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2022-05-30 10:48:04鄭泉水
數(shù)理天地(初中版) 2022年11期 關(guān)鍵詞：平行四邊形
鄭泉水
【摘要】 本文通過(guò)對(duì)平行四邊形判定方法的探索，幫大家進(jìn)一步熟悉其基本判定方法的應(yīng)用，開(kāi)闊視野，提高邏輯思維能力.
【關(guān)鍵詞】 平行四邊形;判定;開(kāi)闊視野
我們知道，初中數(shù)學(xué)各種版本的教材中，平行四邊形的判定方法一般有五種，即：
（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;
（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;
（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;
（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
以此五種基本判定方法為基礎(chǔ)，通過(guò)探索，我們得出下面的多種判定方法：
方法1 一組對(duì)邊平行、一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形.
如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠D.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 因?yàn)锳D∥BC，
所以∠A+∠B=180°.
因?yàn)椤螧=∠D，
所以∠A+∠D =180°.
所以AB∥DC.
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
方法2 一組對(duì)邊相等、一組對(duì)角是鈍角且相等的四邊形是平行四邊形.
如圖2，四邊形ABCD中，AB=DC，∠A，∠C是鈍角，且∠A=∠C.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 連接BD.
由正弦定理，得
sin∠1=AB×sin∠ABD，
sin∠2=DC×sin∠CBD.
因?yàn)锳B=DC，∠A=∠C，
所以sin∠1=sin∠2.
因?yàn)椤螦，∠C是鈍角，
所以∠1，∠2是銳角.
所以∠1=∠2.
所以△ABD≌△CDB（AAS）.
所以AD=BC.
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
注 上述證明過(guò)程中得出三角形全等的一個(gè)判定定理“有兩邊及一邊的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)鈍角三角形全等.”
方法3 一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線、且兩條對(duì)角線形成的鈍角所對(duì)的一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.
如圖3，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于O，∠AOD是鈍角，且OA=OC，AD=BC.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 因?yàn)椤螦OD=∠COB，
且∠AOD，∠COB是鈍角，
OA=OC，AD=BC.
所以△AOD≌△COB
（有兩邊及一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)鈍角三角形全等）.
所以O(shè)D=OB.
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
方法4 一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線、且有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形.
如圖3，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于O， OA=OC，AD∥BC.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 因?yàn)锳D∥BC，
所以∠OAD=∠OCB.
又OA=OC，
∠AOD=∠COB，
所以△AOD≌△COB（ASA）.
所以AD=BC.
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
方法5 一組對(duì)角的平分線互相平行且相等的四邊形是平行四邊形.
如圖4，四邊形ABCD中，BE，DF分別是其一組對(duì)角的平分線，且BE∥DF，BE=DF.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 因?yàn)锽E，DF分別是其一組對(duì)角的平分線，且BE∥DF，
所以可設(shè)∠ABE=∠EBC=∠DFC=α，
∠CDF=∠FDA=∠AEB=β.
因?yàn)锽E∥DF，BE=DF，
所以四邊形BFDE是平行四邊形.
所以AD∥BC.
所以∠FDA =∠DFC，
即∠α=∠β.
所以∠A=∠C.
所以四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形）.
方法6 一組對(duì)角的平分線互相平行且有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形.
如圖4，四邊形ABCD中，BE，DF分別是其一組對(duì)角的平分線，且BE∥DF，AD∥BC（或AB∥DC）.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 （1）當(dāng)BE∥DF，AD∥BC時(shí)，四邊形BFDE是平行四邊形.其證法與方法5的證明相同，故從略.
（2）當(dāng)BE∥DF，AB∥DC時(shí)，則有：
∠ABE=∠CDF
（如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等.）
即∠α=∠β.
所以∠A=∠C.
所以四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形）.
方法7 兩組對(duì)角的平分線互相平行的四邊形是平行四邊形.
如圖5，四邊形ABCD中，AE，CF，BH，DK分別是其兩組對(duì)角的平分線，且AE∥CF，BH∥DK.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 由角平分線BH與DK互相平行可知：
∠ABH=∠HBK=∠DKC=∠1，
∠CDK=∠KDH=∠BHA=∠2，
并將它們標(biāo)示在圖上.
利用三角形的內(nèi)角和是180°，容易得出
∠BAH=∠DCK.
同理可知∠ABE =∠CDF.
故四邊形ABCD是平行四邊形.
方法8 一組對(duì)角的頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線的距離相等，且有一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.
如圖6，四邊形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明留給讀者自行完成.
方法9 一組對(duì)角的頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線的距離相等，且有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形.
如圖6，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明留給讀者自行完成.
受上面判定方法的啟示，你還能找出其他判定方法嗎？不妨試試看！
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（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;
（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;
（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
以此五種基本判定方法為基礎(chǔ)，通過(guò)探索，我們得出下面的多種判定方法：
方法1 一組對(duì)邊平行、一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形.
如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠D.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 因?yàn)锳D∥BC，
所以∠A+∠B=180°.
因?yàn)椤螧=∠D，
所以∠A+∠D =180°.
所以AB∥DC.
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
方法2 一組對(duì)邊相等、一組對(duì)角是鈍角且相等的四邊形是平行四邊形.
如圖2，四邊形ABCD中，AB=DC，∠A，∠C是鈍角，且∠A=∠C.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 連接BD.
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sin∠2=DC×sin∠CBD.
因?yàn)锳B=DC，∠A=∠C，
所以sin∠1=sin∠2.
因?yàn)椤螦，∠C是鈍角，
所以∠1，∠2是銳角.
所以∠1=∠2.
所以△ABD≌△CDB（AAS）.
所以AD=BC.
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
注 上述證明過(guò)程中得出三角形全等的一個(gè)判定定理“有兩邊及一邊的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)鈍角三角形全等.”
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求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 因?yàn)椤螦OD=∠COB，
且∠AOD，∠COB是鈍角，
OA=OC，AD=BC.
所以△AOD≌△COB
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所以O(shè)D=OB.
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
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求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 因?yàn)锳D∥BC，
所以∠OAD=∠OCB.
又OA=OC，
∠AOD=∠COB，
所以△AOD≌△COB（ASA）.
所以AD=BC.
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求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 因?yàn)锽E，DF分別是其一組對(duì)角的平分線，且BE∥DF，
所以可設(shè)∠ABE=∠EBC=∠DFC=α，
∠CDF=∠FDA=∠AEB=β.
因?yàn)锽E∥DF，BE=DF，
所以四邊形BFDE是平行四邊形.
所以AD∥BC.
所以∠FDA =∠DFC，
即∠α=∠β.
所以∠A=∠C.
所以四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形）.
方法6 一組對(duì)角的平分線互相平行且有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形.
如圖4，四邊形ABCD中，BE，DF分別是其一組對(duì)角的平分線，且BE∥DF，AD∥BC（或AB∥DC）.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 （1）當(dāng)BE∥DF，AD∥BC時(shí)，四邊形BFDE是平行四邊形.其證法與方法5的證明相同，故從略.
（2）當(dāng)BE∥DF，AB∥DC時(shí)，則有：
∠ABE=∠CDF
（如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等.）
即∠α=∠β.
所以∠A=∠C.
所以四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形）.
方法7 兩組對(duì)角的平分線互相平行的四邊形是平行四邊形.
如圖5，四邊形ABCD中，AE，CF，BH，DK分別是其兩組對(duì)角的平分線，且AE∥CF，BH∥DK.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明 由角平分線BH與DK互相平行可知：
∠ABH=∠HBK=∠DKC=∠1，
∠CDK=∠KDH=∠BHA=∠2，
并將它們標(biāo)示在圖上.
利用三角形的內(nèi)角和是180°，容易得出
∠BAH=∠DCK.
同理可知∠ABE =∠CDF.
故四邊形ABCD是平行四邊形.
方法8 一組對(duì)角的頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線的距離相等，且有一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.
如圖6，四邊形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明留給讀者自行完成.
方法9 一組對(duì)角的頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線的距離相等，且有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形.
如圖6，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF.
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