陳漢陽

摘? ?要：在新時(shí)代教育改革的背景下，多媒體技術(shù)被廣泛運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中，而如何融合多媒體技術(shù)與幾何畫板，實(shí)現(xiàn)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)資源的有效整合，對(duì)于推動(dòng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)走向更高學(xué)術(shù)水平具有重要意義。從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，分析了現(xiàn)代教學(xué)在信息技術(shù)條件下幾何畫板與高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效整合的策略。

關(guān)鍵詞：幾何畫板;高中數(shù)學(xué);有效整合

引言：在新時(shí)代教育改革背景下，如何高效運(yùn)用信息技術(shù)提升教學(xué)水準(zhǔn)，是值得廣大教師深思的課題。以學(xué)科課程特點(diǎn)為基礎(chǔ)，推動(dòng)信息技術(shù)與學(xué)科教育的深度融合，從而促使教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)出更加生動(dòng)靈活的表現(xiàn)方式，則是教師值得關(guān)注的要點(diǎn)。這使得信息技術(shù)成為了學(xué)校教育教學(xué)的基本要素之一，也是推動(dòng)教學(xué)水平提升的必要教學(xué)工具。

1? 從全局高度認(rèn)識(shí)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有機(jī)整合，教師首先要從教學(xué)內(nèi)容安排出發(fā)，合理利用信息技術(shù)，使課堂教學(xué)表達(dá)更加直觀生動(dòng)，將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中含有學(xué)科特點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)方式變得更加形象多樣。這對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展過程具有重要意義，學(xué)生在信息技術(shù)的支持下形成一定的數(shù)學(xué)思維，改變數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的整體格局。從全局角度出發(fā)，充分認(rèn)識(shí)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合實(shí)踐的要點(diǎn)。教師不僅應(yīng)當(dāng)將信息技術(shù)作為教學(xué)的輔助工具，也要探索信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之間更多的融合點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)更加高質(zhì)量的教學(xué)整合。具體來看，為了促使幾何畫板、信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之間實(shí)現(xiàn)有機(jī)融合，以學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況為基礎(chǔ)，探索不同的教學(xué)整合方式。數(shù)學(xué)教師可采取以下幾種教學(xué)形式，一是將幾何畫板作為數(shù)學(xué)課堂演示工具，這種形式充分發(fā)揮了計(jì)算機(jī)軟件的演示功能，將學(xué)生難以理解的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行直觀展示。例如高中數(shù)學(xué)中的正方體截面、三角函數(shù)圖像等問題，教師都可以利用幾何畫板，從本質(zhì)上揭示數(shù)學(xué)概念的特征，幫助學(xué)生形成較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維。在習(xí)題課與復(fù)習(xí)課教學(xué)時(shí)，可以利用幾何畫板畫出圖像，直觀理解題意，從而提高學(xué)生分析問題解決問題的能力，例如：

（2021全國高考試題21）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1=（-，0），F(xiàn)2=（，0），│MF1│-│MF2│=2，點(diǎn)M的軌跡為C.（1）求C的方程;（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且│TA│·│TB│=│TP│·│TQ│，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和. 解析：（1）軌跡C的方程為x-=1（x≥1）;（2）設(shè)點(diǎn)T（，t），若過點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線C無公共點(diǎn)，不妨直線AB的方程為y-t=k1（x-），即y=k1x+t-k1，聯(lián)立y=k1x+t-

k1

16x2-16y2=16，消去y并整理可得（k-16）x+k（2t-k）x+（t-k）+16=0，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1>且x2>.由韋達(dá)定理可得x1+x2=，x1x2=，所以，│TA│·│TB│=（1+k）·│x1-│·│x2-│=（1+k）·（x1x2-）=，設(shè)直線PQ的斜率為k2，同理可得│TP│·│TQ│=，因?yàn)椹A│·│TB│=│TP│·│TQ│，即=，整理可得k=k，即（k1-k2）（k1+k2）=0，顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0。因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0。在第一小題中，利用圖像，可以明確限制范圍，在第二小題中，利用圖像，可以明確解題思路與方法。二是通過課件制作，在課堂上向?qū)W生進(jìn)行演示，并號(hào)召學(xué)生參與到操作過程中來，讓學(xué)生更加主動(dòng)積極地開展數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)。三是讓學(xué)生進(jìn)行自主研究，并以幾何畫板作為輔助工具，讓學(xué)生通過獨(dú)立操作電腦軟件，研究相關(guān)的復(fù)雜數(shù)學(xué)問題，這種教學(xué)形式能夠充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，學(xué)生在操作軟件過程中，也將形成一定的解決問題能力和創(chuàng)新意識(shí)。基于以上三種教學(xué)形式的有機(jī)整合，教師能夠充分發(fā)揮幾何畫板的輔助作用，并幫助學(xué)生弄清數(shù)學(xué)問題的原理。在當(dāng)前教育形勢(shì)下，教師要進(jìn)一步探索幾何畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合要點(diǎn)，以數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)為基礎(chǔ)，讓學(xué)生思考數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和形成過程。

2? 幾何畫板與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有機(jī)整合的必要原則

2.1? 尊重幾何畫板的工具性原則

為了促使幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中更大程度地影響學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，教師應(yīng)當(dāng)盡量減少對(duì)幾何畫板自身的過度關(guān)注，而是要以學(xué)生的認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，尊重學(xué)生的思維能力和幾何畫板的工具性。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師要將幾何畫板作為服務(wù)于教學(xué)的基本工具，以一種更加自然和開放的態(tài)度對(duì)待幾何畫板，將幾何畫板變?yōu)閹椭鷮W(xué)生獲取數(shù)學(xué)信息、探索數(shù)學(xué)問題、解決復(fù)雜問題的輔助工具。教師要轉(zhuǎn)變學(xué)生對(duì)幾何畫板這種學(xué)習(xí)工具的認(rèn)知，讓學(xué)生在操作幾何畫板時(shí)更加順手和自然[ 1 ]。

2.2? 堅(jiān)持教學(xué)有效性原則

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中充分利用幾何畫板，教師要實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的充分突破，幫助學(xué)生建立起更加高質(zhì)高效的學(xué)習(xí)方式。對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，在應(yīng)對(duì)一些相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果教師僅僅利用傳統(tǒng)的教學(xué)手段，難以使學(xué)生清楚理解這些數(shù)學(xué)原理，而如果能夠充分利用幾何畫板，這些教學(xué)難點(diǎn)將會(huì)得到充分化解。例如在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以利用幾何畫板詳細(xì)解釋幾何圖形的平移和旋轉(zhuǎn)問題.例如：（2018全國高考試題19）設(shè)橢圓C：+y=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）. （1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程;（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB。解析：（1）由已知得F（1，0），l的方程為x=1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，-）.所以AM的方程為y=-x+或y=x-.（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°。當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB。當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，y=k（x-1）（x≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則x1<，x2<，直線MA，MB的斜率之和為kMA+kMB=+。由y1=kx1-k，y2=kx2-k得。kMA+kMB=。將y=k（x-1）代入+y=1得（2k2+1）x-4k2x+2k2-2=0。所以，x1+x2=，x1x2=。則2kx1x2-3k（x1+x2）+4k==0。從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠OMA=∠OMB。綜上，在第一小題中，利用圖像，可以明確本題有兩解，在第二小題中，利用圖像，可以明確把證明角相等轉(zhuǎn)化為斜率相加等于0。與此同時(shí)，教師要進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，幫助學(xué)生構(gòu)建起更加高效的學(xué)習(xí)方式，教師要促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更加積極主動(dòng)，通過不斷地探索和研究認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)原理。而基于這種學(xué)習(xí)方式，學(xué)生能夠形成更加端正的學(xué)習(xí)態(tài)度，這對(duì)于學(xué)生的長(zhǎng)期成長(zhǎng)同樣具有積極意義?？傮w來看，在多媒體環(huán)境下利用幾何畫板，教師一定要尊重教學(xué)的有效性原則，從根本上解決學(xué)生關(guān)注的學(xué)習(xí)問題，這樣才能充分發(fā)揮幾何畫板的輔助作用。

3? 多媒體條件下幾何畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)整合策略

3.1? 幾何畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的基本形式

在多媒體技術(shù)條件下，數(shù)學(xué)教師充分利用幾何畫板主要有以下三種基本的體現(xiàn)形式，一是利用幾何畫板進(jìn)行驗(yàn)證性演示，教師可以以課本教材的教學(xué)內(nèi)容安排為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)特定的幾何畫板課件，并借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，從而驗(yàn)證一些數(shù)學(xué)概念。二是構(gòu)建性整合，教師可以以學(xué)生自身的知識(shí)水平和認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建一些陌生的數(shù)學(xué)概念。例如在解析幾何的學(xué)習(xí)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板，對(duì)曲線的軌跡進(jìn)行探索研究，之后，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)方法解出相關(guān)方程。三是探究性實(shí)驗(yàn)，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生利用幾何畫板進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，在這種應(yīng)用過程中，學(xué)生將會(huì)深刻認(rèn)識(shí)某一數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展過程。

3.2? 進(jìn)行針對(duì)性教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)整合

教師在充分利用幾何畫板的過程中，必須進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì)，并以特定的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的基本認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，對(duì)教學(xué)整合內(nèi)容進(jìn)行全方位設(shè)計(jì)。教師需要了解學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，并通過設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)手段，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、綜合評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)知識(shí)。在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師在應(yīng)用幾何畫板時(shí)，不僅要使幾何畫板成為完成教學(xué)任務(wù)的輔助工具，更要讓幾何畫板成為學(xué)生發(fā)展認(rèn)知水平的基礎(chǔ)工具。例如在學(xué)習(xí)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)幾何畫板課件，讓學(xué)生利用幾何畫板，對(duì)該三角函數(shù)進(jìn)行作圖，并以此為手段，探索A，ω，φ等系數(shù)對(duì)函數(shù)整體圖像的影響程度。通過觀察電腦圖形的變化過程，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，從而幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)原理，形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的有效提升[ 2 ]。

3.3? 發(fā)展教學(xué)創(chuàng)意，保障教學(xué)整合

為了更大程度發(fā)揮幾何畫板在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的積極作用，教師要針對(duì)個(gè)人的教學(xué)方法進(jìn)行不斷的開拓創(chuàng)新，以更加積極的教學(xué)創(chuàng)意，改變數(shù)學(xué)教學(xué)總體格局。例如，教師可以在教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段上進(jìn)行全面創(chuàng)新，以創(chuàng)造性的手段，不斷解決數(shù)學(xué)教學(xué)過程中出現(xiàn)的不同層次的問題。一方面，教師可以通過幾何畫板，對(duì)一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)定理進(jìn)行展示，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。另一方面，教師也要尊重?cái)?shù)學(xué)教材和高考評(píng)價(jià)體系，利用數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展與探究活動(dòng)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的積極性。教師要以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)，選取教材中相對(duì)典型的素材，利用幾何畫板體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的發(fā)展過程，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的自然性和邏輯性，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的力量，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。例如，在講解立體幾何的空間構(gòu)圖特點(diǎn)時(shí)，教師可以充分利用幾何畫板，對(duì)立體圖形的動(dòng)態(tài)演變過程進(jìn)行直觀展示。教師可以簡(jiǎn)單拖動(dòng)立體圖形中的某些點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)圖形的變化。例如：（2019全國高考試題19）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE;（2）求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

解析：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面。由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE。又因?yàn)锳B⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE。（2）作EH⊥BC，垂足為H。因?yàn)镋H?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC。由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=。以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，則A（-1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，-1，0）。平面ACGD的法向量為n=（3，6，-）。又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以cos=〈n，m〉=。因此二面角B-CG-A的大小為30°。在本題中，利用圖像，可以明確折疊前后邊與角的變與不變，基于各個(gè)角度的教學(xué)觀察，學(xué)生的空間想象力將得到充分發(fā)展，這對(duì)于實(shí)現(xiàn)幾何畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)整合具有重要作用，值得廣大數(shù)學(xué)教師熱點(diǎn)關(guān)注[ 3 ]。

結(jié)束語：在當(dāng)前教學(xué)環(huán)境下，基于對(duì)多媒體技術(shù)的充分應(yīng)用，教師要進(jìn)一步重視幾何畫板的重要意義，以現(xiàn)代化的教育思想和教育觀念為指引，不斷在教學(xué)過程中進(jìn)行開拓創(chuàng)新。通過靈活運(yùn)用幾何畫板，并借助其他的多媒體工具，教師可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育教學(xué)資源的有機(jī)整合，這對(duì)于學(xué)生的長(zhǎng)期發(fā)展同樣具有重要意義。

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