羅強華

【摘要】 在運用三角函數(shù)解決問題時，圖形中往往會存在一些特殊的角度，例如30°，45°，60°和90°等.解決此類問題的方法是先根據(jù)題目條件和圖形特征計算出一些特殊角的度數(shù)，再結(jié)合需要解決的問題推導(dǎo)或構(gòu)造出等腰直角三角形、等邊三角形或含30°和60°的直角三角形等特殊的平面圖形，最后運用特殊角的三角函數(shù)值和特殊平面圖形的性質(zhì)解決問題.

【關(guān)鍵詞】 特殊角;三角函數(shù);應(yīng)用題;解題技巧

例1 如圖1，已知△ABC中，∠ABC=135°，tanA=12，BC=22，求△ABC的周長.

解 如圖1，過點C作CD⊥AB的延長線于點D，

因為∠ABC=135°，

所以∠CBD=180°-∠ABC

=180°-135°

=45°，

可得△BCD是等腰直角三角形，

因為BC=22，

可得BD=CD=BC×sin45°=22×22=2，

在Rt△ACD中，tanA=CDAD，

可得AD=CDtanA=212=4，

由勾股定理，可得

AC=AD2+CD2=42+22=25，

所以△ABC的周長為25+22+2.

例2 如圖2，輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，再觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是（? ）海里.

（A）253.??? （B）252.

（C）50.（D）25.

解 由題意可得 ∠DBC=30°，

∠ABD=75°，∠ACE=60°，

所以∠ABC=∠ABD-∠DBC

=75°-30°

=45°，

因為BD∥CE，

可得∠BCE=∠DBC=30°，

所以∠ACB=∠BCE+∠ACE

=30°+60°

=90°，

易證△ABC為等腰直角三角形，

所以AC=BC=50×12=25（海里）.

故答案選（D）.

例3 如圖3，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（? ）km.

（A）30+303.?? （B）30+103.

（C）10+303.（D）30.

解 由題意可得

∠DAB=65°，∠DAC=20°，

∠CBE=40°，

所以∠BAC=∠DAB-∠DAC

=65°-20°

=45°，

因為AD∥BE，

可得∠ABG=∠DAB=65°，

所以∠ABC=180°-∠ABG-∠CBE

=180°-65°-40°

=75°，

所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC

=180°-75°-45°

=60°，

如圖3，過點B作BH⊥AC于點H，

易證△ABH為等腰直角三角形，

所以AH=BH=22AB=30km，

在Rt△BCH中，tanC=BHCH，

可得CH=BHtanC=303=103km，

所以AC=AH+CH=（30+103）km.

故答案選（B）.

例4 如圖4，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量河對岸a的兩棵古樹A，B之間的距離，他們在河邊沿著與AB平行的直線b上取C，D兩點，測得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若a，b之間的距離為50m，則古樹A，B之間的距離為m.

解 如圖4，過點C作CE⊥直線a于點E，

因為∠ACD=45°，

易證△ACE為等腰直角三角形，

所以AE=CE=50m，

因為∠ACB=15°，

所以∠BCE=∠ACE-∠ACB

=45°-15°

=30°，

在Rt△BCE中，有

tan∠BCE=BECE，

可得BE=CE×tan∠BCE=50×33=5033m，

所以AB=AE-BE=50-5033m.

故答案為50-5033.

例5 如圖5，在一個房間內(nèi)，有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時梯子的傾斜角為75°;如果梯子的底端不動，頂端靠在對面墻上，此時梯子的頂端距地面的垂直距離NC為b米，梯子的傾斜角為45°，則這間房子的寬AC為（? ）米.

（A）a+b2.??? （B）a-b2

（C） b.（D） a.

解 由題意可得，

∠ABM=75°，∠CBN=45°，

所以∠MBN=180°-∠ABM-∠CBN

=180°-75°-45°

=60°，

如圖5，連接MN，過點M作MF⊥CN的延長線于點F，

根據(jù)題意，易證△MBN是等邊三角形，

所以MB=MN，∠MNB=60°，

根據(jù)題意，易證△BCN是等腰直角三角形，

所以∠BNC=45°，

可得∠MNF=180°-∠MNB-∠BNC

=180°-60°-45°

=75°，

所以∠ABM=∠MNF，

因為∠A=∠MFN=90°，

所以△ABM≌△FNM，

可得MF=MA=a，

所以AC=MF=a.

故答案選（D）.