劉光華 吳高敏

【摘要】 有限的網(wǎng)格將核心數(shù)學(xué)知識及豐富的數(shù)學(xué)原理融入其中，架起了數(shù)學(xué)思考與問題解決之間的橋梁.提高實(shí)踐能力.幾何變換是解決幾何作圖問題的常見思路與方法，靈活運(yùn)用網(wǎng)格中豐富的“數(shù)形”關(guān)系是發(fā)現(xiàn)、解決問題的關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】 格點(diǎn);格線;平移;畫圖

網(wǎng)格背景下的無刻度直尺畫圖問題因其結(jié)構(gòu)簡單，形式新穎，設(shè)計(jì)巧妙，從而引起了眾多地區(qū)中考命題者及一線教師、學(xué)生的關(guān)注.有限的網(wǎng)格將核心數(shù)學(xué)知識及豐富的數(shù)學(xué)原理融入其中，架起了數(shù)學(xué)思考與問題解決之間的橋梁.下面我們從平移變換的方法來探討幾種常見網(wǎng)格背景下的無刻度直尺畫圖.

問題 以下題的圖形都是由邊長為1的小正方組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，組成網(wǎng)格的每一條線叫做格線.圖中有A，B，C三點(diǎn).請用無刻度的直尺按要求完成畫圖，畫圖過程用虛線，畫圖結(jié)果用實(shí)線.

1 畫線段的平移

平移線段AB到CD，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為C，B的對應(yīng)點(diǎn)為D，畫出線段CD.

例1 如圖1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上.

畫法如圖2，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A向右平移3格再向下平移1格到對應(yīng)點(diǎn)C，所以將點(diǎn)B也向右平移3格再向下平移1格到對應(yīng)點(diǎn)D，連CD即可.

例2 如圖3，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，點(diǎn)C在網(wǎng)格線上.

畫法如圖4，點(diǎn)C在網(wǎng)格線上，點(diǎn)C與點(diǎn)A，B的水平距離是確定的，連接BC，交縱向的網(wǎng)格線于點(diǎn)O，因?yàn)锽C之間有3條縱向相互平行的格線，且它們之間的水平距離均為1，由平行線等分線段定理可知，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn).連接AO并延長，交最右側(cè)縱向網(wǎng)格線于點(diǎn)D，則四邊形ACDB為平行四邊形，CD即為所求作線段.

例3 如圖5，點(diǎn)A，B，C均在網(wǎng)格線上.

畫法如圖6，點(diǎn)A，B，C均在三條縱向的網(wǎng)格線上，三點(diǎn)之間的水平距離是確定的，連接BC，交縱向的網(wǎng)格線于點(diǎn)O，因?yàn)锽，C之間有3條縱向相互平行的格線，且它們之間的水平距離均為1，由平行線等分線段定理可知，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn).連接AO并延長，交最右側(cè)縱向網(wǎng)格線于點(diǎn)D，連CD即可.

當(dāng)網(wǎng)格中的點(diǎn)在格線上時(shí)，只有這幾個(gè)點(diǎn)同時(shí)在橫向格線上或縱向格線上，它們的垂直距離或水平距離才可以確定，在滿足一定條件時(shí)就可以利用格線構(gòu)造出平行四邊形，畫出平移后的對應(yīng)線段.

2 利用平移畫垂線

例4 如圖7，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，過點(diǎn)C畫線段CD⊥AB.

畫法如圖8，利用格點(diǎn)中“一線三垂直”模型，取格點(diǎn)E畫BE⊥AB，將線段BE沿水平方向向左平移1格到CD，則CD⊥AB（也可以利用三角形全等關(guān)系直接取格點(diǎn)D畫出CD⊥AB）.

例5 如圖9，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，C在網(wǎng)格線上，過點(diǎn)C畫線段CD⊥AB.

畫法如圖10，類比例4先利用格點(diǎn)中的“一線三垂直”模型，取格點(diǎn)E作BE⊥AB，要畫CD⊥AB，只需過點(diǎn)C畫CD∥BE，即平移線段BE到CD即可.由于點(diǎn)C在縱向的網(wǎng)格線上，連接CE，交C，E之間縱向網(wǎng)格線于點(diǎn)O，連接BO并延長，交點(diǎn)E所在縱向網(wǎng)格線于點(diǎn)D，連CD即可.

過已知點(diǎn)作格點(diǎn)線段（端點(diǎn)都在格點(diǎn)上）的垂線，可以先以該線段的一個(gè)端點(diǎn)借助“一線三垂直”模型作一條線段與它垂直（也可以理解為將格點(diǎn)線段繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°），再通過將垂線段平移分步完成畫圖.

3 畫對稱

例6 如圖11，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D.

1圖12

畫法如圖12，由軸對稱的性質(zhì)可知，點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D滿足CD⊥AB，且點(diǎn)C，D到AB的距離相等.同上述方法先取格點(diǎn)E作BE⊥AB，再平移BE到CF，則有CF⊥AB.將線段AB向左平移1格到HG，交CF于點(diǎn)D，由平行線等分線段定理可知，點(diǎn)C，D到AB的距離相等.所以點(diǎn)D即為所求對稱點(diǎn).

網(wǎng)格中的軸對稱畫圖一般在格點(diǎn)及格點(diǎn)線段中進(jìn)行，它綜合了過已知點(diǎn)作格點(diǎn)線段的垂線及線段的平移等畫圖方法，在實(shí)際畫圖中可以拆解后分步進(jìn)行.

幾何變換是解決幾何作圖問題的常見思路與方法，靈活運(yùn)用網(wǎng)格中豐富的“數(shù)形”關(guān)系是發(fā)現(xiàn)、解決問題的關(guān)鍵.通過平移變換能構(gòu)造出有利于發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)相關(guān)知識，從而實(shí)現(xiàn)問題的有效解決.