李昭平

一、題目【2022年高考全國乙卷理科第21題】

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）+axe-x，a∈R.

（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程;

（2）若f（x）在區(qū)間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

二、分析

本題第一問求當(dāng)a=1時，具體曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程，屬于基本問題，利用y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）即可. 第二問則是含有參數(shù)a的對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和正比例函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)問題. 顯然，若直接對f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖像與x軸在區(qū)間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個交點(diǎn)，將會涉及到求f′（x）=0的實(shí)根和對參數(shù)a的討論，比較復(fù)雜.

這讓我們聯(lián)想到：能否直接將方程ln（1+x）+axe-x=0“一分為二”成兩個函數(shù)，即exln（1+x）=-ax，利用函數(shù)y=exln（1+x）（定曲線）和y=-ax（動直線）的圖像的交點(diǎn)個數(shù)來處理呢？基于這種想法，得到下述解答.

三、解答

（1）函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞）. 當(dāng)a=1時，f（x）=ln（1+x）+xe-x，所以切點(diǎn)為（0，0）.

因?yàn)閒′（x）=+（1-x）e-x，所以f′（0）=2.

故曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2x.

（2）函數(shù)f（x）=ln（1+x）+axe-x的定義域是（-1，+∞）. 由ln（1+x）+axe-x=0得到exln（1+x）=-ax.

令g（x）=exln（1+x），h（x）=-ax.

函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個零點(diǎn)，即函數(shù)g（x）和函數(shù)h（x）的圖像在區(qū)間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個交點(diǎn).

g′（x）=ex[ln（1+x）+]，再令？漬（x）=ln（1+x）+，x>-1.

則由？漬′（x）=-=0解得x=0. 在（-1，0）內(nèi)？漬′（x）<0，？漬（x）單減;

在（0，+∞）內(nèi)？漬′（x）>0，？漬（x）單增.

因此？漬（x）≥？漬（0）=1，g′（x）>0，g（x）單增，

且g（0）=0，g（x）的圖像如圖1所示.

g′（0）=1，g（x）的圖像在（0，0）處的切線是y=x.

要保證曲線y=g（x）與直線y=h（x）在區(qū)間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個交點(diǎn)，只要滿足-a>1，a<-1. 故a的取值范圍是（-∞，1）.

注意：將方程ln（1+x）+axe-x=0“一分為二”成exln（1+x）=-ax處理，比“一分為二”成=-或a=-處理簡單得多.

四、結(jié)論

由上述解答，得到以下結(jié)論：設(shè)f（x）=g（x）-h（x），則f（x）的零點(diǎn)？圳f（x）=0的實(shí)數(shù)根？圳g（x）與h（x）圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 其中y=g（x）和y=h（x）是定曲線（含直線）或動曲線（含直線）.

對于關(guān)于含有參數(shù)的函數(shù)f（x），要研究其單調(diào)性、極值、最值、圖像、零點(diǎn)等等，往往涉及f（x），其導(dǎo)函數(shù)f ′（x），或f ′（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′′（x）的零點(diǎn)問題，或不等式問題，利用“一分為二，圖像交點(diǎn)”的思想方法將復(fù)合型函數(shù)方程f（x）=0、f ′（x）=0、f ′′（x）=0或不等式f（x）>0、f（x）<0，分成兩條曲線y=g（x）和y=h（x），運(yùn)用函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、導(dǎo)數(shù)思想、動靜變化思想和極限思想來直覺和邏輯處理交點(diǎn)個數(shù)問題，常常能化繁為簡、化難為易. 下面結(jié)合典例介紹應(yīng)用.

五、應(yīng)用

1. 處理函數(shù)的零點(diǎn)問題

例1.（2022年福建漳州模考）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+1有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是???????????? .

解析：函數(shù)f（x）=lnx+ax+1的定義域是（0，+∞）.

令g（x）=lnx. h（x）=-ax-1. 函數(shù)f（x）=lnx+ax+1有兩個零點(diǎn)，即函數(shù)g（x）和函數(shù)h（x）的圖像在右半平面必須有且僅有兩個交點(diǎn).

當(dāng)a≥0時，兩函數(shù)的圖像只有一個交點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)a<0時，由于直線h（x）=-ax-1經(jīng)過定點(diǎn)（0，-1），而曲線g（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程是y=x-1，也經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）. 因此，直線y=x-1是直線h（x）=-ax-1的極限位置.

于是當(dāng)-a<1，即-1

點(diǎn)評：本題直接將方程lnx+ax+1=0“一分為二”成lnx=-ax-1，利用函數(shù)g（x）=lnx和h（x）=-ax-1的圖像的交點(diǎn)個數(shù)來處理.

例2.（2021年高考全國甲卷）已知a>0且a≠0，函數(shù)f（x）=（x>0）.

（1）當(dāng)a=2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點(diǎn)，求a取值范圍.

解析：（1）易得，函數(shù)f（x）在（0，]上單調(diào)遞增，在[，+∞）上單調(diào)遞減. 過程略去.

（2）f（x）==1？圳ax=xa？圳xlna=alnx？圳=，兩邊是同構(gòu)式.

令函數(shù)g（x）=，h（x）=. 則g（x）max=g（e）=. 又g（1）=0，當(dāng)x趨近于+∞時，g（x）趨近于0，所以曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點(diǎn)，即曲線y=g（x）與直線h（x）=有兩個交點(diǎn)的充分必要條件是0<<，即0

故a的取值范圍是（1，e）∪（e，+∞）.

點(diǎn)評：本題曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是函數(shù)ax-xa恰有兩個零點(diǎn)的問題，進(jìn)一步“一分為二”轉(zhuǎn)化成我們熟悉的=形式，利用函數(shù)g（x）=的圖像和直線h（x）=的交點(diǎn)個數(shù)來處理.

2. 處理函數(shù)f′（x）的零點(diǎn)問題

例3. （2021年山東濟(jì)南模考）設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ex+aln（x-1），其中e為自然對數(shù)的底數(shù). 試判斷f（x）極值點(diǎn)的個數(shù).

解析：函數(shù)f（x）的定義域是（1，+∞）. 由f′（x）=ex+=0得，ex=.

令g（x）=ex，h（x）=.

當(dāng)a>0時，兩函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)，即函數(shù)f′（x）沒有零點(diǎn)，此時f（x）沒有極值點(diǎn).

當(dāng)a=0時，f（x）=ex，顯然沒有極值點(diǎn).

當(dāng)a<0時，如圖2，兩函數(shù)的圖像只有一個交點(diǎn)，

設(shè)其橫坐標(biāo)是x0. 顯然，在x

在x>x0附近，g（x）>h（x），f′（x）>0.

此時f（x）只有唯一極小值點(diǎn)x0.

點(diǎn)評：本題表面上是判斷f（x）極值點(diǎn)的個數(shù)，其實(shí)質(zhì)是考查其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點(diǎn). 將f′（x）=0“一分為二”成ex=，則問題立即轉(zhuǎn)化為定曲線g（x）=ex與動曲線h（x）=的交點(diǎn)個數(shù)問題. 結(jié)合極值點(diǎn)的含義，觀察圖形，確定在極值點(diǎn)兩旁附近f′（x）的符號，從而確定極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn).

例4. （2022年安徽安慶高二段考）已知函數(shù)f（x）=ex+acosx，其中x>0，a∈R.

（1）當(dāng)a=-1時，討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（0，？仔）內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，求a的值.

解析：（1）易得函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，過程略去.

（2）由f′（x）=ex-asinx=0得，asinx=ex. 因?yàn)閤∈（0，？仔），所以sinx>0.

因此，=a. 令g（x）=，0

由g′（x）=0得x=. 當(dāng)00，所以g（x）min=g（）=e.

f′（x）在（0，？仔）內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，即曲線y=g（x）與直線y=h（x）在（0，？仔）內(nèi)有唯一交點(diǎn)，故a=e.

點(diǎn)評：本題將 f′（x）=0“一分為二”成=a，利用定曲線g（x）=和動直線h（x）=a的交點(diǎn)個數(shù)來處理.

3. 處理函數(shù)f′′（x）的零點(diǎn)問題

例5.（2019年高考全國Ⅰ卷理科第20題改編）設(shè)函數(shù)a>0，函數(shù)f（x）=sinx-aln（1+x）， f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù). 若 f′（x）在區(qū)間（-1，）內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析：因?yàn)?f′（x）=cosx-，x∈（-1，），所以f′′（x）=-sinx+.

由f′′（x）=0得，sinx=. 畫出函數(shù)g（x）=和h（x）=sinx的圖像，如圖3.

要使f′（x）在區(qū)間（-1，）內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn)，

必須兩函數(shù)的圖像在（-1，）內(nèi)有唯一交點(diǎn)， 設(shè)其橫坐標(biāo)是x0.

當(dāng)曲線g（x）=經(jīng)過點(diǎn)（，1）時是極限位置，此時曲線g（x）=在y軸上的截距是（1+）2，因此0

顯然，在x0.

在x>x0附近，sinx>，f′′（x）<0. 因此x0是函數(shù)f′（x）=cosx-在區(qū)間（-1，）內(nèi)的唯一極大值點(diǎn). 故a的取值范圍是（0，（-1，）2）.

點(diǎn)評：本題是在原高考題的基礎(chǔ)上，添加待定參數(shù)a，將要證明的結(jié)論變成條件，反過來確定a的取值范圍. 這樣逆向設(shè)置具有較高的思維層次， 給人以耳目一新之感. 由于三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是三角函數(shù)，因此利用導(dǎo)數(shù)研究其極值點(diǎn)有一定的難度. 要考察f′（x）的極大值點(diǎn)，必須研究f′（x）的導(dǎo)函數(shù)f′′（x）的零點(diǎn)，即f′′（x）=-sinx+的零點(diǎn).“一分為二”成兩個函數(shù)g（x）=和h（x）=sinx，根據(jù)它們圖像的交點(diǎn)個數(shù)來處理， 解題過程果然簡單快捷.

4. 處理不等式的整數(shù)解問題

例6.（2015年高考全國Ⅰ卷理科第12題改編）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1. 若恰有兩個整數(shù)x1，x2，使得f（x1）<0，f（x2）<0，則a的取值范圍是???????? .

解析：f（x）<0就是ex（2x-1）

恰有兩個整數(shù)x1，x2，使得f（x1）<0，f（x2）<0，就是不等式g（x）

利用導(dǎo)數(shù)知識確定g（x）=ex（2x-1）的圖像：g′（x）=ex（2x+1）=0，x=-.

在（-∞，-）內(nèi)g（x）單減，在（-，+∞）內(nèi)g（x）單增，x=-是極小值點(diǎn)，且g（-）=-2e，g（）=0，g（x）<0（x<）如圖4所示.

注意到直線h（x）=a（x-1）經(jīng)過定點(diǎn)（1，0），顯然a≤0不合題意.

當(dāng)0

所以a<1，a<，a≥，解得≤a<. 故a的取值范圍是[，）.

點(diǎn)評： 本題將不等式f（x）<0，“一分為二”成ex（2x-1）

5. 處理不等式恒成立問題

例7.（2021年湖北武漢聯(lián)考）若不等式lnx+-k≥0（k∈Z）對任意x>2恒成立，則整數(shù)k的最大值是???????????? .

解析：lnx+-k≥0就是xlnx≥kx-2（k+1），x>2.

令g（x）=xlnx，h（x）=kx-2（k+1），顯然直線h（x）過定點(diǎn)（2，-2）.

利用導(dǎo)數(shù)知識可以畫出曲線y=g（x）的草圖（如圖5）. 由圖像可知，直線h（x）=kx-2（k+1）的極限位置是與曲線y=g（x）相切，設(shè)切點(diǎn)是M（x0，y0），

則切線方程是y-x0lnx0=（1+lnx0）（x-x0）.

將點(diǎn)（2，-2）代入，得-2-x0lnx0=（1+lnx0）（2-x0），

即x0-2lnx0-4=0. 則k≤1+lnx0=.

令？漬（x）=x-2lnx-4，x>2. 則？漬′（x）=1->0，

？漬（x）在（2，+∞）內(nèi)單增.

又因?yàn)?？漬（8）=4-2ln8=2（lne2-ln8）<0，？漬（9）=5-4ln3>0，在x0-2lnx0-4=0中x。∈（8，9）. 于是k≤∈（3，）. 故整數(shù)k的最大值是3.

點(diǎn)評： 本題考查恒成立不等式中整數(shù)參數(shù)的最值，是近期出現(xiàn)的一種新題型，在繼承傳統(tǒng)的前提下，增加了思維深度和運(yùn)算難度. 利用“一分為二” 思想，將原不等式化成xlnx≥kx-2（k+1），則立即轉(zhuǎn)化為定曲線g（x）=xlnx與動直線h（x）=kx-2（k+1）的交點(diǎn)個數(shù)與位置關(guān)系問題. 整個過程體現(xiàn)了“數(shù)→形→數(shù)”之間的對應(yīng)，直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算三種核心素養(yǎng)貫穿其中.

例8.（2022年全國新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f（x）=xeax-ex，a∈R.

（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）在的單調(diào)性;

（2）當(dāng)x>0，f（x）<-1，求a的取值范圍;

（3）設(shè)n∈N？鄢，證明：++…+>ln（n+1）.

解析：（1）f（x）的單增區(qū)間是（0，+∞）單減區(qū)間是（-∞，0）. 過程略去.

（2）f（x）<-1就是>eax（x>0）. 令g（x）=，h（x）=eax，x>0.

則g′（x）=，再令？漬（x）=（x-1）ex+1，？漬′（x）=xex>0，？漬（x）單增，

因此？漬（x）>？漬（0）=0. 于是g（x）>0，g（x）在（0，+∞）內(nèi)單增，且g（0）=ex=1. 曲線y=g（x）和曲線y=h（x）的起點(diǎn)都是（0，1），但不包括（0，1）.

顯然，當(dāng)a≤0時，不等式>eax（x>0）恒成立. 當(dāng)a>0時，曲線y=g（x）在（0，1）處的切線斜率g′（x）===.

因?yàn)閔′（x）=aeax，所以曲線y=h（x）在（0，1）處的切線斜率為h′（0）=a.

由圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)0eax（x>0）恒成立

綜上，a的取值范圍是（-∞，].

（3）取a=，則xe-ex+1<0（x>0）. 令e=t，t>1. 則xe-ex+1<0（x>0）變?yōu)?lnt1）. 于是對任意的n∈N？鄢，有2ln<-，即ln（n+1）-lnn<.

故++…+>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1）成立.

以上我們從一道最新高考題出發(fā)，通過分析、解答，歸納出“一分為二 圖像交點(diǎn)”的解題思想方法. 再通過在不同方面的五種應(yīng)用，強(qiáng)化對這種思想方法的認(rèn)識與理解. 在整個過程中，融觀察分析、直覺邏輯、提煉概括于一體，錘煉了數(shù)學(xué)思維，拓寬了解題空間. 其難點(diǎn)是“一分為二”成什么形式比較恰當(dāng)比較簡捷. 上述解題過程給我們的啟示是： 一般“一分為二”成定曲線與動曲線（含直線）比較好，這需要我們?nèi)フJ(rèn)真訓(xùn)練、認(rèn)真研究和認(rèn)真感悟.

責(zé)任編輯 徐國堅