李佳

數(shù)學(xué)是一門研究客觀現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，激發(fā)并調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣及學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望.然而很多學(xué)生認(rèn)為高中數(shù)學(xué)是枯燥的.在高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生大量刷題，復(fù)習(xí)課堂也淪為做題、講題的固有模式，正在漸漸磨滅學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，適時(shí)地分享數(shù)學(xué)故事，不但不會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，還能改變傳統(tǒng)課堂單一死板、枯燥無(wú)味的教學(xué)模式，增加課堂的趣味性，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，活躍課堂氣氛.用故事情境來(lái)導(dǎo)入數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，可以施教無(wú)痕，潤(rùn)物無(wú)聲，同時(shí)也在一定程度上促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知、理解和掌握，在追求教學(xué)效率的同時(shí)，最大限度上獲得了學(xué)習(xí)的效能.在此，筆者以“高斯與倒序相加法”專題復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾蝿?chuàng)設(shè)故事情境來(lái)提升復(fù)習(xí)效率.

一、導(dǎo)入故事，創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)王子——高斯

約翰·卡爾·費(fèi)里德里?！じ咚梗?977年4月-1855年2月），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一.高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.

高斯和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.高斯在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論及橢圓函數(shù)論等方面均有開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn).此外，他還致力于將數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)和大地測(cè)得學(xué)等領(lǐng)域的研究，同樣著述豐富，成就甚多.

高斯很小的時(shí)候就非常善于觀察，勤于思考.他總是能在日常生活和學(xué)習(xí)中，從一些別人覺(jué)得復(fù)雜的事物中找到規(guī)律，化難為簡(jiǎn).最出名的故事就是高斯10歲那年，教師在黑板上寫了一道題想要為難一下同學(xué)們.

1+2+3+…+99+100=？

教師認(rèn)為學(xué)生至少要20分鐘才能算出答案，于是就趁機(jī)休息一下.當(dāng)學(xué)生不亦樂(lè)乎地計(jì)算著1+2=3，3+3=6，4+6=10……時(shí)，高斯很快就算出了結(jié)果.教師非常驚訝，所有的同學(xué)都向他投來(lái)羨慕的目光，都很想知道他是怎么在這么短的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出來(lái)的.

原來(lái)高斯通過(guò)細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：

1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51.

1～100正好可以分為這樣的50對(duì)數(shù)，每一對(duì)數(shù)的和都相等，高斯把這道題巧算為=5050.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)分享數(shù)學(xué)家高斯及其小時(shí)候的故事，教師在潛移默化中滲透了數(shù)學(xué)文化，傳遞了數(shù)學(xué)思想，彰顯了數(shù)學(xué)精神.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若只將繁雜難懂的數(shù)學(xué)定理、公式、方法灌輸給學(xué)生，那么教師會(huì)講得口干舌燥，學(xué)生會(huì)覺(jué)得平淡無(wú)味，聽(tīng)得一頭霧水，最后收效甚微.導(dǎo)入故事的設(shè)計(jì)可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，堅(jiān)定他們與數(shù)學(xué)家共同探索的信心，為后續(xù)具體深入學(xué)習(xí)鋪路.

二、遷移問(wèn)題，總結(jié)規(guī)律

教師將故事情境中的問(wèn)題遷移至專題復(fù)習(xí)課教學(xué)中，提出問(wèn)題：“高斯使用的這種求和方法，簡(jiǎn)便快捷，并且廣泛應(yīng)用于等差數(shù)列的求和問(wèn)題中.那么，我們能不能利用他的方法總結(jié)形成規(guī)律，解決相似問(wèn)題呢？”

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，求證：Sn=.

證明：∵Sn=a1+a2+…+an-1+an①

倒序得Sn=an+an-1+…+a2+a1②

①+②有2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an+a1）

又根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n（a1+an）

∴Sn=

教師總結(jié)：以上等差數(shù)列求和的方法稱之為倒序相加法.顧名思義，“倒”即顛倒，“序”即順序.如果一個(gè)數(shù)列{an}中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，那么把正著寫與倒著寫的兩式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這樣的求和方法稱為倒序相加法.

【設(shè)計(jì)意圖】將故事情境遷移到數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究中：梳理高中數(shù)學(xué)如何推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S=和故事中高斯發(fā)現(xiàn)的規(guī)律與等差數(shù)列的性質(zhì)a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1的共同點(diǎn).用類比的方法推導(dǎo)，同時(shí)為計(jì)算方便及減少失誤，教師將原式倒序?qū)懗?，兩式相加最終得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而歸納總結(jié)出倒序相加法的定義.

三、例題探討，習(xí)題鞏固

在總結(jié)出倒序數(shù)相加法的定義后，就到了應(yīng)用環(huán)節(jié)，此時(shí)教師給出例題進(jìn)行講解，應(yīng)用概念，接著又給出習(xí)題讓學(xué)生完成，以鞏固知識(shí).

例題：已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x）+f（1-x）=1，若數(shù)列{an}滿足an=f（0）+f

+f

+…+f

+f（1），則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為（? ）.

A.115? ?B.110? ?C.105? ?D.100

習(xí)題1：已知函數(shù)f（x）=x+sinπx-3，則f

+f

+f

+…+f

的值為? ? .

習(xí)題2：設(shè)n為滿足不等式[C0+C1+2C2+…+nCn][n][n][n][n]<2008的最大正整數(shù)，則n的值為（? ）

A.8? ?B.9? ?C.10? ?D.11

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合教材和高考試題，利用例題及跟蹤練習(xí)來(lái)強(qiáng)化倒序相加法的應(yīng)用，提升素養(yǎng)、突破高考.例題解析時(shí)，教師通過(guò)試題情境、必備知識(shí)、能力素養(yǎng)、答案解析等多維度展開(kāi)全面、系統(tǒng)的分析，使學(xué)生能夠清晰地認(rèn)識(shí)和把握試題的特點(diǎn)、趨勢(shì)和立意，具有實(shí)用性和針對(duì)性.解題過(guò)程中涉及大量的推導(dǎo)及計(jì)算，大大提升了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).同時(shí)，倒序相加法專題復(fù)習(xí)重視對(duì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思想方法和能力的考查，關(guān)注學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，突出對(duì)理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用.

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上講故事，在具體的故事情境中挖掘數(shù)學(xué)條件，從數(shù)學(xué)的角度去提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，直到解決問(wèn)題.這樣的復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)有效提升了復(fù)習(xí)效率，也讓學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中提升了素養(yǎng)、感受到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)的育人功能，彰顯了教育的本質(zhì).

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇