焦偉鵬，黃振貴，陳志華，劉想炎，王浩，周可

（南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點實驗室，南京 210094）

入水問題是流體力學(xué)研究的一個重要領(lǐng)域，在自然學(xué)科和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用前景，其中回轉(zhuǎn)體高速入水是近幾年的聚焦熱點?；剞D(zhuǎn)體在高速入水過程中，涉及到入水沖擊、超空泡流動和流固耦合等物理現(xiàn)象，這使得回轉(zhuǎn)體在運動過程中的運動軌跡和姿態(tài)難以預(yù)測，空泡形態(tài)多變。因此，需要建立回轉(zhuǎn)體高速入水的彈道預(yù)測模型，為分析回轉(zhuǎn)體在高速入水過程中的空泡和彈道特性提供一種有效方法。

超空泡是回轉(zhuǎn)體高速入水系統(tǒng)的重要組成部分。Logvinovich等和Basharoua等基于勢流理論和試驗結(jié)果提出了空泡截面獨立擴(kuò)張原理，該理論反映了細(xì)長體超空泡流動的本質(zhì)與主要特征，能夠同時適用于定常和非定常超空泡流，為空泡流研究提供了一種簡單的研究方法?；诳张萁孛妾毩U(kuò)張原理，Savchenko等展開了大量超空泡流動的試驗，結(jié)合試驗數(shù)據(jù)和理論分析，不僅得到了描述超空泡流動主要特征參數(shù)的理論公式和半經(jīng)驗公式，還驗證了該理論的正確性和有效性。Guo等基于Rayleigh-Besan問題的理論解析和試驗研究，建立了回轉(zhuǎn)體高速入水的空泡形態(tài)計算半經(jīng)驗公式，該公式能夠有效地適用于定常和非定?；剞D(zhuǎn)體高速入水。孟慶昌等通過數(shù)值模擬研究了3種不同頭型射彈的高速垂直入水空泡特性，對比了弗勞德數(shù)與空泡面閉合無量綱時間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)亞聲速射彈的空泡面閉合無量綱時間基本保持不變。馬慶鵬等對射彈高速入水時空泡的發(fā)展規(guī)律、深閉合特性等進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，通過分析入水彈道與空化流場的變化規(guī)律，獲得了射彈入水參數(shù)對入水過程中壓力、密度場和速度場的影響規(guī)律，并給出了各流場的仿真計算結(jié)果。

回轉(zhuǎn)體高速入水后，受不同運動初始參數(shù)和結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)的影響，回轉(zhuǎn)體的流體動力多變，彈道特性復(fù)雜。張宇文等系統(tǒng)研究了回轉(zhuǎn)體在超空泡狀態(tài)下的流體動力，應(yīng)用細(xì)長體理論和切片法得到了超空泡彈體的流體動力計算公式，通過數(shù)值模擬分析了位置力、阻尼力系數(shù)的變化規(guī)律，并通過局部相似試驗研究了模型尾部的流體動力特性。Gao等通過數(shù)值模擬研究了射彈不同入射角和入水攻角高速斜入水的空泡形態(tài)和彈道特性，發(fā)現(xiàn)在小入射角的情況下，彈體會接觸空泡壁面，形成周期性尾拍運動，振幅隨射彈入射角度和長徑比的增大而減小。侯宇等通過試驗研究了射彈小角度高速入水過程中的彈道特性，分析了彈體不同側(cè)滑角入水沖擊過程的彈道軌跡、噴濺演變和水下壓力波傳播特征，發(fā)現(xiàn)在高速入水過程中，增大射彈側(cè)滑角，會降低射彈入水彈道的穩(wěn)定性。目前高速入水的研究方法主要集中在試驗和數(shù)值模擬方面，關(guān)于回轉(zhuǎn)體高速入水彈道模型的研究相對較少。

本文針對回轉(zhuǎn)體高速入水問題，基于空泡獨立擴(kuò)張原理，考慮空泡的記憶效應(yīng)，建立了一種回轉(zhuǎn)體高速入水的彈道預(yù)報模型。與相關(guān)試驗結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了該彈道模型的準(zhǔn)確性，并分析了回轉(zhuǎn)體高速入水過程中空泡的形態(tài)發(fā)展和彈道特性。

1 回轉(zhuǎn)體高速入水彈道模型建立

1.1 運動方程

如圖1所示，建立地面坐標(biāo)系()和彈體坐標(biāo)系()。地面坐標(biāo)系原點置于水平面入水點，軸平行于水平面，軸正方向垂直水平面向上。彈體坐標(biāo)系原點位于回轉(zhuǎn)體重心處，軸正方向沿回轉(zhuǎn)體軸線指向回轉(zhuǎn)體頭部，軸正方向垂直軸向上。軸與軸的夾角為回轉(zhuǎn)體俯仰角，位于軸上側(cè)為正。

圖1 坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system

基于牛頓第二定理，建立回轉(zhuǎn)體3-DOF運動方程組：

式中：為回轉(zhuǎn)體的質(zhì)量；I為回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動慣量；和為回轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度在彈體坐標(biāo)系中的分量；為回轉(zhuǎn)體在平面的轉(zhuǎn)動角速度；G和G為回轉(zhuǎn)體重力在彈體坐標(biāo)系中的分量；和為回轉(zhuǎn)體頭部流體動力在彈體坐標(biāo)系中的分量；和為回轉(zhuǎn)體尾部沾濕部分的流體摩擦力和滑行力；為回轉(zhuǎn)體頭部流體動力對回轉(zhuǎn)體質(zhì)心的合力矩；為回轉(zhuǎn)體尾部流體動力對回轉(zhuǎn)體質(zhì)心的合力矩。

1.2 入水空泡幾何預(yù)報方法

如圖2所示，回轉(zhuǎn)體高速入水后，空泡的半徑可由式（2）計算。

圖2 定常超空泡Fig.2 Steady Supercavitation

式中：為空化器中心點沿空泡對稱軸線的距離；為空泡半徑；為回轉(zhuǎn)體頭部圓截面半徑；為經(jīng)驗系數(shù)，取為1.4；為圓盤空化器空化數(shù)為0時的阻力系數(shù)，取為0.83；為空化數(shù)，其定義見式（3）。

式中：為來流速度；為水的密度，取1 000 kg/m；=+（其中為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，取101 325 Pa，為重力加速度，取9.8 m/s，為回轉(zhuǎn)體頭部空化器的水深）；為空泡內(nèi)部壓力，考慮空泡內(nèi)主要為蒸汽相，可近似為水的飽和蒸汽壓，水在20 ℃時的飽和蒸汽壓為2 350 Pa。

圖3 空泡軸線變形Fig.3 Deformation of cavitation axis

式中：為空泡對稱軸線的變形高度；為空化器升力分量；為空泡半徑。

如圖4所示，回轉(zhuǎn)體入水后，根據(jù)空泡截面獨立擴(kuò)張原理，空泡的每一個固定截面都相對于空化物體中心運動軌跡按相同的規(guī)律擴(kuò)張，擴(kuò)張規(guī)律則與空化物體通過該截面所在平面時刻的空化數(shù)、速度等狀態(tài)有關(guān)。這種空泡外形不由當(dāng)前時刻運動參數(shù)決定的特點就像是空泡對過去有記憶功能一樣，稱為空泡記憶效應(yīng)。任意空泡截面的半徑和相對空泡中心軸線的變形高度可由式（5）、（6）計算：

圖4 入水空泡截面Fig.4 Section of water inlet cavitation

式中：τ為第個空泡截面形成的時刻；為回轉(zhuǎn)體入水后的航行時間；(,τ)和(,τ)為第個空泡截面在時刻的空泡半徑和相對空泡中心軸線的變形高度；(τ)和(τ)為回轉(zhuǎn)體τ時刻的質(zhì)心速度和空化數(shù)；()為τ時刻回轉(zhuǎn)體空化器受到升力。

入水空泡的整個變化過程可以看成是空泡的各個截面按照一定規(guī)律的獨立擴(kuò)張過程。在縱平面內(nèi)，空泡的外形可由各個空泡截面的上下頂點確定。在地面坐標(biāo)系下，縱平面內(nèi)每個空泡截面的頂點坐標(biāo)可由式（7）、（8）計算。

式中：和為空泡頂點在地面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；和為回轉(zhuǎn)體質(zhì)點在地面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；(τ)為回轉(zhuǎn)體τ時刻回轉(zhuǎn)體的俯仰角；為回轉(zhuǎn)體頭部到重心位置的距離。

1.3 受力求解

如圖5所示，高速入水后回轉(zhuǎn)體頭部可視為圓盤空化器，流體動力可由式（9）計算。

圖5 空化器流體動力Fig.5 Fluid dynamics of cavitator

回轉(zhuǎn)體尾部沾濕部分流體動力由2部分組成，分別為流體摩擦力和滑行力?？赏ㄟ^切片法計算回轉(zhuǎn)體尾部沾濕部分流體動力，如圖6所示。

圖6 受力分析Fig.6 Stress analysis

如圖7所示，將地面坐標(biāo)系下的空泡坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為彈體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。在彈體坐標(biāo)系下，將回轉(zhuǎn)體均等切片為有限個截面，從尾部開始編號，依次計算每個回轉(zhuǎn)體截面侵入空泡壁面的沾濕深度，其中尾部第1個截面作為回轉(zhuǎn)體的沾濕深度。當(dāng)沾濕深度為0時，計算該回轉(zhuǎn)體截面與回轉(zhuǎn)體尾部截面的距離，作為回轉(zhuǎn)體的沾濕長度，回轉(zhuǎn)體沾濕面積近似為扇形，可通過扇形面積公式計算。回轉(zhuǎn)體尾部滑行升力可由式（10）計算。

圖7 回轉(zhuǎn)體沾濕部分Fig.7 Wetted part of body of revolution

式中：為回轉(zhuǎn)體尾部半徑；Δ=-；為回轉(zhuǎn)體尾部空泡半徑；=-+(-)+，其中為回轉(zhuǎn)體長度，為空泡橫向速度；為尾部空泡收縮速度，收縮為正。

回轉(zhuǎn)體尾部摩擦力可由式（11）計算。

式中：雷諾數(shù)=/，為水的動力黏度，20 ℃時，水的動力黏度為1.01×10Pa·s；沾濕面積可由式（12）計算。

回轉(zhuǎn)體尾部合力矩為：

回轉(zhuǎn)體質(zhì)心重力在彈體坐標(biāo)系中的分量G和G為：

1.4 驗證算例

在回轉(zhuǎn)體高速入水問題研究中，高速垂直和傾斜入水是兩大主要的研究方向。通過本文建立的彈道模型編寫程序，分別對文獻(xiàn)[23]中高速垂直入水試驗工況和文獻(xiàn)[24]中高速傾斜入水試驗工況進(jìn)行計算模擬，以驗證本文所建立的回轉(zhuǎn)體高速入水彈道模型的可靠性及適用性。2種工況采用實心均質(zhì)回轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)，尺寸如圖8所示，具體工況見表1。

圖8 回轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)尺寸Fig.8 Structural dimensions of body of revolution:a) condition 1; b) condition 2

表1 回轉(zhuǎn)體入水工況Tab.1 Working conditions of body of revolution water entry

2 結(jié)果及分析

2.1 高速垂直入水

通過本文建立的彈道模型對工況1進(jìn)行計算，得到了該工況下回轉(zhuǎn)體的入水空泡變化形態(tài)、質(zhì)心速度和位移變化曲線，并與文獻(xiàn)試驗結(jié)果比較，以驗證本文彈道模型對回轉(zhuǎn)體高速垂直入水預(yù)報的有效性。

從圖9可以看到，入水初期，由于回轉(zhuǎn)體高速撞擊水面，以入水點為中心的自由液面上方會形成冠狀噴濺薄膜，同時回轉(zhuǎn)體侵入水面以下，形成入水空泡。這個過程中，由于流體的黏性作用，回轉(zhuǎn)體會將空氣帶入空泡內(nèi)，并形成涌進(jìn)空泡內(nèi)的氣流，使得冠狀噴濺薄膜的內(nèi)側(cè)氣流速度大于外側(cè)。根據(jù)伯努利原理，噴濺薄膜的內(nèi)側(cè)壓強(qiáng)小于外側(cè)，使得噴濺薄膜逐漸由冠狀收縮為圓錐狀。隨后發(fā)生表面閉合，液面收縮形成向上和向下2個方向的射流。此時，空泡完全與外界空氣隔絕，空泡內(nèi)部是空氣和水蒸氣的混合物。閉合后的空泡形態(tài)沿彈道軌跡對稱，尾部閉合空泡橫截面位置不斷下降，但空泡長度逐漸增大。

圖9 工況1入水空泡Fig.9 Water inlet cavitation under working condition 1

回轉(zhuǎn)體高速垂直入水時速度、位移、阻力和阻力系數(shù)變化對比如圖10所示。由圖10a、b可以看出，回轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度變化和位移變化計算結(jié)果與試驗結(jié)果保持一致，最大相對誤差為2.1%。回轉(zhuǎn)體在垂直入水過程中的速度在不斷衰減，衰減變化由快到慢，而入水射程則不斷增大。這是由于回轉(zhuǎn)體高速垂直入水后，頭部空化器受到阻力作用，回轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度開始衰減。由于阻力與速度的平方成正比，初入水時刻回轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度高，阻力較大，使得回轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度的衰減相對較快。隨著回轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度的不斷衰減，阻力也在快速減小，使得回轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度的衰減速率在不斷降低。在整個過程中，回轉(zhuǎn)體的侵入深度在不斷增大。

圖10 回轉(zhuǎn)體高速垂直入水時速度、位移、阻力和阻力系數(shù)變化對比Fig.10 Comparison diagram of variation of vertical water entry velocity (a), displacement (b), resistance (c) and resistance coefficient (d) of body of revolution at high speed

由圖10c可知，回轉(zhuǎn)體高速垂直入水過程中的阻力變化與上述分析相符。從圖10d可見，雖然回轉(zhuǎn)體在入水過程中的阻力值是在不斷減小，但阻力系數(shù)卻在不斷增大。這是由于回轉(zhuǎn)體的速度在不斷衰減，使得空化數(shù)在不斷增大，而阻力系數(shù)是有關(guān)空化數(shù)的弱函數(shù)，隨著空化數(shù)的增大而增大。

2.2 高速傾斜入水

通過本文建立的理論模型對工況2進(jìn)行計算，得到了該工況下回轉(zhuǎn)體的入水空泡變化形態(tài)和位移變化曲線，并與文獻(xiàn)[24]試驗結(jié)果進(jìn)行比較，以驗證該理論模型對回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水計算的有效性。

高速傾斜入水初期，回轉(zhuǎn)體撞擊水面，頭部空化器受力并不均衡?；剞D(zhuǎn)體頭部下緣位置先受到流體動力作用，然后在極短的時間內(nèi)頭部表面逐漸沾濕受力。這個過程會產(chǎn)生力矩，導(dǎo)致回轉(zhuǎn)體入水角度、姿態(tài)角和回轉(zhuǎn)體俯仰角速度發(fā)生微小變化。在空化器完全沾濕后，回轉(zhuǎn)體上側(cè)液面會產(chǎn)生噴濺，是由于回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水和高速垂直入水有很大差別?；剞D(zhuǎn)體垂直入水后，能量主要沿徑向傳遞，形成空泡，同時會受到側(cè)向水壓的約束，空泡動能轉(zhuǎn)化為勢能，致使之后空泡沿徑向收縮，水面會形成表面閉合?；剞D(zhuǎn)體傾斜入水時，回轉(zhuǎn)體撞擊水面，將能量沿徑向傳遞，但水面與射彈方向存在夾角，回轉(zhuǎn)體下側(cè)水面沿徑向空泡擴(kuò)張，上側(cè)由于無側(cè)向水壓的約束，會形成液面噴濺，無法形成表面閉合?；剞D(zhuǎn)體傾斜入水過程中，回轉(zhuǎn)體姿態(tài)角、攻角會發(fā)生變化，彈道也會發(fā)生逐漸彎曲，會使空泡上下表面的曲率不一致。與試驗的空泡變化形態(tài)進(jìn)行對比可知，模型計算的空泡形態(tài)下表面與試驗一致，上表面與試驗有較小差異，如圖11所示。

圖11 工況2入水空泡Fig.11 Water inlet cavitation under condition 2

回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水地面坐標(biāo)系方向和方向的位移的計算結(jié)果如圖12所示。計算結(jié)果與試驗結(jié)果接近一致，最大相對誤差為4.7%。通過計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，回轉(zhuǎn)體在傾斜入水過程中，方向和方向的運動距離在不斷增加。

圖12 回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水位移曲線Fig.12 Displacement curve of body of revolution inclined into water at high speed: a) x direction; b) y direction

從圖13a可以看出，回轉(zhuǎn)體速度分量v在不斷減小，v變化曲線較為光滑。由圖13b可知，回轉(zhuǎn)體速度分量v的速也在不斷減小，在3.5 ms前的變化曲線比較光滑，但在3.5 ms后，速率出現(xiàn)變化，v出現(xiàn)局部增大，后又減小，使得變化曲線出現(xiàn)曲折。通過圖11可知，v出現(xiàn)局部變化主要是由于回轉(zhuǎn)體侵入空泡壁面，回轉(zhuǎn)體尾部受到了滑行力的升力效果作用。

圖13 回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水的速率變化Fig.13 High speed inclined water entry of body of revolution variation diagram

從圖14可以看出，回轉(zhuǎn)體在傾斜入水后，回轉(zhuǎn)體的攻角在不斷減小，但在3.5 ms后，攻角的發(fā)展趨勢由減小轉(zhuǎn)變?yōu)樯仙?。結(jié)合圖11可知，造成攻角變化趨勢改變的主要原因也是回轉(zhuǎn)體侵入了空泡壁面，回轉(zhuǎn)體尾部受到了滑行力的升力效果作用。

圖14 回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水攻角變化Fig.14 Variation of angle of attack of body of revolution inclined into water at high speed

回轉(zhuǎn)體傾斜入水俯仰角和角速度變化如圖15所示。在3.7 ms之前，回轉(zhuǎn)體的俯仰角速度并未發(fā)生變化，回轉(zhuǎn)體的俯仰角度呈線性遞減。這是由于在回轉(zhuǎn)體傾斜入水初期，回轉(zhuǎn)體被空泡包裹在內(nèi)，并在空泡內(nèi)部轉(zhuǎn)動，但回轉(zhuǎn)體尾部并未侵入空泡壁面，因此回轉(zhuǎn)體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的運動狀態(tài)并未改變。在3.7 ms之后，回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動角速率先快速減小，在減小到0時，回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動方向發(fā)生轉(zhuǎn)變，轉(zhuǎn)動角速率又快速增大。回轉(zhuǎn)體的俯仰角度先快速減小到最小值，然后又快速增大。這是由于隨著回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動，之后回轉(zhuǎn)體的俯仰角不斷減小，回轉(zhuǎn)體尾部和空泡的間距在不斷減小，直到回轉(zhuǎn)體尾部與空泡壁面接觸，回轉(zhuǎn)體尾部會受到流體動力，阻礙回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動，使回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動角速率開始減小。隨著回轉(zhuǎn)體尾部侵入空泡壁面深度的增加，回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動的動能會被消耗，當(dāng)回轉(zhuǎn)體達(dá)到最大侵入深度時，回轉(zhuǎn)體俯仰角將會達(dá)到臨界點。隨后回轉(zhuǎn)體尾部沾濕部分受到徑向的滑行力作用，將回轉(zhuǎn)體沿相反的轉(zhuǎn)動方向快速推出空泡壁面。

圖15 回轉(zhuǎn)體傾斜入水俯仰角和角速度的變化Fig.15 Variation diagram of pitching and elevation angle(a) and angular velocity (v) of body of revolution inclined into water

回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水的阻力、滑行力和流體摩擦力的變化如圖16所示?；剞D(zhuǎn)體高速傾斜入水過程中，阻力值在不斷減小，雖然在運動過程中有攻角的變化，但變化幅度較小，對阻力的影響可忽略不計，與高速垂直入水過程中的空化器流體阻力變化形式相同?；剞D(zhuǎn)體尾部在未侵入空泡壁面時，回轉(zhuǎn)體尾部的滑行力和流體摩擦力都為0，在回轉(zhuǎn)體侵入空泡壁面的過程中，回轉(zhuǎn)體尾部的滑行力和流體摩擦力的先增大、后減小。

圖16 回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水過程中阻力、滑行力、流體摩擦力的變化Fig.16 Variation diagram of water inflow resistance (a), sliding force (b) and fluid friction (c) of body of revolution inclined at high speed

通過以上內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，在回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水運動未失穩(wěn)的情況下，回轉(zhuǎn)體尾部的流體摩擦力要遠(yuǎn)小于回轉(zhuǎn)體阻力，回轉(zhuǎn)體的阻力主要是由空化器部分的流體阻力提供，這與回轉(zhuǎn)體高速垂直入水時的阻力變化規(guī)律相同?；辛δ軌驗榛剞D(zhuǎn)體在發(fā)生尾拍運動時，提供保持運動穩(wěn)定的恢復(fù)力矩，防止回轉(zhuǎn)體在運動過程中俯仰角和攻角變化過大。

3 結(jié)論

本文利用空泡截面擴(kuò)張原理，考慮空泡記憶效應(yīng)，建立了一種回轉(zhuǎn)體高速入水彈道預(yù)測模型。分別對回轉(zhuǎn)體高速垂直入水和高速傾斜入水過程中的空泡特性、流體動力特性和彈道特性進(jìn)行分析，得到了以下結(jié)論：

1）回轉(zhuǎn)體高速垂直入水，空泡形態(tài)沿彈道軌跡對稱，液體表面區(qū)域會發(fā)生閉合；回轉(zhuǎn)體高速斜入水，空泡上下表面曲率不一致，并不沿著彈道軌跡對稱，射彈上側(cè)液面會發(fā)生噴濺。

2）回轉(zhuǎn)體高速垂直入水和高速傾斜入水時的頭部阻力變化規(guī)律相同，與速度的平方成正比，對回轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度衰減起主要影響。回轉(zhuǎn)體高速傾斜入水過程中，尾拍運動產(chǎn)生的滑行力有助于回轉(zhuǎn)體保持運動穩(wěn)定。

3）通過與文獻(xiàn)試驗結(jié)果進(jìn)行對比，模型的預(yù)測誤差在10%以內(nèi)，滿足工程應(yīng)用需求，驗證了本文回轉(zhuǎn)體高速入水彈道模型的準(zhǔn)確性。