周文帝

假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出相矛盾的結(jié)論，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.反證法是一種間接證明方法.當(dāng)遇到一些不容易或者不能從正面進(jìn)行證明的題目時(shí)，可以嘗試運(yùn)用反證法，從問題的反面人手來進(jìn)行證明.反證法彌補(bǔ)了直接證明方法的不足，在解題中應(yīng)用廣泛，有著不可替代的重要作用.

運(yùn)用反證法解題的步驟如下：

第三步，得出結(jié)論.斷定產(chǎn)生矛盾的原因在于開始所作的假設(shè)不成立，于是結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題p?q為真命題.

反證法常適用于證明否定性命題、存在性命題以及含有“至多“至少“唯一”等字眼的命題.

下面舉例說明.

例1.已知點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，求證：過A、B、C三點(diǎn)不能畫圓.

證明：假設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)可以畫圓，如圖1所示，

設(shè)此圓的圓心為O，那么A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)的連線就是圓O的弦，

根據(jù)垂徑定理可知，。不僅在AB的中垂線OM上，還在BC的中垂線ON上，

那么過點(diǎn)O有兩條直線OM與ON均與AC垂直，顯然，這與垂直定理不相符，所以這個(gè)假設(shè)不成立，則過A、B、C三點(diǎn)不能畫圓.

直接證明本題較為困難，不妨從其反面入手，采用反證法進(jìn)行求證.首先假設(shè)過A、B、C三點(diǎn)能畫圓，將其作為已知條件，根據(jù)垂徑定理和三點(diǎn)共線的公理進(jìn)行推導(dǎo)，得出相矛盾的結(jié)論，即可證明結(jié)論.

可得a²=2b²，所以a²為偶數(shù)，

因此a也一定是偶數(shù)，

設(shè)存在自然數(shù)c，使得a=2c，

則a²=4c²，則2c²=b²，

由于b²是偶數(shù)，所以b也是偶數(shù)，

可得a，b均為偶數(shù)，這與a，b互質(zhì)相矛盾，

而證明原命題成立.

例3.如圖2，設(shè)S4、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面的圓心，C是SB上一點(diǎn)求證：AC與平面SOB不垂直

證明：假設(shè)AC⊥平面SOB，

∵直線SO在平面SOB內(nèi)，

∴AC⊥SO，

∵SO⊥底面圓O，∴SO⊥AB，

∴SO⊥平面SAB，

∴平面SAB∥底面圓O，

這與圖2不相符，所以假設(shè)不成立.

即AC與平面SOB不垂直.

我們很難直接證明AC與平面SOB不垂直，而本題為否定性命題，于是采用反證法，假設(shè)證明AC與平面SOB垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理、兩平面平行的性質(zhì)定理證明平面SAB∥底面圓O，得出相矛盾的結(jié)論，即可證明原結(jié)論成立.

所以假設(shè)的命題不成立，

“三個(gè)式子中至少有一個(gè)不小于2”共有7種情況，證明起來困難又繁雜，而它的反面是“三個(gè)式子全都小于2”，只有一種情況，于是利用反證法，從反面進(jìn)行證明.當(dāng)遇到題目中含有“最多”“不少于”“至少”“至多”“唯一”等字眼的命題時(shí)，采用反證法求證往往比較湊效.常見的結(jié)論詞和假設(shè)詞有：

例5.已知x+y+z>0，xy+yz+zx>0，xyz>0.求證：

x，y，z都是正數(shù).

證明：假設(shè)x<0，

因?yàn)閤yz>0，所以yz<0，

因?yàn)閤+y+z>0，

所以y+z=-x>0，

所以xy+yz+zx=x（y+z）+yz<0，

這與xy+yz+zx>0相矛盾.

假設(shè)x=0，則xyz=0，

這與xyz>0矛盾，

因此，x必為正數(shù).

同理可以證明：y，z也為正數(shù).

“x，y，z都是正數(shù)”的反面情況是：x，y，z都不小于0.采用反證法證明本題，需先假設(shè)x，y，z中的一個(gè)小于或等于0，然后根據(jù)已知條件，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算、推理，得出與已知條件相矛盾的結(jié)論，即可解題.

可見，從正面證明困難或情況較多時(shí)，用反證法會(huì)收到更好的效果.運(yùn)用反證法解題，關(guān)鍵是提出正確的假設(shè)，這是正確運(yùn)用反證法的前提.要想提出正確的假設(shè)，必須注意以下幾點(diǎn)：

（1）分清命題的條件與結(jié)論，原結(jié)論與假設(shè)的結(jié)論之間的邏輯關(guān)系.

（2）結(jié)論的反面常常不止一種情形，在提出“假設(shè)”后，要回過頭來看看“假設(shè)的結(jié)論”的對(duì)立面是否恰是命題的結(jié)論.