彭海燕　李維

摘 要：自2018年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)化內(nèi)容改革以來，平面解析幾何問題逐漸回歸到幾何問題解析化途徑的探索研究與選擇中. 其中，解析化是實(shí)現(xiàn)用代數(shù)方法解決幾何問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 在具體的解析化過程中，解題要能夠從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系角度出發(fā)，挖掘數(shù)量與圖形及其關(guān)系的內(nèi)涵特征，將幾何問題坐標(biāo)化，并最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，通過代數(shù)推理與運(yùn)算得到代數(shù)結(jié)論，解決幾何問題.

關(guān)鍵詞：解析化;消參減元;數(shù)量與數(shù)量關(guān)系;圖形與圖形關(guān)系

一、試題特點(diǎn)分析

2022年高考數(shù)學(xué)全國卷的平面解析幾何解答題共有4道（全國甲卷文、理科同題，全國乙卷文、理科同題），研究的圓錐曲線涵蓋了橢圓 （全國乙卷）、雙曲線（全國新高考Ⅰ、Ⅱ卷）和拋物線（全國甲卷）.

這4道試題的第（1）小題都考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性. 其中，全國新高考Ⅰ卷第21題 第（1）小題雖然還需要做進(jìn)一步的工作，但從近幾年的試題特點(diǎn)來看，經(jīng)典結(jié)論的運(yùn)用體現(xiàn)了基礎(chǔ)性;全國新高考Ⅰ卷第21題第（2）小題和全國甲卷 （文、理科） 第20題第（2）小題都與三角函數(shù)恒等變換結(jié)合，體現(xiàn)了綜合性;全國新高考Ⅱ卷第21題給出三個(gè)條件，要求學(xué)生選取兩個(gè)作為已知條件，證明另外一個(gè)成立，屬于結(jié)構(gòu)不良問題設(shè)計(jì)，有效增強(qiáng)了試題的開放性，考查了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，體現(xiàn)了創(chuàng)新性. 4道試題，較好地體現(xiàn)了高考對(duì)平面解析幾何問題解析化的要求和代數(shù)推理的要求.

2022年高考平面解析幾何的客觀題既有對(duì)直線與圓的方程的要求，也有對(duì)曲線中幾何圖形特征的挖掘，特別是兩套全國新高考卷中的平面解析幾何多選題，4個(gè)選項(xiàng)的設(shè)計(jì)既涵蓋了幾何圖形的探究，又強(qiáng)化了代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)性要求. 解析幾何是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體，高考試題反映了對(duì)上述素養(yǎng)的重視.

2022年高考中的平面解析幾何試題聚焦解析幾何本質(zhì)，即更加強(qiáng)化用代數(shù)方法研究幾何問題，更加強(qiáng)化代數(shù)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性. 此外，延續(xù)了2020年以來的做法，在問題設(shè)置和解答中更加凸顯解析幾何中的經(jīng)典背景 （如定點(diǎn)定向、極點(diǎn)極線、垂徑定理）在問題解決中的價(jià)值. 限于篇幅，文章重點(diǎn)對(duì)2022年高考平面解析幾何解答題從圖形與圖形關(guān)系、數(shù)量與數(shù)量關(guān)系角度進(jìn)行解題分析.

二、優(yōu)秀試題分析

三、復(fù)習(xí)備考建議

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2017年版2020年修訂）》，學(xué)習(xí)解析幾何旨在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 高考平面解析幾何試題命題的深入，要求師生在日常解題教學(xué)中要更加重視“四基”的落實(shí)和“四能”的培養(yǎng). 例如，在講評(píng)2022年全國乙卷理科第20題時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生提煉解題過程中運(yùn)用的方程思想、特殊與一般思想，教會(huì)學(xué)生分析問題和解決問題.

通過對(duì)2022年高考平面解析幾何試題的分析可以看到，幾何問題解析化是有方向可循的，即當(dāng)面對(duì)一個(gè)幾何問題時(shí)，要明確這是一個(gè)什么樣的幾何問題，是將這個(gè)幾何問題視作整體挖掘它的幾何特征，還是看成兩個(gè)圖形去探索它們之間的關(guān)系，抑或是從數(shù)量或數(shù)量關(guān)系角度進(jìn)行挖掘，接著研究和探索這個(gè)幾何問題需要用到哪些代數(shù)條件，再把幾何問題代數(shù)化（有時(shí)候這個(gè)代數(shù)化過程不是很直觀，需要把幾何問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的幾何問題后再進(jìn)行代數(shù)化）. 這些探索與研究的過程是需要時(shí)間與實(shí)踐的. 也正因?yàn)槿绱?，在?fù)習(xí)備考中要強(qiáng)化自主探究，要能夠從多角度思考，深入挖掘圖形的幾何特征，掌握研究解析幾何問題的一般方法和思維方式. 具體而言要做到以下幾點(diǎn).

1. 重視圖形探究

例2中涉及兩條直線的傾斜角的差的正切，這其實(shí)是到角公式. 學(xué)生必須明晰概念 （斜率是傾斜角的正切值），掌握從圖形與圖形關(guān)系和數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的角度把握幾何問題解析化的基本途徑，熟練運(yùn)用向量、三角等工具.

2. 強(qiáng)化代數(shù)運(yùn)算綜觀2022年高考平面解析幾何試題，可以感受到全國卷的4道平面解析幾何試題的運(yùn)算量比以往要大，參變量更多，如何“消參減元”是關(guān)鍵. 教學(xué)中，一定要讓學(xué)生關(guān)注代數(shù)的本質(zhì)——結(jié)構(gòu)特征，多想多算，培養(yǎng)學(xué)生的耐心和嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的習(xí)慣，以及堅(jiān)忍不拔的意志品質(zhì).

3. 重視經(jīng)典問題

高考從不回避經(jīng)典，中點(diǎn)弦、焦點(diǎn)弦長、垂徑定理、極點(diǎn)極線等問題在高考中的考查不斷創(chuàng)新. 教學(xué)中，一定要重視對(duì)這些經(jīng)典問題的積累和研究，讓學(xué)生掌握解決這類經(jīng)典問題的通性、通法.

4. 重視回歸教材

平面解析幾何的復(fù)習(xí)要回歸教材，在新高考強(qiáng)調(diào)教考銜接的情況下，更要將教材中的研究路徑和研究的一般思維方法落地、落細(xì). 從對(duì)上述高考平面解析幾何試題的分析來看，只要吃透了教材訓(xùn)練系統(tǒng)的精神實(shí)質(zhì)，對(duì)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行深入研究，挖掘其內(nèi)在的聯(lián)系并拓展其研究空間，對(duì)于高考試題的本質(zhì)還是容易把握的.

四、典型模擬題

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