蘇愛萍 方如瓊

除法源于減法。除法豎式源于減法豎式，根植于除法意義，它的演變是數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)潔美和程序化的智慧體現(xiàn)。除法豎式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，學(xué)生初學(xué)習(xí)，由于缺少對(duì)除法豎式結(jié)構(gòu)原理的理解，會(huì)出現(xiàn)難以接受除法豎式寫法的學(xué)習(xí)困難?；诖?，筆者通過(guò)整體構(gòu)建，把除法豎式與減法關(guān)聯(lián)起來(lái)教學(xué)，幫助學(xué)生理解除法豎式的結(jié)構(gòu)原理，體會(huì)除法豎式的價(jià)值。

一、從“分”開始，強(qiáng)化減法思路

除法和減法都有“分”的意思。簡(jiǎn)單地講，減法是把一個(gè)數(shù)分成幾和幾;除法的本質(zhì)是平均分，即把一個(gè)數(shù)分成同樣多的幾部分，也可以用減法來(lái)表達(dá)。因此，除法可以被看作連續(xù)減去相同數(shù)的減法。

教學(xué)時(shí)，筆者從有余數(shù)的除法切入，出示題目：13根小棒，每4根分一組，結(jié)果怎樣？筆者先引導(dǎo)學(xué)生理解“每4根分一組”就是要平均分，再讓學(xué)生在小棒圖上圈一圈，并寫出除法算式。接著，筆者指著除法算式中的余數(shù)提問(wèn)：剩余的1根可以怎樣算出來(lái)？根據(jù)圈的過(guò)程，有的學(xué)生從13里依次減去4，即用“13-4-4-4”得出1根;有的學(xué)生先算分掉的總數(shù)12根，再?gòu)?3根里減去12根，得到1根。這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生初步形成了“從總數(shù)里減去分掉的等于余下的”的思維過(guò)程。

然后，筆者利用課件動(dòng)態(tài)演示分小棒的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生把操作過(guò)程與計(jì)算步驟有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)除法與減法之間的聯(lián)系。

二、巧借連減豎式，理解結(jié)構(gòu)原理

本環(huán)節(jié)通過(guò)三個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生體驗(yàn)除法豎式的生成過(guò)程，感悟除法豎式結(jié)構(gòu)的合理性和簡(jiǎn)潔性。

活動(dòng)一：在嘗試中創(chuàng)造多樣的除法豎式

該活動(dòng)旨在借助“你能用除法豎式記錄剛才分小棒的過(guò)程嗎”這個(gè)問(wèn)題，了解學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)，為構(gòu)建除法豎式積累素材。

二年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)有限，他們很難自主創(chuàng)造出除法豎式，他們會(huì)遷移加法、減法豎式的表象，寫出自己心目中的除法豎式。大多數(shù)學(xué)生心目中的除法豎式往往與標(biāo)準(zhǔn)的除法豎式差距很大，也有少數(shù)學(xué)生通過(guò)課前自學(xué)已經(jīng)能夠列出標(biāo)準(zhǔn)的除法豎式。

在學(xué)生嘗試用除法豎式記錄分小棒的過(guò)程后，筆者有選擇、有順序地呈現(xiàn)了學(xué)生書寫的4種豎式（如下圖）。

這4種豎式體現(xiàn)了學(xué)生不同的思維水平，為構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)的除法豎式提供了原始素材。

活動(dòng)二：在對(duì)比中選擇合適的豎式形式

活動(dòng)中，筆者讓學(xué)生對(duì)上面4個(gè)豎式進(jìn)行比較，思考哪個(gè)豎式完整、清楚地記錄了剛才分小棒的過(guò)程和結(jié)果。這樣做能將學(xué)生的觀察視角聚焦到完整、清楚地記錄分的過(guò)程上，即聚焦到除法豎式內(nèi)在的結(jié)構(gòu)原理上。

學(xué)生進(jìn)行了充分討論，形成了諸多發(fā)現(xiàn)。豎式①能表示出從13根小棒中連續(xù)減掉3個(gè)4根，最后剩下1根，每一次分小棒后剩下的部分也可以表示出來(lái)，且豎式中減去了幾個(gè)4就表示分了幾組。這種“連減豎式”是建立在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上的，是除法豎式的原始形態(tài)。豎式②能表示出從13根小棒中把分掉的12根一同減去，還剩1根，但并不能表示出是如何分掉12根的。豎式③遷移了加法、減法豎式的寫法，以及除法橫式的結(jié)果表示形式，記錄下了被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)，但并不能表示出余數(shù)是如何計(jì)算出來(lái)的。豎式④是學(xué)生模仿書上的標(biāo)準(zhǔn)格式書寫的，表示出了要分的小棒數(shù)量、每份的數(shù)量、分的份數(shù)、一共分掉的部分和剩下的部分。

教師提出明確、細(xì)致的觀察目標(biāo)，組織學(xué)生細(xì)細(xì)品味自己的作品，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)：豎式④的每一步不僅能與分的操作過(guò)程一一對(duì)應(yīng)，而且簡(jiǎn)潔明了。這個(gè)活動(dòng)促使學(xué)生從基于自身經(jīng)驗(yàn)的思考走向了理性的數(shù)學(xué)思考。

活動(dòng)三：在關(guān)聯(lián)中理解除法豎式結(jié)構(gòu)

“連減豎式”作為除法豎式相對(duì)自然、原始的形態(tài)，是學(xué)生學(xué)習(xí)除法豎式的生長(zhǎng)點(diǎn)。教師有效利用這一素材，可以幫助學(xué)生理解除法豎式的結(jié)構(gòu)原理。

課堂上，筆者借助課件動(dòng)態(tài)演示了如下演變過(guò)程。

這個(gè)演示，從連續(xù)減去3個(gè)4到直接減去3個(gè)4的和，再到記錄下每組4根、分了3組，最后用“”把4和3與13隔開，呈現(xiàn)了除法豎式的形成、演變過(guò)程，引出了除法豎式的標(biāo)準(zhǔn)格式，也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階。

由于要在豎式中完整、清楚地表示出分的方法、過(guò)程和結(jié)果，所以除法豎式的結(jié)構(gòu)形式如此特別?！斑B減豎式”的有效介入，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)除法豎式結(jié)構(gòu)的理解，讓學(xué)生感受到除法豎式的簡(jiǎn)潔美。

三、多方關(guān)聯(lián)，展現(xiàn)程序性魅力

豎式本質(zhì)上是記錄運(yùn)算過(guò)程的一種工具。為了幫助學(xué)生更好地理解除法豎式的意義，接納除法豎式獨(dú)特的結(jié)構(gòu)，掌握除法豎式的書寫順序，筆者將除法豎式與分的操作過(guò)程及除法橫式相關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生從操作程序、橫式書寫程序中體會(huì)除法豎式的程序性。

筆者先引導(dǎo)學(xué)生回憶分小棒的操作過(guò)程，幫助學(xué)生規(guī)范除法豎式的寫法，將除法豎式的每一步與平均分的過(guò)程一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，深化學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)除法豎式結(jié)構(gòu)原理的理解。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)豎式中每個(gè)數(shù)所表示的意思，并在小棒圖和橫式中找到相應(yīng)的內(nèi)容。在關(guān)聯(lián)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：橫式中沒(méi)有12，豎式與橫式相比，能更清楚地表示出平均分的過(guò)程;因?yàn)橐涗洝皬目倲?shù)里減去分掉的等于余下的”這一思維過(guò)程，所以除法豎式中包含了乘法和減法計(jì)算，即先用除法試求可以分幾組，再用乘法算分掉了多少，最后用減法算剩下多少。通過(guò)關(guān)聯(lián)和比較，學(xué)生感受到除法豎式的程序性和簡(jiǎn)潔性。

四、方法遷移，建構(gòu)完整的除法豎式

如果學(xué)生對(duì)有余數(shù)的除法豎式有比較深刻的理解，沒(méi)有余數(shù)的除法豎式的學(xué)習(xí)就會(huì)水到渠成。

筆者出示題目“有16根小棒，每4根分一組，結(jié)果怎樣？”以此引導(dǎo)學(xué)生自主列豎式，并思考以下問(wèn)題：豎式中的兩個(gè)16表示的意思是否相同？各表示什么？這道題和剛才的題目有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？分完沒(méi)有剩余的時(shí)候，應(yīng)該怎樣表示？0是怎么得出來(lái)的？通過(guò)練習(xí)和交流，學(xué)生很好地掌握了有余數(shù)和沒(méi)有余數(shù)這兩種情況下的除法豎式。隨后，筆者讓學(xué)生概括書寫除法豎式的注意事項(xiàng)，總結(jié)計(jì)算方法，以此培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。這樣教學(xué)，除法豎式是學(xué)生在理解其意義的基礎(chǔ)上自主建構(gòu)的，其結(jié)構(gòu)是學(xué)生共同探究的結(jié)果，所以能被學(xué)生悅納。在這一過(guò)程中，學(xué)生的主觀能動(dòng)性得到了充分發(fā)揮。

值得注意的是，僅僅通過(guò)這一節(jié)課的學(xué)習(xí)來(lái)溝通減法豎式和除法豎式的聯(lián)系是不夠的，教師應(yīng)該在學(xué)生認(rèn)識(shí)除法之初就加強(qiáng)除法意義與減法意義的關(guān)聯(lián)、除法表達(dá)與減法表達(dá)的關(guān)聯(lián)，從而更好地實(shí)現(xiàn)除法豎式的自主建構(gòu)與深度理解。

（作者單位：咸寧市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）