文斌

數(shù)學(xué)素養(yǎng)屬于認(rèn)識(shí)論和方法論的綜合性思維形式，它具有概念化、抽象化、模式化的認(rèn)識(shí)特征。近年來(lái)，山西省中考數(shù)學(xué)的命制重視考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，目的是引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生終身受用的核心能力與品質(zhì)。

學(xué)生接受知識(shí)的主陣地在課堂。教師應(yīng)利用數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促使學(xué)生積極主動(dòng)地參與社會(huì)活動(dòng)，從而學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)。2019年山西省中考數(shù)學(xué)的第20題就是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)題，試題的獨(dú)特“考法”是撬動(dòng)教師有效“教法”的一次積極探索，是讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的有力推手，更是推動(dòng)人們用數(shù)學(xué)思維和方法不斷去解決實(shí)際問(wèn)題的成功典范。

一、試題特點(diǎn)：既體現(xiàn)課程的基礎(chǔ)性，又反映課程的發(fā)展功能

2019年山西省中考數(shù)學(xué)20題：（本題9分）

某“綜合與實(shí)踐”小組開(kāi)展了測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)。他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量。他們?cè)谠撈鞐U底部所在的平地上，選取了兩個(gè)不同的測(cè)量點(diǎn)，分別測(cè)量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的距離。為了減小測(cè)量誤差，小組在測(cè)量仰角的度數(shù)以及兩個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的距離時(shí)，都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果，測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

任務(wù)一：兩次測(cè)量點(diǎn)A、點(diǎn)B之間的距離的平均值是________m。

任務(wù)二：根據(jù)以上測(cè)量與計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出旗桿GH的高度。

任務(wù)三：該“綜合與實(shí)踐”小組成員在制定方案時(shí)，討論過(guò)“利用物體在陽(yáng)光下的影子測(cè)量旗桿的高度”的不同方案，但一直未被采納。你認(rèn)為其不可行的因素可能是什么？（寫(xiě)出一條即可）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）是山西省中考數(shù)學(xué)試題命制的唯一依據(jù)，命題著力評(píng)價(jià)學(xué)生“知識(shí)技能”的發(fā)展水平，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)。

《課標(biāo)》指出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，應(yīng)具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，這是數(shù)學(xué)的課程性質(zhì)。數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生在情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面的發(fā)展，為學(xué)生未來(lái)生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)。

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)是一類主要以實(shí)際問(wèn)題為載體、以激發(fā)學(xué)生自主參與解決問(wèn)題為主要目標(biāo)的綜合學(xué)習(xí)體驗(yàn)活動(dòng)，重在實(shí)踐、探究、綜合。此類問(wèn)題要綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等各種知識(shí)工具和技術(shù)方法來(lái)予以解決。

二、關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，彰顯試題“八個(gè)維度”

本題以文本加表格的形式呈現(xiàn)，結(jié)構(gòu)清晰明了，內(nèi)容由淺入深，綜合考查學(xué)生的文字理解、信息提取、符號(hào)轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)抽象、幾何分析、數(shù)學(xué)建模和開(kāi)放探究的能力，有效落實(shí)了山西省中考試題的“八個(gè)維度”。

（一）體現(xiàn)對(duì)“教學(xué)活動(dòng)建議”的考查

“教學(xué)活動(dòng)”的考查在數(shù)學(xué)上就是考查“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)。本題的背景就是“小組開(kāi)展了測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)”，旨在考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)解決測(cè)量旗桿高度實(shí)際問(wèn)題的能力。

（二）著力考查學(xué)生的閱讀能力

本題側(cè)重?cái)?shù)學(xué)閱讀能力，考查學(xué)生對(duì)題目的文字表述和圖形符號(hào)的理解，得到：AC=BD=1.5m，∠DEG=90°，∠GDE=31°，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°使學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)閱讀抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，訓(xùn)練學(xué)生讀取信息、分析問(wèn)題的能力，不斷拓寬學(xué)生審題的視野。

（三）考查學(xué)科基本素養(yǎng)

（四）借鑒國(guó)際PISA考試的先進(jìn)理念

實(shí)際生活中蘊(yùn)含著許許多多與數(shù)量和圖形密切相關(guān)的有趣問(wèn)題，這些有趣問(wèn)題經(jīng)過(guò)分析可以抽象成學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)可以輕松解決這些實(shí)際問(wèn)題。本題突出體現(xiàn)在如何制定有效測(cè)量高度方案，建立適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系計(jì)算高度這一解決實(shí)際問(wèn)題上。

（五）立足學(xué)科素養(yǎng)，加大問(wèn)題的開(kāi)放性

本題最典型的特點(diǎn)是試題設(shè)問(wèn)方法的開(kāi)放性。在本題“任務(wù)三”中，小組成員曾討論過(guò)“利用物體在陽(yáng)光下的影子測(cè)量旗桿的高度”的方法，但一直未被采納。“你認(rèn)為其不可行的因素可能是什么？”問(wèn)題開(kāi)放，這就使得有不同想法的學(xué)生都有機(jī)會(huì)來(lái)表達(dá)，最終找到好的解決辦法，大大提升了學(xué)生的思維空間，考查了學(xué)生反思交流、分析問(wèn)題的能力。

（六）注重?cái)?shù)學(xué)文本閱讀，強(qiáng)調(diào)表達(dá)、交流、共享

數(shù)學(xué)閱讀應(yīng)用能力的培養(yǎng)是提高初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量重要實(shí)踐手段之一。此小題的題干內(nèi)容采用的是文字?jǐn)⑹黾颖砀竦慕M合形式，學(xué)生在理解這種涉及文字表達(dá)較多的綜合性題目時(shí)，心中難免會(huì)有不適應(yīng)。本題就是考驗(yàn)學(xué)生有沒(méi)有耐心去讀完題，能不能提煉出表格中的關(guān)鍵信息。EH=AC=1.5，CD=AB=（5.4+5.6）÷2= 5.5，解題受阻的根源或許就在這兒，也是本題亮點(diǎn)之一。

隨著“讓閱讀改變中國(guó)”的發(fā)聲，山西省中考數(shù)學(xué)題已經(jīng)率先一步讓學(xué)生在試題中體驗(yàn)數(shù)學(xué)文本閱讀，在閱讀過(guò)程中不斷提高思維能力。

題目在設(shè)計(jì)上留給了學(xué)生無(wú)盡的遐想和交流的機(jī)會(huì)。在任務(wù)三中討論解決問(wèn)題的措施方案，未被采納。你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫(xiě)出一條即可），注重培養(yǎng)學(xué)生熟練進(jìn)行各種常用數(shù)學(xué)文字表達(dá)的能力，強(qiáng)調(diào)了與其他人能更順利、更有效進(jìn)行交流的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，倡導(dǎo)及鼓勵(lì)學(xué)生善于運(yùn)用一些抽象的數(shù)學(xué)思想和方法認(rèn)識(shí)并分析某些具體問(wèn)題，最終找到好的解決辦法，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)反思交流、分析問(wèn)題的能力。

（七）注重文字與符號(hào)的轉(zhuǎn)化，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

本題源自初中課本習(xí)題，起點(diǎn)較低，學(xué)生更容易理解，但本題中文字語(yǔ)言和數(shù)字圖形語(yǔ)言同時(shí)并存，學(xué)生能否將抽象的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形符號(hào)語(yǔ)言，順利得到已知的條件，值得商榷。如分別測(cè)量了該旗桿頂端的仰角，就是題中的∠GCE和∠GDE，進(jìn)而獲取到∠GCE= 25.7°，∠GDE=31°的條件；兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間的距離，就是AB的長(zhǎng)度，怎么由題中給的測(cè)量數(shù)據(jù)得到AB=5.5m的信息，都是依靠數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)抽象獲取來(lái)的。這種方法有效實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的遷移，是數(shù)學(xué)中最常用的思想。當(dāng)以“數(shù)”和“形”為主要研究對(duì)象的內(nèi)容相夾雜時(shí)，其抽象的程度難易，也是此題的一個(gè)坎。

（八）依托“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

建立數(shù)模關(guān)系是我們應(yīng)用好數(shù)學(xué)知識(shí)和解決好實(shí)際生活問(wèn)題的一條基本方法策略，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要重視建立模型思想。本題就體現(xiàn)出了構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型需要確定相關(guān)參數(shù)、計(jì)算與求解、解決問(wèn)題的科學(xué)過(guò)程。“學(xué)生制訂了測(cè)量方案”為構(gòu)建模型打好了基礎(chǔ)；“利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量”確定了參數(shù)，同時(shí)兼顧了課內(nèi)及課外活動(dòng)；“為了最大限度減小人為測(cè)量誤差，小組成員在測(cè)量仰角的度數(shù)以及兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間距離的時(shí)候，均分別測(cè)量了兩次，并且計(jì)算它們的平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果”，考查學(xué)生的統(tǒng)計(jì)知識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)算和用數(shù)學(xué)思維來(lái)分析研判問(wèn)題的能力，目的就是檢測(cè)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、定理和特有的規(guī)律方法解釋現(xiàn)實(shí)生活中的一些現(xiàn)象。

數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)是九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容之一，本題以測(cè)量旗桿的高度為載體，以“提出問(wèn)題—制定方案—書(shū)寫(xiě)報(bào)告—解決問(wèn)題—小結(jié)提煉”為線索，小組參與，通過(guò)逐一完成任務(wù)的形式實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，達(dá)到了現(xiàn)行《課標(biāo)》規(guī)定的對(duì)“綜合與實(shí)踐”科目提出來(lái)的課程總體要求，即結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問(wèn)題的方案，并加以實(shí)施的過(guò)程，體驗(yàn)建立模型、解決問(wèn)題的過(guò)程，并在此過(guò)程中嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，這種以“活動(dòng)報(bào)告形式測(cè)量旗桿高度”的方案來(lái)呈現(xiàn)試題，包括用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述問(wèn)題，很好地規(guī)范了活動(dòng)報(bào)告書(shū)寫(xiě)格式，讓學(xué)生的每一步都有所遵循，考查了學(xué)生建立數(shù)模、邏輯推理的能力。命題設(shè)計(jì)者是依托教材，精心構(gòu)思設(shè)計(jì)，以學(xué)生完成任務(wù)的活動(dòng)形式把數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)處理、分析與推理解題能力和綜合素養(yǎng)要求放在活動(dòng)首位，學(xué)生群體的共同團(tuán)結(jié)和協(xié)作合力貫穿活動(dòng)始終，體現(xiàn)出該學(xué)科獨(dú)有的創(chuàng)新育人功能，讓廣大師生時(shí)刻關(guān)注到生活實(shí)踐中遇到的有用數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)逐步探索，積累起更多數(shù)學(xué)探究，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受到科學(xué)使用數(shù)學(xué)知識(shí)的一種無(wú)窮樂(lè)趣，真正體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值所在。

三、解析試題：強(qiáng)化問(wèn)題解決，指向?qū)W生綜合實(shí)踐能力的考查

（一）試題簡(jiǎn)析

任務(wù)一：由矩形的性質(zhì)可直接推導(dǎo)得到EH=AC=1.5，CD=AB=（5.4+5.6）÷2=5.5。

任務(wù)二：建立數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)模型。設(shè)EC=xm，在Rt△DEG中和Rt△CEG中，分別利用∠GDE和∠GCE的正切，解直角三角形分別表示出DE、CE；利用CD=CE-DE。

任務(wù)三：根據(jù)題意分析不可行的各種可能原因，諸如，陰天沒(méi)有強(qiáng)烈的太陽(yáng)光，無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量出旗桿影子的實(shí)際長(zhǎng)度等。

解：任務(wù)一：由題意可得，四邊形ACDB是一個(gè)矩形，四邊形ACEH是一個(gè)矩形，

∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5?！?分）

即：兩次測(cè)量點(diǎn)A、點(diǎn)B之間的距離的平均值是5.5m。

任務(wù)三：答案不唯一：沒(méi)有太陽(yáng)光，測(cè)量旗桿影子的長(zhǎng)度遇到困難等?！?分）

任務(wù)二的多種解法

（二）教學(xué)導(dǎo)向

1.重視“綜合與實(shí)踐”的課程實(shí)施

改變部分學(xué)校不上“綜合與實(shí)踐”課的現(xiàn)狀，扭轉(zhuǎn)部分學(xué)?！熬C合與實(shí)踐”課的隨意侵占行為。學(xué)校應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)鼓勵(lì)教師和學(xué)生主動(dòng)關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)，加大學(xué)生小組活動(dòng)實(shí)踐的積極參與度。這樣開(kāi)展的教學(xué)活動(dòng)，因?yàn)閱?wèn)題較貼近于學(xué)生實(shí)際的課外生活，學(xué)生課后比較容易上手操作，會(huì)受到學(xué)生和教師的喜愛(ài)。例如，測(cè)量本校教學(xué)樓的建筑高度，寫(xiě)出測(cè)量方法，實(shí)測(cè)相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算測(cè)量的過(guò)程，分析數(shù)據(jù)結(jié)果。多鼓勵(lì)學(xué)生在小組共同合作學(xué)習(xí)理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，自主設(shè)計(jì)測(cè)量方法以解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

2.用好教材，發(fā)掘其中解題思想與方法

試題是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的有效載體。本題來(lái)源于北師大版教材的九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章的第6節(jié)《利用三角函數(shù)測(cè)高》中給出的“問(wèn)題解決”：“選擇一個(gè)底部可以到達(dá)的物體，測(cè)量一下它的高度，并撰寫(xiě)成一份測(cè)量活動(dòng)報(bào)告，闡明活動(dòng)有關(guān)課題、測(cè)量示意圖、測(cè)出的數(shù)據(jù)結(jié)果和具體計(jì)算過(guò)程等?！睂W(xué)生手頭的第一手資料是教材課后訓(xùn)練習(xí)題，因其題目具有極強(qiáng)的代表性和一定典型性特征，教師平時(shí)要有意識(shí)地對(duì)典型試題進(jìn)行分類挖掘，抓住試題重點(diǎn)內(nèi)容與知識(shí)難點(diǎn)，進(jìn)行歸納分類與變式，讓學(xué)生“一題多變”、舉一反三，提煉多種解題新方法。

3.注重?cái)?shù)學(xué)閱讀，提高閱讀素養(yǎng)

“閱讀”是學(xué)生終身學(xué)習(xí)必備的能力。現(xiàn)在的中考數(shù)學(xué)試題已經(jīng)越來(lái)越注重考查學(xué)生在數(shù)學(xué)上的快速閱讀能力，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化、關(guān)注中外數(shù)學(xué)名著，獲取外界信息知識(shí)、拓寬視野。筆者認(rèn)為學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)閱讀是深度閱讀的重要基石。數(shù)學(xué)教師應(yīng)更加積極地、有計(jì)劃有目標(biāo)地逐步引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地去嘗試數(shù)學(xué)閱讀，培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)的課外閱讀習(xí)慣。

4.設(shè)計(jì)開(kāi)放性、探究性試題，提升學(xué)生創(chuàng)造能力

本題通過(guò)問(wèn)題的直接引領(lǐng)，學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)參與，以完成任務(wù)的形式很好地實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的“想”“析”“說(shuō)”，提高了學(xué)生的表達(dá)和交流的能力。教師要通過(guò)課堂培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用觀察、比較來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的習(xí)慣；提高運(yùn)用猜想、推理來(lái)分析問(wèn)題、解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題；運(yùn)用概括、驗(yàn)證的思維方式不斷積累和豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新實(shí)踐意識(shí)。讓學(xué)生真真正正動(dòng)起來(lái)，在做中去學(xué)，學(xué)中去做，提高學(xué)生動(dòng)手能力，展現(xiàn)個(gè)性，嘗試創(chuàng)新，不斷實(shí)施數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，不斷豐富師生的活動(dòng)經(jīng)歷，增進(jìn)師生的情誼，從中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，有效實(shí)現(xiàn)山西省“考改”促“課改”，“考法”領(lǐng)“教法”這一目標(biāo)。