王晉中 谷艷玲

摘 要：本研究以離心式壓縮機懸臂轉子系統(tǒng)為研究對象，對由氣流激勵引起的間隙激振力影響下的轉子系統(tǒng)進行動力學穩(wěn)定性分析。采用Timoshenko梁單元來模擬離散后的系統(tǒng)各軸單元，使用集中質量來模擬葉輪在轉子系統(tǒng)中受到的影響，引入Alford氣流間隙力模型、Muszynska迷宮密封力模型、滾動軸承力模型，建立系統(tǒng)的動力學方程，使用Newmark-β隱式積分數值計算方法進行求解。分別研究不同轉速下Alford力、密封力、滾動軸承力對轉子系統(tǒng)的影響。結果表明，密封力對轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定性有促進作用，滾動軸承力會引起密封力，從而導致系統(tǒng)鎖頻頻率偏移，Alford力對系統(tǒng)的振動幅值有較小的影響。

關鍵詞：懸臂轉子;Alford力;密封力;滾動軸承;動響應分析

中圖分類號：TH113.1 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1003-5168（2022）9-0032-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.09.006

Dynamic Response Analysis of Cantilever Rotor System under Airflow Excitation

WANG Jinzhong? ? GU Yanling

（College of Mechanical Engineering Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China）

Abstract：In this study，taking the cantilever rotor system of centrifugal compressor as the research object，the dynamic stability of the rotor system under the influence of clearance excitation force caused by airflow excitation is analyzed.Timoshenko beam element is used to simulate the discrete shaft elements of the system，and the concentrated mass is used to simulate the influence of the impeller in the rotor system.Alford air gap force model，Muszynska labyrinth sealing force model and rolling bearing force model are introduced to establish the dynamic equation of the system.Use? Newmark-β numerical calculation method of implicit integration solved the differential equation.The effects of Alford force，sealing force and rolling bearing force on the rotor system at different speeds are studied.The results show that the sealing force can promote the stability of the rotor system，the rolling bearing force will shift the frequency locking of the system caused by the sealing force，and the Alford force has a small influence on the vibration amplitude of the system.

Keywords：cantilever rotor;Alford force;sealing force;rolling bearing force;dynamic response analysis

0 引言

轉子系統(tǒng)作為離心壓縮機中的主要做功部分，其穩(wěn)定性對離心壓縮機的運行有著極大的影響，其運動失穩(wěn)不僅會使離心壓縮機組產生故障，也會造成軸承、軸、葉輪等零件的局部損壞，嚴重時甚至會導致整個機組被破壞[1-3]。隨著轉子動力學研究的不斷深入，大功率復雜透平機械動力學模型中需要考慮的關鍵因素不斷增加，不僅要考慮轉子本身的機械結構等基本要素，還要考慮軸承和密封件等其他因素對轉子的影響。因此，對非線性動力學模型的研究是非常有必要的。而離心壓縮機轉子系統(tǒng)中主要的氣流激勵力是由葉輪后端的密封力及葉輪葉尖間隙力即Alford力組成。袁振偉等[4]基于Jeffcott轉子模型，建立了加載Alford力的系統(tǒng)運動方程，發(fā)現了Alford力促進正進動抑制反進動的特性。羅貴火等[5]采用有限元分析法建立了Alford力作用下的轉子運動方程，經計算求解后得出了不平衡量、轉速、支承剛度、阻尼及圓盤位置對該轉子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。李彬等[6]將葉片視為懸臂梁，建立了Alford力作用下葉片彎曲振動的系統(tǒng)模型，分析得出Alford力使系統(tǒng)的穩(wěn)定性更復雜且失穩(wěn)區(qū)域擴大的結論。成玫等[7]通過Jeffcott轉子模擬風機轉子系統(tǒng)，研究Alford力下滾動軸承參數對轉子系統(tǒng)的影響。黃若等[8]將車用渦輪增壓器轉子簡化為Jeffcott轉子進行動力學建模，采用Black密封力模型和Alford葉尖間隙力模型，研究轉子系統(tǒng)中球軸承在加速度不同的情況下系統(tǒng)動力學響應變化。對于密封力，羅躍綱等以轉子試驗臺為研究對象，應用滾動軸承力模型和Muzynska密封力模型，研究了轉速、偏心量及密封參數對轉子系統(tǒng)的影響[9]，也研究了密封轉子在摩碰故障下的特征變化[10]。

本研究以懸臂轉子為研究對象，應用有限元法及質量集中法來模擬轉子系統(tǒng)矩陣，在其對應位置添加葉輪間隙力、密封力和滾動軸承力，組建系統(tǒng)動力學方程，在不同轉速下研究三種非線性力對轉子系統(tǒng)的影響。

1 轉子-密封-軸承模型的建立

為了有針對性地研究氣流激勵對轉子系統(tǒng)的各種響應，通過有限元方法建立了如圖1所示的轉子-密封-軸承系統(tǒng)模型。采用Muszynska密封力模型來計算密封安裝部位轉子運動時由轉子偏心所產生的密封力，采用Alford葉輪葉尖間隙力模型來計算葉輪部位葉輪轉動時由轉子偏心產生的徑向力，而軸承部位則采用角接觸球軸承的非線性力模型。

圖1為轉子-密封-軸承模型的二維結構簡圖，在整個轉子系統(tǒng)上建立長均勻軸段，最終將系統(tǒng)離散化成為28個軸單元，即系統(tǒng)共有29個節(jié)點。圖2為Timoshenko梁單元的示意圖，軸段存在兩個斷面節(jié)點A和B，每個節(jié)點有6個自由度。這里只研究徑向響應，忽略z軸方向的位移及轉動角兩個自由度，則軸段單元的每個節(jié)點均存在4個自由度。

1.1 迷宮密封力模型

本研究選取基于大量試驗且更接近于實際、能夠更好地反應密封力非線性特性的Muszynska迷宮密封力模型。該模型引入了密封間隙的流體運動平均流速為τ，將流體作用力視為以平均角速度τω轉動的力密封力計算公式如式（1）所示。

[Ff xFf y=-? ? ?K-mfτ2ω2? ? ? τωD? ? ? -τωD? ? ? ? ? ? K-mfτ2ω2]

[xy-? ? ?D? ? ? ? ?2τωmf-2τωmf? ? ? D? ? xy-mf? ? ?00? ? ?mfxy]

（1）

式中：K、D、mf分別表示密封力的當量剛度、阻尼和質量;且K、D、τ均為與擾動位移x、y有關的非線性函數。本研究選取的密封參數如表1所示。

1.2 滾動軸承力模型

圖3為滾動軸承的軸向截面示意圖，滾動軸承在運行過程中，內圈通過過盈配合與轉軸固定在一起，外圈則固定在軸承座上，滾動體在滾道中等距排列且假設為純滾動。其中，滾動體的數量為Nb，軸承外徑為R，內徑為r，內圈與轉軸的轉動速度為ω。滾動體與外圈接觸點的線速度Vout為0，與內圈接觸點的線速度Vin為ω×r，保持架的角速度ωc，計算公式見式（2）。

[ωc=（ω×r）/2（R+r）/2=ω×rR+r]? ? ?（2）

假設轉軸在轉動中在X方向和Y方向上產生的振動位移擾動分別為x和y，且軸承間隙為c0，則第i個滾動體和滾道的法向接觸變形δi計算公式見式（3）。

[δi=xcosθi+ysinθi-c0]?; ? （3）

式中，θi為滾動體在軸承中的接觸位置角。

[θi=ω×t+2πNb（j-1），i=1，2，...，Nb]? （4）

由非線性赫茲接觸理論可知，當δi>0時，第i個滾動體與滾道才會接觸產生接觸壓力Fi，引入階躍函數H，其計算公式見式（5）。

[H（δi）=1，? ? ?δi>00，? ? ?δi≤0]? ? ? （5）

則滾動體承受的力Fi計算公式見式（6）。

[Fi=cb×δai×H（δi）×cosa]? ? （6）

式中：α=3/2，cb為赫茲接觸剛度軸承對轉軸的總支承力，如式（7）所示。

[Fx=i=1NbFix=i=1NbFicosθiFy=i=1NbFiy=i=1NbFisinθi]? ? （7）

1.3 Alford力模型

傳統(tǒng)的Alford力模型如式（8）所示。

[FxFy=0? ? ? ?ka-ka? ? ?0][xy]? ? （8）

對于轉子系統(tǒng)的運動方程來說，相當于增加了交叉耦合剛度ka，計算公式見式（9）。

[ka=τβDH]? ? ? ? （9）

式中：τ為流體作用在葉片上的扭矩;D為葉片中徑;H為葉片高度（或長度）;β為單位間隙變化引起的動力效率變化系數。

對于壓縮機葉輪來說，流體作用在葉片上的扭矩如式（10）所示。

[τ=9 550 Pn]? ? ? ?（10）

式中，P為電機傳遞給轉子的功率。

本研究中設定的葉輪各項參數如表2所示。

1.4 懸臂轉子系統(tǒng)的動力學方程及求解

根據拉格朗日方程得到整個轉子系統(tǒng)的動力學方程如式（11）所示。

[Mu+（C+D）u+Ku=Fp+Ff+Fk+Fa+G]

（11）

式中：M為轉子系統(tǒng)的質量矩陣;D為陀螺矩陣;K為剛度矩陣;C為系統(tǒng)的比例阻尼矩陣;[Fp]為偏心力向量;[G]為重力向量;Ff為密封力向量;Fa為葉輪間隙力向量;Fk為軸承力向量。

2 仿真結果及分析

2.1 無密封力情況下的系統(tǒng)響應

在懸臂轉子系統(tǒng)無氣流激勵的情況下，在轉子上設置600 mm·g的偏心量，在軸承力節(jié)點處將軸承支承設置為剛度阻尼支承，利用Newmark-β求解后得到其在不同轉速下穩(wěn)速運行的軸心軌跡圖、時域波形圖、頻譜圖和Poincaré截面圖，如圖4所示。

對圖4中的Poincaré截面圖分析后發(fā)現，隨著轉速的上升，系統(tǒng)旋轉逐漸發(fā)生失穩(wěn)，由周期運動逐漸轉變?yōu)閿M周期運動;從頻譜圖可以看出，隨著轉速的增加，頻域主要體現為轉頻，并且幅值逐漸增加;從時域圖可以看出，隨著轉速的上升，振動幅值逐漸變大，并且在14 000 r/min時幅值產生較明顯的波動。

2.2 有密封力情況下的系統(tǒng)響應

除葉輪外，離心壓縮機氣流激勵的主要來源就是密封力。在轉子系統(tǒng)軸封安裝位置的節(jié)點處施加Muszynska密封力，通過數值計算得到不同轉速的軸心軌跡圖、時域波形圖、頻譜圖和Poincaré截面圖，如圖5所示。

從圖5可以看出，在低轉速情況下，系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期運動，但頻譜上出現了細小的二倍頻成分。隨著轉速的上升，系統(tǒng)逐漸失穩(wěn)，Poincaré截面圖為一條幾乎閉合的環(huán)狀曲線，說明系統(tǒng)處于擬周期運動;頻譜中出現的其他成分能量主要來自密封力，且頻率鎖定不變，但幅值隨著轉速的升高而變大，在轉速為14 000 r/min時，頻譜中出現了明顯的轉頻和鎖頻組合頻率;轉頻幅值相對于無密封時總體有所減小，說明密封力對轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定運行具有積極的作用。

2.3 密封力、軸承力作用下的系統(tǒng)響應

將軸承力模型施加在轉軸相應的節(jié)點上，計算得到不同轉速的軸心軌跡圖、時域波形圖頻譜圖和Poincaré截面圖（見圖6）。

從圖6可以看出，在低轉速下，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，但振動能量成分明確，僅有工頻及其二倍、三倍頻。隨著轉速的增加，在93.33 Hz左右出現鎖頻，一倍頻的幅值有所減小，但鎖頻幅值在增大;在添加軸承力以后，高轉速下系統(tǒng)的穩(wěn)定性有所增加，處于倍周期運動狀態(tài);相較于8 000 r/min的轉速，轉速為14 000 r/min的頻譜圖能量成分更加清晰，但是在鎖頻和一倍頻兩個頻率處的振動幅值都有明顯上升，且鎖頻頻率相對于只有密封力時有所增加。

2.4 密封、軸承、Alford力共同作用下的系統(tǒng)響應

離心壓縮機運轉過程中不可避免地存在著因葉輪偏心引起的葉尖間隙力，將葉輪間隙力施加在葉輪所在節(jié)點，數值計算后得到不同轉速的軸心軌跡圖、時域波形圖、頻譜圖和Poincaré截面圖（見圖7）。

由圖7可知，低轉速下系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，轉速升高后出現鎖頻現象，且系統(tǒng)處于概周期和倍周期運動;與無葉輪間隙力相同，隨著轉速增大，鎖頻幅值增大，工頻幅值減小;轉速為8 000 r/min時，葉輪間隙力使系統(tǒng)更加不穩(wěn)定，當速度達到14 000 r/min時，葉輪力的影響減小，但仍加劇了系統(tǒng)失穩(wěn)的狀態(tài);在葉輪力的影響下，系統(tǒng)振動頻率沒有發(fā)生變化，但其幅值存在細微的波動。

3 結語

本研究采用有限元法建立了懸臂葉輪轉子-密封-軸承系統(tǒng)，使用隱式積分法Newmark-β求解得到不同轉速、受力情況下的軸心軌跡圖、時域波形圖、頻譜圖和Poincaré截面圖。分析后發(fā)現在固定剛度阻尼支承下，由于偏心量的影響，轉子系統(tǒng)隨轉速增加而逐漸失穩(wěn);在軸封部位添加密封力后，高轉速下會出現鎖頻現象，系統(tǒng)的運動主要以概周期運動為主，并且轉頻相對于沒有密封力時有所降低;繼續(xù)在支承位置添加軸承力后，低轉速下的系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)較差，高轉速下鎖頻頻率發(fā)生偏移，系統(tǒng)處于倍周期運動狀態(tài);在葉輪位置添加葉尖間隙力后，轉子系統(tǒng)主要頻率成分的幅值都有細微的變動。

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