莊保海

【摘要】 動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的軌跡問(wèn)題，是近年來(lái)中考數(shù)學(xué)中的一個(gè)?？碱}型，這類(lèi)問(wèn)題的難度一般都比較大，通常得分率比較低.究其原因主要是以下幾個(gè)方面，其一是學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握不好，因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題綜合性通常都比較強(qiáng)，它會(huì)綜合矩形、菱形、正方形、平行四邊形等特殊四邊形、圓形、三角形等知識(shí)，再結(jié)合三角函數(shù)，以及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，所以難度可想而知;其二是學(xué)生對(duì)從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不會(huì)判斷，也就是不知道軌跡是什么樣子的，更不用想求它的問(wèn)題了.

【關(guān)鍵詞】 隱性軌跡;隱形圓;模型

解題中，我們常常遇到隱性軌跡的問(wèn)題，隱性軌跡指的是不太明顯的軌跡，需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，去探尋，有時(shí)，發(fā)掘隱性軌跡是解題的必經(jīng)之路.下面舉例說(shuō)明中考中?？嫉碾[性軌跡問(wèn)題.

1 軌跡為線段或射線

例1 圖1

如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B，C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（? ）

（A）52.??? （B）52.

（C）533.（D） 3.

分析 如圖2，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥QE于H.利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AFQ=90°，推出∠AEF=60°，推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線FE，求出DH，可得結(jié)論.

解 如圖2，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥QE于H.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以∠ABP=∠BAE=90°，

因?yàn)椤鰽BF，△APQ都是等邊三角形，

所以∠BAF=∠PAQ=60°，

BA=FA，PA=QA，

所以∠BAP=∠FAQ，

在△BAP和△FAQ中，

BA=FA，∠BAP=∠FAQ，PA=QA，

所以△BAP≌△FAQ（SAS），

所以∠ABP=∠AFQ=90°，

因?yàn)椤螰AE=90°-60°=30°，

所以∠AEF=90°-30°=60°，

因?yàn)锳B=AF=5，

AE2=AF2+EF2=AF2+12AE2，

解得AE=1033，

所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段FM（M是射線FE與直線CD的支點(diǎn)），

當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合.

因?yàn)锳D=BC=53，

所以DE=AD-AE=533，

因?yàn)镈H⊥EF，

∠DEH=∠AEF=60°，

所以∠HDE=30°，

所以DH2=DE2-EH2=DE2+12DE2，

解得DH=52，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，DQ的值最小，最小值為52，故選（A）.

注 本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理等內(nèi)容，難度中等，是中考熱考的內(nèi)容.

例2 如圖3，在矩形ABCD中，AB=4，∠DCA=30°，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE=30°的直角三角形DEF，使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于DF兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是.

分析 如圖4，分別找到當(dāng)F與A點(diǎn)重合時(shí)和F與C重合時(shí)，點(diǎn)E的位置，記為M和N，可知E的運(yùn)動(dòng)路徑是MN的長(zhǎng);由已知條件可以推導(dǎo)出△DMN是直角三角形，利用勾股定理可求MN.

解 如圖4，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是的MN長(zhǎng)，

因?yàn)锳B=4，∠DCA=30°，

所以BC=433，

當(dāng)F與A點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，在Rt△ADM中，

AD=433，∠DAM=30°，∠ADM=60°，

所以DM=233，∠CDM=30°.

當(dāng)F與C點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，

在Rt△DCN中，∠NDC=60°，

DN=2，

所以∠NDM=90°，

在Rt△DNM中，MN=DM2+DN2=433，

故點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為433.

注 本題考查點(diǎn)的軌跡;能夠根據(jù)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，分析出E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，是解題的關(guān)鍵.

2 軌跡是圓或圓弧

例3

如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AP=3，Q為BP的中點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)線段CQ的長(zhǎng)度為m，則m的取值范圍是.

分析 取AB的中點(diǎn)M，連接QM，CM，分析可知，點(diǎn)C，M是定點(diǎn)，點(diǎn)Q是動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q在以點(diǎn)M為圓心，QM長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C，M，Q三點(diǎn)共線，且點(diǎn)Q在線段CM上時(shí)，m取得最小值，當(dāng)點(diǎn)C，M，Q三點(diǎn)共線，且點(diǎn)Q在線段CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，m取得最大值，可得結(jié)論.

解 如圖6，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，QM.

因?yàn)锳P=3，

所以P在以A為圓心，為半徑圓上運(yùn)動(dòng)，

在Rt△ABC中，

AB=AC2+BC2

=82+62

=10，

因?yàn)镸是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，

所以CM=12AB=5.

因?yàn)镼是BP的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，

所以MQ=12AP=32.

所以5-32≤CQ≤32+5，

即72≤m≤132.圖7

注 本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

例4 如圖7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3.P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PA2+PC2=AC2.當(dāng)PB的長(zhǎng)度最小時(shí)，△ACP的面積是（? ）

（A） 3.??? （B） 33.

（C）334.（D）332.

分析 由題意知∠APC=90°，又AC長(zhǎng)度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AC中點(diǎn)O為圓心，12AC長(zhǎng)為半徑的圓弧，所以當(dāng)B，P，O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短;在Rt△BCO中，利用勾股定理可求BO的長(zhǎng)，并得到點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，由線段長(zhǎng)度即可得到△PCO是等邊三角形，利用特殊Rt△APC三邊關(guān)系即可求解.

解 因?yàn)镻A2+PC2=AC2，

所以∠APC=90°，

取AC中點(diǎn)O，并以O(shè)為圓心，12AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓（圖8），

由題意知：當(dāng)B，P，O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短，

所以AO=PO=CO，

因?yàn)镃O=12AC=12×23=3，

BC=3，

所以BO=BC2+CO2=23，

所以BP=BO-PO=3，

所以點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，

所以在Rt△BCO中，

CP=12BO=3=PO，

所以△PCO是等邊三角形，

所以∠ACP=60°，

在Rt△APC中，

AP=CP×tan60°=3，

所以S△APC=12AP×CP=3×32=332.

注 本題主要考察動(dòng)點(diǎn)的線段最值問(wèn)題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問(wèn)題，屬于動(dòng)態(tài)幾何綜合題型，中檔難度.解題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即隱形圓.

例5 如圖9，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長(zhǎng)線上，連接AD.

（1）求證：BC∥AD;

（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)之和.

分析 （1）只要證明∠CBE=∠DAB=60°即可;

（2）由題意，BA=BD=4，

BC=BE=1，

∠ABD=∠CBE=60°，

利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

解 （1）由題意 △ABC≌△DBE，

且∠ABD=∠CBE=60°，

所以AB=DB，

所以△ABD是等邊三角形，

所以∠DAB=60°，

所以∠CBE=∠DAB，

所以BC∥AD.

（2）由題意 BA=BD=4，

BC=BE=1，

∠ABD=∠CBE=60°，

所以A，C兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)之和等于

60·π·4180+60·π·1180=5π3.

注 本題考查軌跡，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

當(dāng)然隱性軌跡還有可能是其他模型，需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中注意總結(jié)利用.總之，隱性軌跡問(wèn)題具有較強(qiáng)的探究性，可能出現(xiàn)在幾何問(wèn)題或代數(shù)問(wèn)題里，需要發(fā)掘和利用才能順利解決問(wèn)題.