牛寶良

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621999）

數(shù)字微分計算是一種比較常用的運(yùn)算，比如在速度計算、數(shù)字PID伺服控制中就要用到。簡單的數(shù)字微分器是全頻帶的微分，在完成微分功能的同時，也會放大信號中的噪聲，影響微分器的應(yīng)用。韓京清等在1994年提出了跟蹤微分器，具備了微分、降噪功能，但是此時的跟蹤微分器還不完善，對于階躍輸入進(jìn)入平穩(wěn)期仍然有持續(xù)的震蕩。韓京清等在1999年提出了跟蹤微分器的離散形式，其實是一種改進(jìn)版，徹底消除了震蕩，這才具有了良好的工程應(yīng)用性。此后，各種應(yīng)用逐漸增多，也有多種不同的改進(jìn)版本。文獻(xiàn)[3]列舉了4種版本，分別是開關(guān)型跟蹤–微分器（STD）、快速型跟蹤–微分器（FTD）、線性跟蹤–微分器（LTD）、離散最速型跟蹤–微分器（DFTD）。其中STD就是最早的版本，DFTD就1999年文獻(xiàn)[2]提出的改進(jìn)版。文獻(xiàn)[4]提出了自適應(yīng)TD。目前應(yīng)用最多的還是DFTD，不特別說明的情況下，TD就是指DFTD。

TD的應(yīng)用很多，涉及控制、信號處理等眾多領(lǐng)域，也有一些關(guān)于TD頻率特性的研究，這些文獻(xiàn)揭示了TD的頻率特性。比如無共振峰，高頻段斜率是–40 dB/dec，轉(zhuǎn)折頻率附近相位滯后快速增加等，但是轉(zhuǎn)折頻率與TD的參數(shù)存在怎樣的定量關(guān)系并未涉及。

在伺服控制系統(tǒng)中，通常用頻率響應(yīng)特性來描述系統(tǒng)的快慢。一個TD用于伺服控制系統(tǒng)，希望能準(zhǔn)確知道它的頻率范圍，或者指定工作頻帶來設(shè)計一個TD，或者將一個TD用于信號分析與處理，也希望知道它適用處理什么頻率范圍的信號。本文將回答這些問題。

1 跟蹤微分器方程

文獻(xiàn)[2,6]都有較大篇幅介紹跟蹤微分器，參數(shù)包括（速度因子），（濾波因子），積分步長。參考文獻(xiàn)[6]，本文給出公式如下（文獻(xiàn)中的變量、、，用、代替，取==）：

式中：為一個常數(shù)；為采樣間隔，也是積分步長，s。

式中：、、、、、、是中間變量；()是輸入信號；()是輸入信號的跟隨值，或者叫低頻分量；()是()的微分，即速度；()是()的二次微分，即加速度；表示當(dāng)前時刻，-1表示上一時刻。

把公式(2)用Simulink表達(dá)，如圖1—3所示。其中in對應(yīng)式（2）的()，acc對應(yīng)式（2）的()。

圖1 跟蹤微分器的仿真模型Fig.1 Simulink model of TD

圖2 acc Subsys模塊Fig.2 Simulink model of acc Subsys

圖3 w1 Sub模塊Fig.3 Simulink model of w1 Sub

圖1 與文獻(xiàn)中的形式有所不同，實質(zhì)未變，但是更容易分析其物理意義，而且通過仿真發(fā)現(xiàn)，這個形式在高頻優(yōu)于文獻(xiàn)中的形式。首先，用代替以往文獻(xiàn)中的、，取消，在這就是采樣間隔。當(dāng)系統(tǒng)的工作頻率范圍確定了，相應(yīng)的采樣間隔也就確定了，不用再與關(guān)聯(lián)。其次，從圖1可以看到，其實TD與單自由度系統(tǒng)的仿真模型形式上是相近的，參數(shù)實際是對計算的加速度進(jìn)行飽和限幅，它具有加速度量綱。由于acc Subsys的輸入是位移量綱，所以TD的與單自由度系統(tǒng)的彈簧剛度相當(dāng)，因此有：

這樣，就把與TD的工作上限頻率聯(lián)系起來了。

2 跟蹤微分器頻率特性分析

第1節(jié)建立了TD的參數(shù)與TD工作頻率上限的關(guān)系，本節(jié)將通過仿真來驗證這一關(guān)系。由于TD具有強(qiáng)的非線性特性，因此用時域仿真方法來驗證。

2.1 仿真模型簡介

建立的仿真模型如圖4所示。頻率發(fā)生器、波形發(fā)生器用來產(chǎn)生掃頻信號及其對應(yīng)的微分信號。TD為跟蹤濾波器，輸出、、acc值3個信號。平滑濾波器作為對照，也輸出3個信號。平滑濾波器是一個阻尼比為1的低通濾波器，其共振頻率取TD的3（仿真發(fā)現(xiàn)3倍與TD效果接近）。波形發(fā)生器生成信號（方波、正弦），也生成相應(yīng)的理想微分信號。理想微分信號用來觀察TD微分、平滑濾波器的誤差情況。

圖4 掃頻仿真模型Fig.4 Simulink model of sweep sin simulation

2.2 方波仿真

仿真采樣間隔取50 μs。跟蹤微分器的上限頻率取10 Hz，=3 947.8。輸入信號幅值為1，頻率為4 Hz，仿真結(jié)果如圖5所示。跟蹤信號無超調(diào)達(dá)到目標(biāo)值，TD得到的速度波形是規(guī)則的等腰三角形，即0速度起始，0速度結(jié)束，過程很平穩(wěn)，它的加速度充分利用了限定的范圍(－,)。在伺服控制器輸入處，設(shè)置一個TD，它自動按限定的加速度范圍給出最快過程曲線作為控制目標(biāo)曲線。平滑濾波器也能在相近的時間無超調(diào)達(dá)到目標(biāo)值，但是加速度已經(jīng)超出范圍。仿真表明，幅值為1、信號頻率≤，都能很好地跟隨。

圖5 TD方波仿真曲線Fig.5 Waves of square wave simulation on TD: a) displacement carve; b) velocity curge; c) acceleration curve

2.3 掃頻仿真

TD參數(shù)取10 Hz，=3 947.8。輸入信號幅值取0.1、0.25、1，頻率取5~100 Hz，得到的頻率特性曲線見圖6，特征參數(shù)見表1。設(shè)置TD的頻率上限為10 Hz，跟蹤信號在10 Hz處幅值能保持1，跟蹤信號與輸入信號的相位滯后小于30°（10.37 Hz 滯后30°）。–30°~–90°是快速變化的，即設(shè)置10 Hz上限，TD就能工作到10 Hz。隨著輸入信號幅值的減小，幅頻、相頻的截止頻率擴(kuò)大了。0.25輸入相比1輸入時擴(kuò)大了1倍，0.1輸入相比1輸入時擴(kuò)大了3.16倍。從圖6也可以看出，斜線是重合的，輸入為1時的頻率特性實際上是個包絡(luò)，其他更小幅值的輸入被限定到這個范圍。當(dāng)設(shè)置跟蹤微分器的上限頻率為其他值（不超過0.1 fs）時，所得的頻率曲線也是與圖6相似，即式（3）對于TD是普遍可用的。

圖6 TD的頻率特性（上限頻率fn=10 Hz）Fig.6 Frequency characteristics of TD (fn=10 Hz): a) nonlinear frequency characteristics; b) phase frequency charactenistics

表1 不同輸入幅值時的特征頻率Tab.1 Characteristic frequencies of TD as different input magnitude Hz

信號頻率等于TD上限頻率時的時域曲線如圖7所示。1 V輸入時，TD跟蹤信號與輸入信號有明顯可見的滯后，但是優(yōu)于平滑濾波器（截止頻率為3）輸出；微分信號滯后也小于平滑濾波器微分輸出，但是波形有失真，這是它相位上優(yōu)于平滑濾波器微分輸出的代價。在加速度波形上，兩者的區(qū)別特別顯著。0.1 V輸入時，TD跟蹤信號與輸入信號重合，平滑濾波器輸出則有明顯滯后；TD的微分信號也是與理想微分信號也是重合的；在加速度波形上，TD的加速度在峰頂峰谷有毛刺和跳變，平滑濾波器輸出則是規(guī)則正弦。這是TD相比平滑濾波器的優(yōu)點(diǎn)，信號幅值減小時，頻帶擴(kuò)大。

圖7 信號頻率等于TD上限頻率fn時的時域曲線Fig.7 Time waves while sin wave signal frequency equal TD fn: a) input 1 V; b) input 0.1 V

2.4 含有噪聲時仿真

實際信號中常常含有噪聲。為此，加入一定的白噪聲，來觀察效果。圖8a的信號頻率比較低，為TD上限頻率的1/2，TD跟蹤幅值好，相比平滑濾波器輸出占有優(yōu)勢。圖8b信號頻率達(dá)到TD上限頻率，TD跟蹤幅值較好，但是相位反而滯后平滑濾波器（無噪聲時相位是優(yōu)于平滑濾波器，可見噪聲帶來了不利影響）。從加速度曲線可以看到，正常情況下加速度直接到負(fù)最大或正最大，由于噪聲影響，從負(fù)最大到正最大震蕩一段時間才能保持在正最大。圖8c的信號頻率也TD上限頻率的1/2，信號幅值減小到0.1，輸入信號的信噪比很差，出現(xiàn)一個比較反常的現(xiàn)象，TD跟蹤信號、TD微分信號上出現(xiàn)了一個震蕩信號，震蕩信號的幅值與有用信號相當(dāng)，而平滑濾波器的跟蹤信號、微分信號更好。

圖8 有噪聲信號頻率等于TD上限頻率fn時的時域曲線Fig.8 Time waves with noise while signal frequency equal TD fn: a) input 1 V; b) input 0.1 V; c) poor signal-to-noise ratio

3 跟蹤微分器的應(yīng)用

第2節(jié)已經(jīng)分析得到，TD的上限頻率與有關(guān)，同時還與輸入幅值有關(guān)。對于輸入為1的TD，上限頻率與滿足式（3）。在工程應(yīng)用中，假設(shè)輸入信號的范圍是±，在TD的前后分別加一個比例環(huán)節(jié)，TD前的比例是1/，TD后的比例是。這樣，既能滿足輸入信號范圍，又能滿足指定的頻率范圍。

關(guān)于的取值，其實與TD的關(guān)系不大，通常由伺服控制系統(tǒng)的上限頻率決定。假設(shè)伺服控制系統(tǒng)的上限工作頻率為，則數(shù)字伺服控制系統(tǒng)的采樣頻率、采樣間隔由式（4）計算得到。

4 減小跟蹤信號滯后的改進(jìn)

TD生成的跟蹤信號，總是存在一定的滯后，信號頻率/TD上限頻率越大，滯后越大。在仿真中發(fā)現(xiàn)，一個小小改進(jìn)可以減小1拍的滯后。如圖9所示，從積分器（integrator1）輸出再接一個積分器（integrator3），積分方式選為后向歐拉法，用它來替代，比原可以提前1拍。仿真結(jié)果如圖10所示，采樣頻率為100 Hz，TD截止頻率為5 Hz，輸入方波頻率為1 Hz。

圖9 改進(jìn)后的TDFig.9 Improved TD

圖10 改進(jìn)后TD 的跟蹤信號與原信號比較Fig.10 Compare wave of improved TD with wave of TD

5 結(jié)論

本文研究了TD的頻率特性，提出了輸入幅值為1時頻率上限與TD參數(shù)之間的關(guān)系。通過時域仿真驗證了該關(guān)系的正確性，解決了定量確定TD的參數(shù)問題。

TD的頻率特性隨輸入信號幅值的改變而變化，幅值越小，頻帶越大，高幅值的幅頻曲線包絡(luò)低幅值的幅頻曲線。對于輸入幅值不是1時，宜進(jìn)行歸一化處理，在TD之后再恢復(fù)原量級，這樣可以達(dá)到跟蹤微分的目的，同時帶寬剛剛好，因此濾波效果好，抑制噪聲最佳。

信號頻率小于TD的上限頻率時，幅頻、相頻特性都比較好。輸入幅值為1，信號頻率等于0.62時，相位滯后不大于10°；信號頻率等于時，相位滯后26°。相頻曲線在1.1附近呈現(xiàn)快速變化的特征，1.15時滯后達(dá)90°。因此，建議信號頻率在0~0.62為佳，最多取到0~。在微分信號后新增一個后向歐拉積分器，可以獲得跟蹤信號在相位上提前1拍的效果。多數(shù)情況下，TD的幅頻、相頻優(yōu)于平滑濾波器，但是在信噪比很差時，平滑濾波器反而優(yōu)于TD。

綜上所述，明確積分步長與系統(tǒng)采樣間隔相一致，建立參數(shù)與TD工作頻率上限之間的關(guān)系后，將極大方便TD的設(shè)計，也將推動TD更多應(yīng)用。