qū)數(shù)量增加，且破壞范圍向外擴展。