樓春春

【摘 要】 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中很多是概念教學(xué)，而概念形成主要是從感性具體到理性具體的第一次數(shù)學(xué)抽象，然后由一個理性具體到另一個理性具體的第二次抽象，可以用弱抽象與強(qiáng)抽象相結(jié)合的方法構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)概念.在概念教學(xué)時，教師應(yīng)該重視與前后知識的聯(lián)系，與整體知識體系的聯(lián)系，與生活實(shí)際的聯(lián)系，讓概念學(xué)習(xí)有充分的抽象意義和現(xiàn)實(shí)意義.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)抽象;概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的形成是數(shù)學(xué)抽象的具體表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的基本形式.概念形成是指從一些具體例證出發(fā)，抽取一類事物的共同屬性，學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識理解，從而形成新概念[1].概念形成過程就是對概念進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的過程，通過類比得到進(jìn)一步的抽象也是引入概念的重要方法.

《3.2實(shí)數(shù)>是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平方根以后，接觸了如“√2”與“?！钡染唧w的一些無理數(shù)的基礎(chǔ)上，引入了無理數(shù)的概念，使學(xué)生把數(shù)的概念從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，從知識儲備上看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)，大致知道了有理數(shù)研究的基本路徑，同時學(xué)生已掌握平方根，初步接觸了“√2”與“?！钡染唧w的無理數(shù)，從能力上看，七年級的學(xué)生思維正處于從以具體形象思維為主向以抽象邏輯思維為主的轉(zhuǎn)折期，所以在教學(xué)設(shè)計(jì)時，注意具體性、形象性的同時還要適當(dāng)?shù)爻橄箝_闊，從而既適應(yīng)這一時期的能力發(fā)展水平，又能促進(jìn)他們的思維向更高一階段的發(fā)展.

1 類比中引入，讓引入抽象更連貫流暢

課堂引入是課堂正式教學(xué)的啟動，教師有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入新的學(xué)習(xí)狀態(tài)的教學(xué)組織行為，通常在課堂引入中會運(yùn)用情境，在情境中抽離出研究對象，本堂課從有理數(shù)的研究路徑引入，通過類比讓引入抽象過程更連貫流暢.

師 導(dǎo)語：前面兩章我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)以及有理數(shù)的運(yùn)算.那么對于有理數(shù)我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？經(jīng)歷了怎樣的一條知識路線呢？

（1）呈現(xiàn)第一章的學(xué)習(xí)目錄

（2）對于有理數(shù)，我們是通過定義、分類、表達(dá)和性質(zhì)四個部分依次展開學(xué)習(xí)的.

（3）本堂課，我們將從有理數(shù)的分類著手，繼續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí).

（4）根據(jù)不同的數(shù)的類型，有理數(shù)可以分為哪兩類？（生：整數(shù)和分?jǐn)?shù)）

（5）根據(jù)不同的小數(shù)類型，分?jǐn)?shù)又可以分為哪兩類？（生：有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)）

（6）如果我們把整數(shù)看作有限小數(shù)，譬如4我們可以看作4.0，那么有理數(shù)就可以視為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的總集.

（7）將視線聚焦“有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，”

思考：我們還學(xué)過不是這兩類的小數(shù)嗎？請你舉例說一說，并說明為什么.（生：π，π是無限不循環(huán)小數(shù)）

（8）那么除了π以外，還有沒有其它的數(shù)不屬于這兩類小數(shù)？

學(xué)生第一章已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)，大致知道了有理數(shù)的研究路徑，教師由有理數(shù)的研究路徑提出，有助于學(xué)生通過類比整體來研究無理數(shù)，幫助學(xué)生理清一條研究數(shù)的基本路徑，學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)的方法.這樣設(shè)計(jì)的意圖主要著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，把新知識與舊知識聯(lián)系起來學(xué)習(xí)，讓舊知為新知做好鋪墊作用，讓學(xué)生學(xué)起來更加容易接受這個知識點(diǎn).

2 過程中微探，讓抽象本質(zhì)更理解透徹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上”，我們要在數(shù)學(xué)教學(xué)中找準(zhǔn)知識的生長點(diǎn)，在探究過程中“退”到知識的源點(diǎn)，在學(xué)習(xí)的動態(tài)過程中往前“進(jìn)一步，在這個過程中抓本質(zhì)、誘反思、促理解，探尋所學(xué)知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)[2].

（1）√2和兀一樣是一個抽象的數(shù)學(xué)符號，數(shù)值不明.

（2）從√2是2的算術(shù)平方根，你想到了什么？開方運(yùn)算的逆運(yùn)算是什么？（生：平方）板書：（√2）2=2

（3）有某個整數(shù)的平方是2嗎？（生：沒有）

（4）說明√2不是整數(shù)，那么√2在哪兩個整數(shù)之間呢？為什么？

（生：√2在1和2之間，所以12<（√2）2<22因?yàn)?<√2<2）

（5）上述過程說明√2的整數(shù)位是多少？（生：1）

（6）那么我們可以用這種方法確定它的十分位嗎？

啟發(fā)：①猜測一下√2的十分位？（例如：1.5）

②比較√2與1.5的大小.

范例（板書）：所以1. 42<（√2）2<1. 52

因?yàn)?.4<√2<1.5，它的前兩位為1.4

（7）嘗試研究√2的百分位？

根據(jù)上一節(jié)課，得知平方與開平方是互逆運(yùn)算，學(xué)生通過估一估、猜一猜、算一算.用“逼近法”去嘗試、感受“√2”小數(shù)點(diǎn)后前幾個具體每位上的數(shù)值，從“數(shù)”本身的角度出發(fā)，讓學(xué)生去體會開不盡情況，為得出無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)這一概念做好鋪墊.Excel中公式的設(shè)置，讓學(xué)生不斷進(jìn)行嘗試探究，有了一定的經(jīng)驗(yàn)后，能夠自主地得到“√2”的百分位，千分位，甚至更多的位數(shù).

3 發(fā)展中切入，讓概念抽象更自然深刻

新知探索是學(xué)生的求知階段，是課堂教學(xué)的主環(huán)節(jié).在這個過程中，教師的主要作用是利用有效的提問來啟發(fā)學(xué)生的思路和方法，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想;而數(shù)學(xué)知識和技能的得到需要學(xué)生從形象思維到抽象思維，從直覺思維到邏輯思維的合理過渡，從而在發(fā)展過程中獲得新的知識，

堂課以“小數(shù)”為切入口，自然順暢地通過小數(shù)數(shù)域的“封閉”著手，得出無理數(shù)和實(shí)數(shù)的相關(guān)概念.基于有理數(shù)研究的基本路徑，學(xué)生通過活動進(jìn)一步理解和拓寬對無限不循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識，從第一次抽象獲得研究對象到二次抽象得到研究的數(shù)學(xué)表征，深刻理解無理數(shù)的含義和分類，最終得出實(shí)數(shù)的概念.

4 練習(xí)中聯(lián)系，讓抽象鞏固更具體豐實(shí)

知識可以講清楚，但抽象能力和運(yùn)用能力必須通過訓(xùn)練來鞏同提升，這樣一來練習(xí)設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)尤為重要，必須突出有效性.有效的課堂練習(xí)不僅可以檢查學(xué)生學(xué)習(xí)效果和教師的教學(xué)效果，而且還能為教師提供教學(xué)反饋，從而修改教學(xué)方案，提高課堂教學(xué)效益.

5 操作中內(nèi)化，讓思維抽象更直觀生動

華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微.”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，是通過數(shù)和形兩者之間的關(guān)系來解決數(shù)學(xué)問題的方法思想.數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是幾何圖形的性質(zhì)反應(yīng)了數(shù)量關(guān)系;數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)[3].

類比有理數(shù)的知識框架，我們剛才完成了無理數(shù)的定義和兩種不同標(biāo)準(zhǔn)下的分類，接下來是表達(dá)，那么能否將√2表示在數(shù)軸上呢？

（1）從數(shù)的角度，我們怎樣在數(shù)軸上表示√2，板演.

（2）從數(shù)的角度，只能在數(shù)軸上近似地表達(dá)√2，要想精確地表示，我們得從形的角度？

（3）考慮到√2在原點(diǎn)√2個單位處，我們需要找到一條長為√2個單位長度的線段.

（4）指向（√2）2=2，剛才我們通過平方，將√2的數(shù)值明確化，將線段的長度平方，你想到了什么？

（5）指向12<（√2）2<22 ，12你聯(lián)想到怎樣的正方形？22呢？（√2）2呢？（生：邊長為1面積為1的正方形;邊長為2面積為4的正方形;邊長為√2面積為2的正方形.）

（6）四人小組，給大家一個面積為4平方單位的正方形：①折一個面積為1平方單位的正方形;②展開，折一個面積為2個平方單位的正方形，

板書：畫一個邊長為2個單位長度的正方形（找一個正確的學(xué)生說折法，畫他的折痕，得到面積為2的陰影正方形，它的邊長為√2）結(jié)合數(shù)軸、圖形和圓規(guī)把√2精確地表示在數(shù)軸上，

在數(shù)軸上表示，對于七年級的學(xué)生而言將有理數(shù)在數(shù)軸上表示難度不大，但要怎么將無理數(shù)表示在數(shù)軸上呢？我們用了兩種形式，一種是√2的近似值，一種是√2的準(zhǔn)確值.通過之前的逼近法，學(xué)生已經(jīng)知道√2≈1.4，在數(shù)軸上大致的表示出來，但√2的準(zhǔn)確值怎么表示？通過折紙活動，讓學(xué)生自主探究單位長度為1時，√2有多長，再將之拓展到同一個單位長度的數(shù)軸上.利用有理數(shù)研究基本路徑圖過渡到實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表達(dá)，借助數(shù)軸對無理數(shù)進(jìn)行研究，從形的角度，再一次體會無理數(shù).

這個環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了一個小組活動——“折紙活動”改編自書本“合作學(xué)習(xí)”，我們變“同定圖形”為“折紙活動”，能夠更好激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，化被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，活動設(shè)計(jì)傾向于用形來說明數(shù)，從一維的線段長到二維的圖形面積，在折紙過程中，并不是一開始就讓學(xué)生折面積為2的正方形，一則是因?yàn)樽寣W(xué)生直接折面積為2的正方形難度有點(diǎn)大，折出面積為1的正方形有助于得到“折痕”，為折出面積為2的正方形做準(zhǔn)備;二則為了得到√2是邊長為1的正方形的對角線長，為數(shù)軸上表示√2作鋪墊.

學(xué)東西的最好途徑是親自發(fā)現(xiàn)它，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中注重學(xué)生的認(rèn)知水平和親身感受出發(fā)，通過教師與學(xué)生“自主十合作”的方式，從有理數(shù)的研究路徑出發(fā)，通過類比歸納得出研究無理數(shù)（實(shí)數(shù)）的研究路徑，抽象得到無理數(shù)（實(shí)數(shù)）概念，在練習(xí)鞏同與動手操作中加深對實(shí)數(shù)概念的理解.

類比能充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，促進(jìn)知識的遷移，達(dá)到活躍思維，豐富想象力，有益于培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知力和抽象能力.在教學(xué)活動中，適時調(diào)整學(xué)生對無理數(shù)（實(shí)數(shù)）的片面認(rèn)識，并通過練習(xí)及時檢測學(xué)生對于實(shí)數(shù)的掌握，為學(xué)生提供及時適當(dāng)?shù)姆答?，在輕松融洽的課堂評價氛圍中完成本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù).

參考文獻(xiàn)：

[1]讓“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)在學(xué)生心里生根發(fā)芽——以數(shù)學(xué)概念教學(xué)為例[J].竇彩云.學(xué)周刊.2018（09）

[2]淺談如何讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生[J].翁慧芳.中學(xué)課程輔導(dǎo)（江蘇教師）.2014（19）

[3]在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)[D].劉軼，遼寧師范大學(xué)2018