孫艷軍，趙國(guó)華，王 斌，王 琛

(西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

在高能粒子物理中，B介子衰變?cè)跈z驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)模型和尋找新物理方面發(fā)揮著重要作用.B介子弱衰變理論研究涉及的能標(biāo)和自由度較多，可靠的定量計(jì)算比較困難.通常人們采用有效理論處理多自由度問(wèn)題，用因子化方法處理多能標(biāo)問(wèn)題.因此，基于弱作用有效理論人們先后發(fā)展了簡(jiǎn)單因子化方法[1]，QCD因子化方法(QCDF)[2-3]，微擾QCD因子化方法(PQCD)[4-5]，以及軟共線有效理論[6]來(lái)處理B介子無(wú)粲非輕弱衰變.在上述方法中，基于橫動(dòng)量因子化的微擾QCD方法有較好的預(yù)言能力，這是因?yàn)樵摲椒ㄍㄟ^(guò)保留夸克的橫向動(dòng)量避免了端點(diǎn)奇異性，而對(duì)保留橫動(dòng)量后出現(xiàn)的雙對(duì)數(shù)項(xiàng)的重求和得到的Sudakov因子可以有效的壓低長(zhǎng)程貢獻(xiàn)，同時(shí)硬膠子交換保證硬散射核可以微擾計(jì)算.

1 理論框架與解析計(jì)算

其中，Vub(X)和Vtb(X)為與具體衰變過(guò)程相關(guān)的CKM矩陣，X為與具體衰變過(guò)程相關(guān)的夸克；Ci(μ)為威爾遜系數(shù)；Oi(1,2,3,…,10)為四費(fèi)米子算符，表示如下:

流-流算符為

QCD企鵝算符為

QED企鵝算符為

微擾QCD方法(PQCD)是由李湘楠[4-5]等提出用來(lái)處理強(qiáng)子矩陣元M2M3|Ci(μ)|B的一種方案.PQCD圖像下，B介子中的輕夸克要與B介子衰變產(chǎn)生的夸克形成高速運(yùn)動(dòng)的末態(tài)介子，需要一個(gè)硬膠子做媒介.因此，B介子到輕介子的躍遷形狀因子是以硬膠子交換為主并且可以微擾計(jì)算，而非微擾部分被吸收到過(guò)程無(wú)關(guān)的介子波函數(shù)中.PQCD計(jì)算中，夸克的橫向動(dòng)量被保留，計(jì)算過(guò)程不會(huì)出現(xiàn)端點(diǎn)發(fā)散問(wèn)題.作為保留橫動(dòng)量的副產(chǎn)物，雙對(duì)數(shù)項(xiàng)重求和得到的Sudakov因子可以有效地壓低長(zhǎng)程貢獻(xiàn).因此，B→M2M3過(guò)程的衰變振幅可以表示為硬核函數(shù)H(k1,k2,k3,t)、波函數(shù)Φ、威爾遜系數(shù)C(t)的卷積，即

在計(jì)算過(guò)程中，采用光錐坐標(biāo)系.假設(shè)M2和M3分別沿著n和v方向運(yùn)動(dòng)，n,v為兩個(gè)類光矢量，n=(1,0,0⊥,v=(0,1,0⊥).B介子和兩個(gè)末態(tài)矢量介子及它們的“輕”夸克的四動(dòng)量為

其中，xi為介子中輕夸克的動(dòng)量分?jǐn)?shù)；r2=M2/MB;r3=M3/MB.

其中AL,AN,AT用洛倫茲不變量a,b,c可表示為

這樣，得到3個(gè)可以利用PQCD方法[4-5]計(jì)算的極化振幅

(14)

其中,τBd,s為Bd,s介子壽命;|pc|為B介子靜止系中兩個(gè)末態(tài)介子動(dòng)量的模.

為了方便研究極化性質(zhì)，引入螺旋度振幅

(16)

它們滿足

H0,H+,H-分別對(duì)應(yīng)于末態(tài)矢量介子的螺旋度為0，+1，-1.

在PQCD因子化方法中，B介子波函數(shù)[15-18]為

其中，分布振幅φB(x,b)的表達(dá)式為

其中，x為B介子中輕夸克的動(dòng)量分?jǐn)?shù)；b為輕夸克橫向動(dòng)量的共軛坐標(biāo)量；ωB為自由參數(shù)，具體取值取決于實(shí)驗(yàn).NB為歸一化系數(shù)，滿足歸一化條件

對(duì)于輕矢量介子，其縱向和橫向波函數(shù)表達(dá)式為[19-21]

其中，p為矢量介子動(dòng)量;全反對(duì)稱張量μνρσ=-μνρσ=-1;L為矢量介子縱向極化矢量;T為其橫向極化矢量，具體表達(dá)為

對(duì)應(yīng)的蓋根保爾多項(xiàng)式為

其中,t=2x-1,x為夸克動(dòng)量分?jǐn)?shù).

圖1 費(fèi)曼圖

利用每個(gè)圖的計(jì)算結(jié)果，得到上述4個(gè)衰變過(guò)程的衰變振幅為

其中i=L,N,T,GF為費(fèi)米耦合常數(shù);LL為(V-A)(V-A)流的貢獻(xiàn);LR表示(V-A)(V+A)流的貢獻(xiàn);SP為(V-A)(V+A)流經(jīng)過(guò)Fiertz重排后產(chǎn)生的(S+P)(S-P)流的貢獻(xiàn);ann為湮滅圖的貢獻(xiàn);fK*/B為K*/B介子的衰變常數(shù);F和M為相應(yīng)衰變道的振幅，具體表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[12].威爾遜系數(shù)的線性組合ai表示如下

3 數(shù)值結(jié)果及討論

在數(shù)值計(jì)算中，除了波函數(shù)外，文中還用到其它參數(shù)，如QCD標(biāo)度、介子質(zhì)量、衰變常數(shù)等，其取值如下[22]：ΛQCD=0.35±0.05 GeV,MB0=5.279 GeV,MBs=5.336 GeV,fBs=0.21 GeV,fBs=0.24 GeV,τB0=1.519×10-12s,τBs=1.516×10-12s,Vud=0.9727,Vub=0.00351,Vus=0.22534,Vtb=0.00866,Vtd=0.999146,Vts=0.04040,β=21.5°,γ=68°.

對(duì)于上述4個(gè)衰變道，除了分支比和極化分?jǐn)?shù)外，還可以計(jì)算直接CP破壞，其定義為

其中A0,A‖,A⊥見(jiàn)(13)式.

表1 PQCD方法計(jì)算的分支比(10-6),直接CP破壞,的結(jié)果

表2 PQCD方法計(jì)算的相對(duì)相位φ‖,φ⊥和可觀測(cè)量Δφ‖,Δφ⊥的結(jié)果

表3 PQCD方法計(jì)算的極化分?jǐn)?shù)fL,f‖,f⊥的結(jié)果

最后，考察了分支比、直接CP破壞、縱向極化分?jǐn)?shù)fL對(duì)B介子波函數(shù)中的自由參數(shù)ωB和因子化能標(biāo)t的依賴情況.在圖2～5中可以看出B0→K*+K*-的分支比對(duì)ωB和能標(biāo)t不敏感，這是因?yàn)樵撨^(guò)程是樹圖主導(dǎo)過(guò)程，可因子化圖占主要貢獻(xiàn)，而此類圖的數(shù)值與ωB無(wú)關(guān).對(duì)于其它過(guò)程，都是發(fā)射圖為主，而此類圖非常依賴于B介子波函數(shù)， 所以對(duì)ωB和能標(biāo)都比較敏感. 從圖6和圖7看到波函數(shù)對(duì)于直接CP破壞的影響比能標(biāo)對(duì)于直接CP破壞的影響要小的多，因?yàn)橹苯覥P破壞是比值，波函數(shù)的影響會(huì)減小，從直接CP破壞表達(dá)式(37)可以看到這一點(diǎn).直接CP破壞來(lái)自于樹圖算符和企鵝圖算符的干涉，所以它隨ωB變化是非線性的.從圖8和圖9中可以看出，對(duì)于縱向極化分?jǐn)?shù)，可以有類似的結(jié)論.經(jīng)過(guò)與最新的LHCb實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)在數(shù)值計(jì)算中選擇一個(gè)較大ωB值會(huì)更加符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖2 B0→K*+K*-和的分支 比對(duì)ωB的依賴性

圖和的分支 比對(duì)ωB的依賴性

圖4 B0→K*+K*-和的分支 比對(duì)能標(biāo)的依賴性

圖和的分支 比對(duì)能標(biāo)的依賴性

圖6 直接CP破壞對(duì)參數(shù)ωB的依賴性

圖7 直接CP破壞對(duì)能標(biāo)的依賴性

圖8 fL對(duì)ωB的依賴性

圖9 fL對(duì)能標(biāo)的依賴性

4 結(jié)束語(yǔ)