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注重訓(xùn)練技巧 培養(yǎng)運算能力

2022-05-30 14:22:22姚倬
關(guān)鍵詞:法則運算程序

姚倬

[摘? 要] 執(zhí)教過程中,研究者發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生存在解題思路正確,卻在計算上丟分的現(xiàn)象. 為了改善這種情況,部分教師要求學(xué)生進行大量的計算訓(xùn)練,以期有所突破. 殊不知,這種方式只會增加學(xué)生的負擔(dān),收效甚微. 文章從“確定方向,明確運算目標(biāo)”“掌握法則,發(fā)展運算思維”“形成程序,提升思維品質(zhì)”三方面展開闡述,談幾點看法.

[關(guān)鍵詞] 運算;法則;程序

運算是思維的載體,對思維能力的發(fā)展具有直接影響,而運算能力能直接反映出一個學(xué)生的綜合素養(yǎng). 所謂的運算是指在數(shù)學(xué)運算律的指導(dǎo)下,對具體的數(shù)或式子進行變形演繹的過程. 運算能力包括對運算對象的理解、運算方向的探究、方法的選擇以及程序的設(shè)計等,準(zhǔn)確性、合理性、靈活性與簡潔性是它的主要特征.

確定方向,明確運算目標(biāo)

運算本身并不能代表運算能力,培養(yǎng)運算能力,先要深刻理解運算對象,根據(jù)運算目標(biāo)設(shè)計明確的運算路徑. 這要求學(xué)生在運算前,先要讀題、審題,確定運算對象,從對它的理解著手進行運算,同時還要深度挖掘問題中存在的隱含信息,樹立良好的目標(biāo)意識.

例1 已知拋物線C:y2=4x與點M(-1,1),一條直線與拋物線C相交于點A,B,該直線的斜率為k,且過拋物線的焦點. 如果∠AMB=90°,那么k的值是多少?

分析:想要解決本題,先要理解運算對象,確定本題的主導(dǎo)條件. 本題的運算對象為拋物線的焦點弦AB的端點坐標(biāo),主導(dǎo)條件為∠AMB=90°. 根據(jù)這兩點來啟動運算思維,將一些輔助性的條件添入本題的解題思路中.

以上是從向量的角度、以∠AMB=90°為依據(jù)進行解答的過程. 雖設(shè)了點A,B的坐標(biāo),卻沒有分別求出來,而是運用了數(shù)學(xué)整體代換思想,完成了“設(shè)而不求”的目的. 這種方法有效地減少了運算量,避免因過于繁雜的運算而導(dǎo)致失誤的產(chǎn)生,這也充分展示了數(shù)學(xué)整體代換思想在解題中的靈活應(yīng)用.

拋物線的概念與性質(zhì)在高考試題中??汲P拢覀儜?yīng)從根本上掌握其本質(zhì)與內(nèi)涵,尤其要注意以下結(jié)論的應(yīng)用:

因為結(jié)論①展示了拋物線與圓的關(guān)系,所以可從“∠AMB=90°”的隱性角度來優(yōu)化解答過程:

培養(yǎng)運算能力,先要明晰運算對象,包括對問題條件的把握與理解,只有看清、看準(zhǔn)運算對象,才能目標(biāo)明確地進行運算. 同時,運算也要講究技巧,死算肯定解決不了問題,如以上假設(shè)A,B兩點的坐標(biāo),就可以通過整體代換法減輕運算量,提高運算準(zhǔn)確度.

掌握法則,發(fā)展運算思維

高中數(shù)學(xué)運算相對復(fù)雜,但都有一定的規(guī)律與法則作為支撐,如向量、函數(shù)、幾何的運算等,都有相應(yīng)的公式、定理等,這體現(xiàn)出了各個運算對象之間具有與眾不同的思維方式與規(guī)律,這里面常蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.

如運動與變化是探究幾何問題的基礎(chǔ),用代數(shù)法解決幾何問題在解析幾何中常見. 若想讓學(xué)生從根本上掌握解析幾何的運算法則,就需要學(xué)生特別注重解析幾何中的一些公式和定理的形成與發(fā)展過程,同時還要理解其中包含的一些重要的數(shù)學(xué)思想方法,如此才能從真正意義上實現(xiàn)學(xué)生思維與運算能力的提高,為學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

(1)直線AB的斜率是多少?

(2)若點M為曲線C上的一點,且曲線C在點M處的切線恰巧與AB平行,同時AM⊥BM,則直線AB的方程是什么?

分析:第(1)問意在考查學(xué)生對圓錐曲線上兩點連線斜率的掌握程度,可常用點差法解決此類問題,此問也為接下來的第(2)問做好鋪墊. 第(2)問意在考查學(xué)生對直線與拋物線交點的理解,同時考查學(xué)生在函數(shù)圖像上的定點處求切線方程的運算,常用導(dǎo)數(shù)法或判別式法解決此類問題.

此解答過程看似沒毛病,卻存在計算量大、易出錯的弊端. 本題若從隱性條件“AM⊥BM”著手進行分析與思考,則能簡化計算過程,讓解答變得輕松,提高解答的正確率. 具體過程如下:

以上兩種解答思路相比,明顯第二種思路簡單,不容易在計算上產(chǎn)生失分現(xiàn)象. 其實,不同的知識存在不同的運算法則與規(guī)律,而相同的問題也可能存在不一樣的運算方法. 因此,我們應(yīng)有一雙善于洞察的慧眼,能透過問題的表象看到實質(zhì),擇優(yōu)選擇運算方式,提高解題的正確率.

形成程序,提升思維品質(zhì)

觀察、分析、思考與解決問題均離不開思維的支持,高中數(shù)學(xué)不同的知識點常有不一樣的運算程序,如解決解析幾何問題,常用的“三部曲”就是探究、探索與選擇解析化的過程;而用向量法解決平面幾何問題所涉及的“三部曲”,則是探究、探索與選擇向量化的過程.

這里提到的“三部曲”就是解決不同問題的運算程序,良好的數(shù)學(xué)思想方法、合理的運算思維,是運算程序形成的基礎(chǔ). 學(xué)生一旦形成了良好的運算程序,就能深刻地理解運算的內(nèi)涵,為數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升奠定基礎(chǔ). 常實踐、勤思考,是形成舉一反三能力的基礎(chǔ),也是考試制勝的法寶,更是落實核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路.

例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線方程為y=x2-6x+1,它與坐標(biāo)軸的交點均位于圓C上.

(1)圓C的方程是什么?

(2)如果直線x-y+a=0與圓C相交于點A,B,已知OA⊥OB,求a的值.

分析:第(1)問,根據(jù)不共線的三點可作一個三角形,根據(jù)三角形具有唯一的外接圓可獲得圓C的方程. 從此解答過程可清晰地感知到數(shù)形結(jié)合思想在解題中的重要性,同時涉及一定的運算程序?qū)忸}的幫助,讓解題少走彎路,做到既快又準(zhǔn). 第(2)問,根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,從聯(lián)立、化簡、判別式與韋達定理這樣的程序出發(fā),結(jié)合平面幾何相關(guān)內(nèi)容,可有效地簡化計算,提高解題效率.

此題結(jié)合了函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)法、消元法以及換元法等多種數(shù)學(xué)思想方法,同時還涉及根與系數(shù)的關(guān)系、坐標(biāo)法以及判別式等,彰顯了運算程序?qū)鉀Q數(shù)學(xué)綜合問題的重要性,學(xué)生的思維品質(zhì)隨著各項能力的形成與發(fā)展得以提升.

總之,從不同的切入點去分析問題,會出現(xiàn)運算方式的差異. 解析幾何不僅考查學(xué)生精準(zhǔn)、快速的計算技能,更重要的是考查學(xué)生對運算背后算理的把握程度. 教師應(yīng)加強學(xué)生非智力因素方面的訓(xùn)練,如對問題的探索精神、學(xué)習(xí)的自信心、情感傾向等方面的培養(yǎng),尤其是運算能力的訓(xùn)練,對激發(fā)學(xué)生的探究欲、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以及落實學(xué)生的核心素養(yǎng),都有深遠的影響.

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