張國(guó)寶，郝玉財(cái)

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

研究具有非局部擴(kuò)散的三種群Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)[1-2]

(1)

其中,u(x,t),v(x,t),w(x,t)分別表示三個(gè)種群在空間位置x和時(shí)刻t的種群密度,bij>0是種群j和種群i之間的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù),ri>0是種群i的自然增長(zhǎng)率,di>0是種群i的擴(kuò)散系數(shù),Ji是種群i的遷徙率.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),通過(guò)時(shí)間和空間尺度變換,將各種群的環(huán)境承載力標(biāo)準(zhǔn)化為1.Ji*υ-υ稱為非局部擴(kuò)散算子,表示長(zhǎng)距離的擴(kuò)散機(jī)制,其中Ji*υ是R上的標(biāo)準(zhǔn)空間卷積,即

由系統(tǒng)(1)可見(jiàn)，種群v和種群w對(duì)食物資源有不同的偏好，即種群v和w之間沒(méi)有競(jìng)爭(zhēng)，但是,種群u與種群v,w都存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.核函數(shù)Ji可以看作概率密度函數(shù).假設(shè)核函數(shù)Ji和系統(tǒng)(1)的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)滿足以下條件:

(H1)Ji∈C(R),Ji(x)=Ji(-x)≥0,且

(H3)01.

條件(H3)表明種群v和w相對(duì)于種群u是弱競(jìng)爭(zhēng)者,但將種群v和w放在一起可能會(huì)在與種群u的競(jìng)爭(zhēng)中勝出.

非局部擴(kuò)散系統(tǒng)存在于許多應(yīng)用學(xué)科,如種群生態(tài)學(xué)、流行病學(xué)、相變以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[3-7].系統(tǒng)(1)是如下具有隨機(jī)擴(kuò)散的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的非局部擴(kuò)散情形:

(2)

顯然,系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)的空間齊次系統(tǒng)為

(3)

常微分方程系統(tǒng)(3)有一個(gè)平凡平衡點(diǎn)(0,0,0),4個(gè)半平凡平衡點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)以及一個(gè)正平衡點(diǎn)(u*,v*,w*),其中，

由條件(H3)可知,常數(shù)平衡點(diǎn)(0,1,1)和(1,0,0)是線性穩(wěn)定的,其他平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，因此,該系統(tǒng)具有雙穩(wěn)非線性.假定目前的生態(tài)系統(tǒng)中已有種群v和w,現(xiàn)在引入新的種群u，一個(gè)很自然的問(wèn)題是哪個(gè)種群將在競(jìng)爭(zhēng)中獲勝?為了回答這個(gè)問(wèn)題,我們研究系統(tǒng)(1)的連接平衡點(diǎn)(0,1,1)和(1,0,0)的行波解.

系統(tǒng)(1)的行波解具有形式

(u,v,w)(x,t)=(φ,ψ,φ)(x+ct),

(4)

其中,x∈R,t≥0,c∈R是非零傳播速度.將(4)式代入(1)式,可得系統(tǒng)(1)的波廓系統(tǒng)為

其中,ξ:=x+ct，且

基于對(duì)入侵者u的入侵過(guò)程的興趣,(φ,ψ,φ)滿足如下邊界條件：

2017年，在b21>1,b31>1,b12+b13<1的假設(shè)下,Dong等[8]建立了系統(tǒng)(1)的連接平衡點(diǎn)(0,1,1)和(1,0,0)的單穩(wěn)行波解的存在性和漸近行為，Zhang等[2]進(jìn)一步研究了系統(tǒng)(1)的單穩(wěn)行波解的唯一性和穩(wěn)定性.最近,He等[9]考慮了系統(tǒng)(1)的行波解的最小波速,并給出了最小波速線性抉擇的條件.特別地,Dong等[1]研究了系統(tǒng)(1)具有非局部各向異性擴(kuò)散的雙穩(wěn)行波解，他們首先通過(guò)截?cái)鄦?wèn)題的極限論證建立了行波解的存在性和單調(diào)性,然后利用Ikehara引理得到了行波解的漸近行為,并在此基礎(chǔ)上研究了波廓和波速的唯一性.到目前為止,系統(tǒng)(1)的雙穩(wěn)行波解的穩(wěn)定性依然是未知的，因此,文中主要研究系統(tǒng)(1)的雙穩(wěn)行波解的穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)論

(5)

其中,x∈R,t>0,且f1,f2,f3定義如下:

顯然,在區(qū)域{(u,v,w)：u≥0,v≤1,w≤1}中,f1,f2,f3滿足如下條件:

同時(shí),系統(tǒng)(5)對(duì)應(yīng)的行波解(φ,ψ,φ)滿足

(6)

且具有漸近邊界條件

命題1[1]假定條件(H1)～(H3)成立,則系統(tǒng)(5)存在連接平衡點(diǎn)(0,0,0)和(1,1,1)的波速為c∈R的非降行波解(φ,ψ,φ)(x+ct)，且上述雙穩(wěn)行波解在c≠0時(shí)是嚴(yán)格單調(diào)的.

定理1(Lyapunov穩(wěn)定性) 假定條件(H1)～(H3)成立,(φ,ψ,φ)(x+ct)是系統(tǒng)(5)的雙穩(wěn)行波解,其中c≠0.設(shè)(u,v,w)(x,t)是系統(tǒng)(5)的具有初值(u,v,w)(x,0)=(u0,v0,w0)(x)的解,其中

則(φ,ψ,φ)(x+ct)是Lyapunov穩(wěn)定的.即對(duì)任意的ε>0,存在常數(shù)γ>0,若

||(u0,v0,w0)(·)-(φ,ψ,φ)(·)||<γ

(9)

成立,則

2 Lyapunov穩(wěn)定性

本節(jié)利用上下解方法研究系統(tǒng)(5)的具有非零波速的雙穩(wěn)行波解的Lyapunov穩(wěn)定性.

定義1假定函數(shù)(u+,v+,w+)滿足

(11)

其中,x∈R,t>0,則(u+,v+,w+)稱為系統(tǒng)(5)的上解.類似地,通過(guò)改變不等號(hào)的方向可以定義系統(tǒng)(5)的下解.

設(shè)E-和E+分別是f1,f2,f3在(0,0,0)和(1,1,1)處的Jacobi矩陣,即

λ±=max{Reλ:λ∈σ(M±)}<0,

(12)

M±φ±=λ±φ±.

(13)

設(shè)E=?(f1,f2,f3)/?(u,v,w)是取值于(u,v,w)處的Jacobi矩陣.若取ν>0足夠小,則

由(7)式可知,存在ξ1=ξ1(ν)>0,使得

定義函數(shù)

由(6)式可得

Γ(x,t)=σe-βt(βφ′(ξ)+δ(I1-I2)),

其中

取

由(18)和(19)式可知,存在常數(shù)ξ2>0,使得

接下來(lái)證明:對(duì)任意的(x,t)∈R×[0,+∞)和σ>0,若δ足夠小,則Γ(x,t)≥0.令ξ0:=max{ξ1,ξ2+1},并且假設(shè)δ0≤ν/2σ.分以下三種情形進(jìn)行討論:

情形1η>ξ0.在此情形下,η>ξ2+1,因此,由(22)和(23)式可得

顯然,ξ≥η>ξ1,所以由(17)式可知

由(13),(15)和(22)式可得

因此

情形2η<-ξ0.和情形1類似地討論可知Γ(x,t)≥0.

顯然L3僅依賴于v.進(jìn)一步有I2≤3L3.

定義

則

因此Γ(x,t)≥0只需取δ0≤βL4/(|c|+L1+3L3).因此,(11)式的第一個(gè)不等式成立.

同理可證其他不等式也成立.】

定理1的證明令

再由(9)式可得

其中,x∈R,t≥0.因此,由比較原理可得

這說(shuō)明|u(x,t)-φ(x+ct)|<2σL5.因此,由σ=ε/(2L5)可得

||u(·,t)-φ(·)||<2σL5=ε.

同理可證

綜上，定理1自然成立.】