李衡

隨著教育的改革不斷深入，教師的教學(xué)理念日益更新，但是依然存在教師對學(xué)科知識的本質(zhì)理解不透，教學(xué)方式依舊是教師灌輸、學(xué)生接受的方式，出現(xiàn)很多“假思考”“假學(xué)習(xí)”的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生的思維在淺層徘徊。要想改變這種現(xiàn)狀，必須回歸到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)本質(zhì)從學(xué)科角度、學(xué)習(xí)角度、教育角度來看，是數(shù)學(xué)本身的學(xué)科知識，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中形成的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)培養(yǎng)創(chuàng)新精神和理性精神。所以，課堂教學(xué)需要關(guān)注數(shù)學(xué)知識背后的原理，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的方式、關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的回歸。

一、善用教材，增強數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

（一）創(chuàng)設(shè)情境，主動參與

情境教學(xué)打破了傳統(tǒng)灌輸式的教學(xué)方式，有利于營造愉快、輕松的教學(xué)氛圍，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生思維的發(fā)展。教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)方式多樣，教學(xué)中不同的情境帶給學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗式也是不一樣的。游戲情境可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;矛盾情境可以引發(fā)認(rèn)知沖突;直觀情境可以豐富學(xué)生的表象。

1.游戲情境

小學(xué)生喜歡游戲，采用游戲情境能有效調(diào)動學(xué)生多種感官的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。如在教學(xué)“小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小的變化”一課時，教師創(chuàng)設(shè)了孫悟空金箍棒變化的游戲：孫悟空從耳朵里掏出一根0.009米的金箍棒，隨著小數(shù)點不斷地向前向后跳躍，學(xué)生興奮地喊著金箍棒“變長”或者“變短”，枯燥乏味的小數(shù)點位置移動，引起小數(shù)大小變化，以金箍棒的形象留在了學(xué)生的腦海中，有效促進了接下來的規(guī)律探究學(xué)習(xí)。

2.矛盾情境

矛盾情境有利于學(xué)生打破平衡的狀態(tài)，產(chǎn)生認(rèn)識沖突，促使大腦興奮活動，自覺地進入解決問題的狀態(tài)中，實現(xiàn)良好的教學(xué)效果。如在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”一課時，學(xué)生通過擺小棒，發(fā)現(xiàn)“兩邊之和大于第三邊的三根小棒可以圍成三角形”。當(dāng)學(xué)生得出這個結(jié)論時，教師在黑板上貼出三根小棒，分別是“3厘米、9厘米、5厘米”。大部分學(xué)生認(rèn)為：“可以圍成三角形，因為3+9>5。”教師讓學(xué)生到黑板上擺一擺，可是無論怎么擺就是差那么一點圍不成三角形，剛剛還非常自信的學(xué)生表情開始凝重，覺得有點不可思議：“怎么會圍不成？”通過觀察，很快他們發(fā)現(xiàn)問題在3+5<9，從而進一步完善結(jié)論：需要“三組的兩邊之和大于第三邊才能圍成三角形”，也就是“任意兩邊之和大于第三邊”，這樣的矛盾沖突促進了學(xué)生解決問題的積極性。

3.直觀情境

直觀情境給予學(xué)生感性的、形象的、具體的知識，使知識從抽象變?yōu)樾蜗?，靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動態(tài)，有助于學(xué)生更好地理解和運用。如在教學(xué)“圓的認(rèn)識”一課時，學(xué)生眼里圓是一條曲線，如何讓學(xué)生感受到這條曲線是由無數(shù)個點組成的呢？教師引導(dǎo)學(xué)生連接四個點圍成正方形，接著是8個點、16個點、32個點，分別是八邊形、十六邊形、三十二邊形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)越來越像圓，繼續(xù)64個點、128個點，學(xué)生開始感知“越來越圓了，但還不是圓”，隨著點變小，學(xué)生發(fā)現(xiàn)點和點之間還有空隙，還可以增加很多點，點再變小，再增加點數(shù)，最后很自然地呼出“有無數(shù)個點”。通過這樣的層層深入的直觀展示，學(xué)生對于圓上有無數(shù)個點的極限認(rèn)識更加深刻。

（二）拓展內(nèi)容，深度學(xué)習(xí)

教材內(nèi)容的拓展和變化，有利于學(xué)生對知識本質(zhì)和規(guī)律的深入理解，實現(xiàn)從知識點到知識塊的延伸。教材內(nèi)容拓展的方式有教材內(nèi)容的改編以及教材內(nèi)容的延伸。

1.內(nèi)容改編

教材編寫的內(nèi)容有部分存在著遠(yuǎn)離學(xué)生的生活實際，或者呈現(xiàn)方式缺乏探究性等問題。教師可以依托學(xué)生熟悉的生活情境來教學(xué)，問題的呈現(xiàn)方式體現(xiàn)挑戰(zhàn)性和探究性，能拓展學(xué)生的思維空間，增強學(xué)習(xí)欲望。例如，在教學(xué)“數(shù)字編碼”一課時，教材出示了郵政編碼的數(shù)字信息，由于生活中人與人之間聯(lián)系方式發(fā)生了很大的改變，有的學(xué)生從來都沒寄過信件，對郵政編碼很陌生。為此，教師做了改動，以生活中使用頻率比較高的門牌號和身份證編碼來教學(xué)。課前布置學(xué)生進行預(yù)習(xí)，用學(xué)生熟悉的門牌號作為課的引入，身份證編碼的教學(xué)，以“猜一猜是誰的身份證”的活動進行，每次出現(xiàn)兩張身份證號和兩個學(xué)生的頭像，第一組根據(jù)性別碼來判斷是誰的身份證，第二組根據(jù)出生日期碼來判斷，第三組根據(jù)行政區(qū)代碼來判斷，第四組是兩個雙胞胎根據(jù)順序碼來判斷?；顒有问降母淖?，從學(xué)知識變成用知識解決問題，增強了思考性，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

2.內(nèi)容延伸

教材內(nèi)容體現(xiàn)的是知識的一個點，在此基礎(chǔ)上，教師可以適當(dāng)?shù)匕呀滩膬?nèi)容進行拓展，一種是拓展相關(guān)聯(lián)的知識，一種是拓展到生活中的運用。例如，在教學(xué)“四邊形的內(nèi)角和”一課時，學(xué)生理解四邊形可以分割成兩個三角形計算出內(nèi)角和是360°時，引導(dǎo)學(xué)生思考：“其他多邊形的內(nèi)角和是不是也可以分割成三角形來計算？”學(xué)生遷移四邊形內(nèi)角和的探究方法，進行自主畫圖分割計算，得出了五邊形、六邊形、七邊形、八邊形的內(nèi)角和。教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考：a.若是100邊形，它的內(nèi)角和怎么計算？b.多邊形內(nèi)角和的計算有沒有規(guī)律？通過不斷地拓展，一步步地引導(dǎo)學(xué)生深入探究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的無止境。又如，在教學(xué)“長方形和正方形的面積”一課時，在學(xué)生學(xué)習(xí)了長方形和正方形的面積計算公式之后，教師可以設(shè)計“鋪磚問題”的實踐活動。提供一個建材商場的瓷磚規(guī)格和價格表，讓學(xué)生以家里客廳為樣本進行鋪磚活動的設(shè)計，要求在規(guī)定的總價范圍內(nèi)選擇合適的瓷磚進行鋪設(shè)，并算出價格。此時，學(xué)生不單需要計算長方形和正方形瓷磚的面積，還要考慮耗材、價格優(yōu)惠、美觀度等各種課本中無法遇到的問題，需要進行綜合的考慮，因此能促進學(xué)生思辨能力的綜合提升。

（三）創(chuàng)新應(yīng)用，完善建模

將數(shù)學(xué)建模滲透到教學(xué)中，可以更好地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗。在小數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以把建模的思想融入教材內(nèi)容中，還可以聯(lián)系課內(nèi)外的知識，把建模思想與綜合實踐活動結(jié)合起來。

1.建模思想融入教學(xué)中

小學(xué)階段的模型與數(shù)學(xué)活動緊密地聯(lián)系在一起，教師可以根據(jù)教材內(nèi)容，設(shè)計有助于學(xué)生建模的數(shù)學(xué)活動，把問題數(shù)學(xué)化，幫助學(xué)生完成建模。例如，在教學(xué)“有余數(shù)的除法”一課時，首先教師引導(dǎo)學(xué)生用小棒擺三角形、正方形、五邊形，從正好平均分中生長出了“有余數(shù)”的新知，并且用¨ 發(fā)現(xiàn)余數(shù)要比除數(shù)小，完整建構(gòu)有余數(shù)除法的數(shù)學(xué)模型。

2.聯(lián)系生活內(nèi)容的建模

通過構(gòu)建或者引導(dǎo)學(xué)生到符合數(shù)學(xué)模型的生活情境中解決問題，一方面能深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，另一方面也強化了數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。例如，在教學(xué)“多邊形的面積”之后，教師引導(dǎo)學(xué)生計算校園整體綠化的面積：綠植面積是多少？花壇面積是多少？通過多邊形面積計算模型來完成這個實踐活動，增強了學(xué)生運用模型解決問題的能力，豐富了多邊形面積的模型體驗。

二、巧設(shè)活動，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考

（一）操作活動，建立概念表象

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，留存在學(xué)生腦海里的，不是概念的文字意義，而是非文字的表象，是視覺表象、直觀圖形、經(jīng)驗方法等。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵是通過操作活動，動員學(xué)生多種感官參與，建立概念的表象。例如，在教學(xué)“長方體的認(rèn)識”一課時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過“摸、數(shù)、比、搭、拆”層層遞進的操作活動，建立長方體的直觀圖形的表象。第一層次“摸”，每個學(xué)生摸一摸手中的長方體，分別找到長方體的頂點、棱長、面，初步感知長方體。第二層次“數(shù)”，有序地數(shù)出長方體頂點、棱長和面的數(shù)量，關(guān)鍵在于有序，經(jīng)歷了數(shù)的過程，長方體的直觀圖形表象初步在學(xué)生腦海中形成。第三層次“比”，分別比較12條棱長短和6個面大小，發(fā)現(xiàn)相對棱長度相等，相對面完全一樣。在對比的過程中學(xué)生對棱長和面有了深入的認(rèn)識。第四層次“搭”，學(xué)生在15根小棒當(dāng)中選擇合適的12根小棒搭成一個長方體，這個過程是對長方體棱長特征的運用，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)化過程的建立。第五層次“拆”，長方體12條棱最少剩下幾條棱能還原出原來的長方體，深刻認(rèn)知長寬高決定了長方體的大小。通過這五個層次的操作活動，學(xué)生學(xué)會了動手、動腦、動眼、動口，多種感官不斷地刺激大腦建立長方體的表象。

（二）觀察活動，升華空間觀念

空間觀念是幾何課程的一個核心概念，是對物體的方向、距離、大小和形狀的知覺，是客觀世界空間形式在人腦中的表象，空間觀念的培養(yǎng)有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和空間想象力的發(fā)展。觀察活動通過調(diào)動學(xué)生多種感官，幫助學(xué)生感知事物的特征，觀和察要有機結(jié)合，不能只觀不察，或者觀非所察，要從行動上的“觀”升華到思維上的“察”。例如，在教學(xué)二年級“觀察物體”一課時，例題1是觀察生活中的實物，例題2開始觀察立體圖形。對于生活中的實物觀察，學(xué)生還可以借助顏色、花紋等觀察對象的標(biāo)志的幫助，立體圖形的觀察就相對比較抽象。例題2教學(xué)通過“看一看、摸一摸、找一找、照一照、猜一猜”等觀察活動，提升學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗。“看一看”，教師啟發(fā)學(xué)生把自己的眼睛當(dāng)作照相機，把桌面上的長方體從上面、前面、左面看到的形狀“拍”下來，然后閉上眼睛，想象“拍”到的形狀，促進表象形成?！懊幻?，用手摸一摸從三個方向看到的形狀邊線，加深對看到圖形直觀形象的認(rèn)知?！罢乙徽摇保瑥慕o出的圖形中找到從三個方向看到的圖形，學(xué)生還原出腦海中的圖形，不僅要考慮形狀，還要考慮位置?！罢找徽铡?，針對圓柱和球體是曲面圖形，如何感知到看到的平面呢？運用紙盒暗箱讓學(xué)生觀察，當(dāng)光照到背景板上，圓柱體側(cè)面成了長方形，球體成了圓形，對于低年級學(xué)生，這種直觀的感知是非常強烈的?！安乱徊隆?，這個環(huán)節(jié)需要發(fā)揮學(xué)生的空間想象力，根據(jù)看到的平面圖形，想象它可能是什么樣的立體圖形，教師相應(yīng)地用課件呈現(xiàn)出立體圖形，這樣的發(fā)散性觀察，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有著積極的作用。通過五個層面的觀察活動，學(xué)生的空間觀念得到了鍛煉，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。

（三）交流活動，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

課堂教學(xué)通過師生和生生之間的互動對話，相互討論和學(xué)習(xí)，促進了學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。有效的對話交流以學(xué)生的獨立思考為基礎(chǔ)，形成獨立觀點為條件，讓學(xué)生展開小組學(xué)習(xí)、大組交流等活動，生生之間不同觀點的分享碰撞，不斷促進學(xué)生進行觀點的重構(gòu)，推動著思維逐步深入。例如，在教學(xué)“萬以內(nèi)數(shù)的讀寫法”一課時，學(xué)生提出質(zhì)疑“為什么數(shù)中間連續(xù)的兩個零只讀一個零呢？”他的意見得到好多同學(xué)的贊同：“只讀一個零，在寫數(shù)的時候就會錯寫成一個零，如果讀出兩個零就不會寫錯了?！卑嗌弦幌伦影察o了下來，學(xué)生開始思考課本為什么這樣規(guī)定。突然有個學(xué)生說：“我舉一個例子，如果中間有三個零，如30004，我們是不是讀成‘三萬零零零四呢？”此時班上的氣氛頓時活躍了起來：“如果中間有7個零、8個零，把這些零都讀出來，那可怎么讀呀？”“我知道了，原來數(shù)中間連續(xù)的兩個零只讀一個零是為了讀得方便?！?通過師生和生生之間有效的對話，學(xué)生從疑惑到不惑，知其然并能知其所以然，有效地促進了思維的發(fā)展。

三、溝通關(guān)聯(lián)，深化數(shù)學(xué)本質(zhì)的建構(gòu)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維是一種高級的思維方式，是指學(xué)生在解決問題的過程中能夠多角度地深入分析問題，根據(jù)已有相關(guān)聯(lián)的經(jīng)驗，尋找問題解決的辦法和路徑，從而正確高效地解決問題。因此，教師要深入解讀教材，將相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容進行有機整合，引導(dǎo)學(xué)生對知識的結(jié)構(gòu)進行梳理，建立結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)絡(luò);精心設(shè)計教學(xué)活動，使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，把知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。

（一）思維導(dǎo)圖—形成知識結(jié)構(gòu)

思維導(dǎo)圖是運用圖文并重的方式，把相關(guān)聯(lián)的知識用相互隸屬和相關(guān)層級圖表現(xiàn)出來，建立知識的記憶鏈接。它既簡單，同時又能有效地表達知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，是培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的有效手段。教學(xué)中，教師要善于運用思維導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)聯(lián)的知識和方法進行梳理，小到單元知識的整理，大到一個板塊知識的梳理，建構(gòu)完整的知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)性思維。如在教學(xué)“認(rèn)識四邊形”一課時，學(xué)生對四邊形進行分類整理并梳理出一份思維導(dǎo)圖，學(xué)生根據(jù)思維導(dǎo)圖分析它們之間的特征與關(guān)系（見圖1）。四邊形根據(jù)邊的關(guān)系分成三大類，平行四邊形、梯形和一般四邊形。沒有一組對邊平行的是一般的四邊形;只有一組對邊平行的四邊形是梯形，梯形又分為兩腰相等的等腰梯形、直角的直角梯形和一般梯形;平行四邊形包含長方形和正方形，長方形有直角是特殊的平行四邊形，正方形四條邊相等又是特殊的長方形。用思維導(dǎo)圖對四邊形進行整理，幫助學(xué)生溝通了新舊知識之間的聯(lián)系，加深了對概念的理解，形成了比較完整的知識結(jié)構(gòu)。今后學(xué)習(xí)類似知識，學(xué)生就可以遷移這種運用思維導(dǎo)圖分類整理的方法，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化的思維。

（二）類比遷移—完善方法結(jié)構(gòu)

類比遷移是數(shù)學(xué)常用的思想方法，它是通過對兩個研究對象的比較，根據(jù)它們某些方面（屬性、特征、關(guān)系、形式等）相同或者相類似之處，推理出它們在其他方面也可能有相同或相類似的一種推理方法。類比遷移是用已知的經(jīng)驗去解決新問題的一種策略，運用類比遷移探索計算的算理和算法，是培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的有效舉措。教學(xué)中，教師在教學(xué)新知時引導(dǎo)學(xué)生觀察比較新舊知識之間的聯(lián)系，使學(xué)生順利實現(xiàn)方法的遷移，解決新知。在此基礎(chǔ)上，還要引導(dǎo)學(xué)生對方法進行拓展，與后續(xù)的知識進行關(guān)聯(lián)，形成較為完善的知識體系與方法結(jié)構(gòu)。如在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”一課時，本節(jié)課是在兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，所以課的開始讓學(xué)生嘗試運用舊知來解決問題，學(xué)生把14×12分解成14×10+14×2;14×6×2;14×4×3;12×10+12×4。這么多方法中與本節(jié)課豎式計算能實現(xiàn)方法遷移的是14×10+14×2，教師重點引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算式說清楚算理。接著引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣把這個過程用豎式表示出來，結(jié)合豎式再一次說明算理，與14×10+14×2進行比較，實現(xiàn)方法的遷移?？偨Y(jié)的時候，教師提出問題：“運用兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，你還會計算什么樣的乘法算式？”學(xué)生運用遷移推理出三位數(shù)乘兩位數(shù)、四位數(shù)乘兩位數(shù)、五位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘三位數(shù)等計算方法（見圖2），對筆算乘法進行了鞏固，讓學(xué)生理解筆算乘法知識和方法的內(nèi)在聯(lián)系，完善知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維。

……

（三）數(shù)形結(jié)合—深化思維結(jié)構(gòu)

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，它是將抽象的數(shù)學(xué)語言通過幾何圖形、函數(shù)圖像，更直觀地展示位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”，為問題解決提供簡單明了的途徑。數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)量關(guān)系隱蔽問題的有效工具，是培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的有效途徑。教師要引導(dǎo)學(xué)生把問題中隱藏著的比較復(fù)雜的信息直觀地呈現(xiàn)出來，通過觀察、分析和比較，找到數(shù)量之間關(guān)系的本質(zhì)解決問題，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維。如在教學(xué)“植樹問題”一課時，借助直觀圖形進行分析，并從圖形中歸納總結(jié)出一般的解題方法。即讓學(xué)生在紙張上模擬植樹，驗證在這段20米路一邊植樹，每隔5米栽一棵，兩端要栽，可種幾棵？學(xué)生先動手畫一畫，然后在小組內(nèi)交流。學(xué)生畫圖的方法不盡相同，但是表示的意思卻是一樣的。

有的學(xué)生用“___”代表間隔，用“＼”代表一棵樹，畫一條“＼”就表示種了一棵樹。

1. ＼___＼___＼___＼ ___＼

有的學(xué)生用“___”代表間隔，用“.”代表一棵樹，畫一個“.”就表示種了一棵樹。

2.___.___.___. ___.

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)棵數(shù)比間隔數(shù)多1，借助圖形直觀，學(xué)生直觀地感受到了在兩端都種時，棵數(shù)和間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系為：棵數(shù)=間隔數(shù)+1，感悟數(shù)形結(jié)合思想的作用，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維。

綜上所述，數(shù)學(xué)的教學(xué)要實現(xiàn)本質(zhì)的回歸，必須立足于兒童的視角，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求，深入理解教材，變教材為學(xué)生思維發(fā)展的“學(xué)材”，創(chuàng)設(shè)豐富的活動，在活動中融入數(shù)學(xué)的思辨，關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維，這樣才能促進學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入理解。

（吳淑媛）