趙平

【摘要】 比例是由已知量求未知量的有效手段.而平行線又是得到比例線段的直接途徑，在一道具體的題目中，怎么去構(gòu)造平行線，怎么去思考？這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素、提升數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】 希望杯;同高三角形面積比等于底邊的比;平行線

2014年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第一試第23題：

如圖1，E是平行四邊形ABCD的對(duì)角線DB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DB=2BE，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，EF交BC于點(diǎn)G.若平行四邊形ABCD的面積為20，則△AEB的面積是，△BEG的面積是.

簡(jiǎn)析 由平行四邊形ABCD的面積為20，BD是角平分線，于是得△ADB的面積是10，又E是DB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DB=2BE，根據(jù)同高三角形的面積比等于底邊長(zhǎng)的比，所以△AEB的面積是5，分別過(guò)點(diǎn)A，C向DE作垂線，垂足分別為M，N，連接EC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易證

△ADM≌△CBN，

所以AM=CN，

所以△CEB的面積=△AEB的面積=5.

此時(shí)要求△BEG的面積只需得到線段BG與BC的比，再根據(jù)同高三角形的面積比等于底邊長(zhǎng)的比即可求得△BEG的面積.下面我們就如何來(lái)求線段BG與BC的比，來(lái)探究一下三角形中如何構(gòu)造平行線合理利用中點(diǎn)條件.

總說(shuō) 欲求線段BG與BC的比，有效的手段就是通過(guò)平行線，所以問(wèn)題的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造平行線的問(wèn)題，而構(gòu)造平行線有兩個(gè)條件，一是過(guò)哪一點(diǎn)，二是作哪條線的平行線，下面就這兩個(gè)條件我們來(lái)詳細(xì)分析.觀察圖1，在△BDC中，已知DB的延長(zhǎng)線與FG的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)E，于是可知可利用的點(diǎn)有E，B，D，F(xiàn)，C，G六個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)一共構(gòu)成了四條線分別為DB，DC，CB，EF，而這六個(gè)點(diǎn)中的每一個(gè)點(diǎn)都在兩條線上（如點(diǎn)F在DC上又在EF上），所以過(guò)一點(diǎn)可以作另兩條線的平行線.

比如過(guò)點(diǎn)F作平行線，因?yàn)辄c(diǎn)F在線段EF上和線段DC上，所以過(guò)點(diǎn)F只可以作DE和BC的平行線.

方法1 如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH∥DE交BC于點(diǎn)H，從而可知FH是△BDC的中位線，

所以2FH=BD，

又已知DB=2BE，

從而得BE=FH，

再由FH∥DE，得BG=GH，

又CH=BH，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面積=14△BEC的面積=14×5=54.

方法2 如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交DE于點(diǎn)H，從而可知FH是△BDC的中位線，

所以2FH=BC，

且DH=HB，

又已知DB=2BE，

從而得EB=BH，

再由FH∥DE得2BG=FH，

又2FH=BC，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面積=14△BEC的面積=14×5=54.

再如過(guò)點(diǎn)D作平行線，因?yàn)辄c(diǎn)D在線段DE上和線段DC上，所以過(guò)點(diǎn)D只可以作BC和EF的平行線.

方法3 如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由F是DC的中點(diǎn)，可得DF=CF，

所以DH=GC.

根據(jù)已知條件

DB=2BE，

所以3BG=DH，

即3BG=GC，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面積=14△BEC的面積=14×5=54.

方法4 如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DH∥EF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由F是DC的中點(diǎn)，可得

DF=CF，圖5

所以GH=GC.

根據(jù)已知條件

DB=2BE，

所以2BG=BH，

即3BG=GH=GC，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面積=14△BEC的面積=14×5=54.

過(guò)其他各點(diǎn)是否也能解決問(wèn)題呢？讀者朋友們可以自己嘗試！