摘要：金屬棒垂直切割磁感線運(yùn)動的模型是電磁感應(yīng)綜合應(yīng)用的一類典型問題，本文將2021年的四道高考題按照水平、豎直、斜面三種運(yùn)動模型進(jìn)行分類探析，進(jìn)一步加深學(xué)生對動能定理和動量定理的理解.

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；功能關(guān)系；動量定理

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0137-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：趙繼辰（1984-），男，北京人，博士，從事物理教師教育培訓(xùn)與研究.

新版普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)在學(xué)科核心素養(yǎng)中提到：科學(xué)思維是基于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)建構(gòu)物理模型的抽象概括過程；是分析綜合、推理論證等方法在科學(xué)領(lǐng)域的具體運(yùn)用.金屬棒垂直切割磁感線運(yùn)動的模型是電磁感應(yīng)綜合應(yīng)用的一類典型問題，主要考查法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、牛頓運(yùn)動定律、功能關(guān)系、動量定理等眾多知識點(diǎn)，在歷年高考中出現(xiàn)頻率很高.本文將2021年的高考題按照水平、豎直、斜面三種運(yùn)動模型進(jìn)行分類探析.

1 水平運(yùn)動模型

（2021年北京市高中物理等級性考試第7題）如圖1所示，在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，水平U型導(dǎo)體框左端連接一阻值為R的電阻，質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒ab置于導(dǎo)體框上.不計(jì)導(dǎo)體框的電阻、導(dǎo)體棒與框間的摩擦.ab以水平向右的初速度v0開始運(yùn)動，最終停在導(dǎo)體框上.在此過程中（）.

A．導(dǎo)體棒做勻減速直線運(yùn)動

B．導(dǎo)體棒中感應(yīng)電流的方向?yàn)閍→b

C．電阻R消耗的總電能為mv02R2R+r

D．導(dǎo)體棒克服安培力做的總功小于12mv02

接下來我們對問題進(jìn)行拓展，采用動量定理求解導(dǎo)體棒運(yùn)動的位移s.

由動量定理可知，導(dǎo)體棒所受到的安培力沖量IA等于導(dǎo)體棒的動量增量Δp.由于安培力的大小隨時(shí)間t變化，因此采用微元法進(jìn)行求解.

IA=∑Δt→0FAΔt=∑Δt→0B2L2R+rvΔt=B2L2R+rs=mv0

解得s=R+rmv0B2L2.

（2021年海南省高中物理選擇性考試第18題）如圖2，間距為l的光滑平行金屬導(dǎo)軌，水平放置在方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，導(dǎo)軌左端接有阻值為R的定值電阻，一質(zhì)量為m的金屬桿放在導(dǎo)軌上．金屬桿在水平外力作用下以速度v0向右做勻速直線運(yùn)動，此時(shí)金屬桿內(nèi)自由電子沿桿定向移動的速率為u0．設(shè)金屬桿內(nèi)做定向移動的自由電子總量保持不變，金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，除了電阻R以外不計(jì)其它電阻．

（1）求金屬桿中的電流和水平外力的功率；

（2）某時(shí)刻撤去外力，經(jīng)過一段時(shí)間，自由電子沿金屬桿定向移動的速率變?yōu)閡02，求：

①這段時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；

②這段時(shí)間內(nèi)一直在金屬桿內(nèi)的自由電子沿桿定向移動的距離．

2 豎直運(yùn)動模型

（2021年湖北省高中物理選擇性考試第16題）如圖3（a）所示，兩根不計(jì)電阻、間距為L的足夠長平行光滑金屬導(dǎo)軌，豎直固定在勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.導(dǎo)軌上端串聯(lián)非線性電子元件Z和阻值為R的電阻.元件Z的U-I圖像如圖3（b）所示，當(dāng)流過元件Z的電流大于或等于I0時(shí)，電壓穩(wěn)定為Um.質(zhì)量為m、不計(jì)電阻的金屬棒可沿導(dǎo)軌運(yùn)動，運(yùn)動中金屬棒始終水平且與導(dǎo)軌保持良好接觸.忽略空氣阻力及回路中的電流對原磁場的影響，重力加速度大小為g.為了方便計(jì)算，取I0=mg4Bl，Um=mgR2Bl.以下計(jì)算結(jié)果只能選用m、g、B、L、R表示.

（1）閉合開關(guān)S，由靜止釋放金屬棒，求金屬棒下落的最大速度v1；

（2）斷開開關(guān)S，由靜止釋放金屬棒，求金屬棒下落的最大速度v2；

（3）先閉合開關(guān)S，由靜止釋放金屬棒，金屬棒達(dá)到最大速度后，再斷開開關(guān)S.忽略回路中電流突變的時(shí)間，求S斷開瞬間金屬棒的加速度大小a.

3 斜面運(yùn)動模型

（2021年天津市高中物理等級性考試第11題）如圖4所示，兩根足夠長的平行光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ間距L=1m，其電阻不計(jì)，兩導(dǎo)軌及其構(gòu)成的平面均與水平面成θ=30°角，N、Q兩端接有R=1Ω的電阻．一金屬棒ab垂直導(dǎo)軌放置，ab兩端與導(dǎo)軌始終有良好接觸，已知ab的質(zhì)量m=0.2kg，電阻r=1Ω，整個(gè)裝置處在垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1T．a(chǎn)b在平行于導(dǎo)軌向上的拉力作用下，以初速度v1=0.5m/s沿導(dǎo)軌向上開始運(yùn)動，可達(dá)到最大速度v=2m/s．運(yùn)動過程中拉力的功率恒定不變，重力加速度g=10m/s2．

（1）求拉力的功率P；

（2）ab開始運(yùn)動后，經(jīng)t=0.09s速度達(dá)到

v2=1.5m/s，此過程中ab克服安培力做功W=0.06J，求該過程中ab沿導(dǎo)軌的位移大小x．

斜面運(yùn)動模型相比于水平、豎直模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)是需要將重力按運(yùn)動效果分解為沿斜面向下的分力和垂直于斜面向下的分力.本題的另一個(gè)特點(diǎn)是拉力的功率恒定不變，即拉力隨速度的增大而減小.

拓展，設(shè)置情景：當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度后，撤去拉力，分析運(yùn)動情況.

撤去拉力后，金屬棒受到重力下滑分力和安培力的共同作用，做加速度減小的減速直線運(yùn)動到最高點(diǎn).

由功能關(guān)系可知，金屬棒減少的動能等于克服重力下滑分力所做的功與電阻消耗的電能Q3之和.設(shè)金屬棒沿斜面向上的位移為s，由動能定理可得Q3=12mv2-mgssinθ.

由動量關(guān)系可知，金屬棒減少的動量等于重力下滑分力的沖量與安培力的沖量之和.設(shè)金屬棒沿斜面向上運(yùn)動到最高點(diǎn)的時(shí)間為t3，由動量定理可得

mv=Gxt3+∑t3Δt→0FAΔt=mgt3sinθ+∑t3Δt→0B2L2R+rvΔt=mgt3sinθ+B2L2R+rs

而后安培力的方向變?yōu)檠匦泵嫦蛏?，金屬棒沿斜面下滑，做加速度減小的加速直線運(yùn)動.當(dāng)金屬棒再次回到撤去拉力的位置時(shí)速度為v4，金屬棒增加的動能等于重力下滑分力所做的功與電阻消耗的電能Q4之差.由動能定理可得Q4=mgssinθ-12mv24.

由動量關(guān)系可知，金屬棒增加的動量等于重力下滑分力的沖量與安培力的沖量之差.設(shè)金屬棒從最高點(diǎn)運(yùn)動到撤去拉力位置的時(shí)間為t4，由動量定理可得

mv4=Gxt4-∑t4Δt→0FAΔt=mgt4sinθ-∑t4Δt→0B2L2R+rvΔt=mgt4sinθ-B2L2R+rs

由此可以得到，這兩個(gè)過程重力做功的大小相等，金屬棒所受安培力沖量的大小相等，且t3v4，Q3>Q4.

此情景類似于考慮空氣阻力的豎直上拋運(yùn)動.

金屬棒切割磁感線運(yùn)動這類典型問題，安培力大小隨速度變化，因此先進(jìn)行受力分析，采用牛頓第二定律列出加速度的表達(dá)式，而后對運(yùn)動情況進(jìn)行定性分析，利用平衡狀態(tài)求解最大速度.而后利用動能定理求解做功和生熱的問題，利用動量定理求解距離的問題.

此外，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻變化而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢問題（例如2021年山東省高中物理等級考試第12題、2021年遼寧省高中物理選擇性考試第9題），以及線框切割磁感線運(yùn)動問題（例如2021年全國甲卷理綜物理高考第21題、2021年湖南省高中物理選擇性考試第10題、2021年全國乙卷理綜物理高考第25題）也是高考經(jīng)常出現(xiàn)的題型，在此不再一一分析.

參考文獻(xiàn)：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 陸永華.指向物理核心素養(yǎng)的“主線”深度教學(xué)實(shí)踐研究——以電磁感應(yīng)單桿模型微專題復(fù)習(xí)為例[J].物理教師，2020，41（9）：21-23.