周華軍

概率是歷年中考的必考內(nèi)容?？v觀中考概率題，求不確定事件發(fā)生的概率模型，可以概括為三個動作：摸（球、簽）、拋 （骰子、硬幣）、轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)盤）。

一次“摸、拋、轉(zhuǎn)”，公式直接求

對于一次“摸、拋、轉(zhuǎn)”，它們發(fā)生的可能性都相等，總體來說比較簡單，只要根據(jù)概率的意義，在一次試驗中，找準(zhǔn)兩點(diǎn)（①全部情況的總數(shù)n，②符合條件的事件A包含其中的m種結(jié)果），然后根據(jù)事件A發(fā)生的概率為P（A）=m/n，直接得出答案。

例1 如圖1，一個質(zhì)地均勻的正五邊形轉(zhuǎn)盤，指針的位置固定，當(dāng)轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動停止后，觀察指針指向區(qū)域內(nèi)的數(shù)（若指針正好指向分界線，則重新轉(zhuǎn)一次），這個數(shù)是一個奇數(shù)的概率是_______。

【解析】由圖可知，指針指向的區(qū)域有5種等可能結(jié)果，其中指向的區(qū)域內(nèi)的數(shù)是奇數(shù)的結(jié)果有3種，所以這個數(shù)是一個奇數(shù)的概率是3/5。故答案為3/5。

例2 不透明的盒中裝有三張卡片，編號分別為1、2、3。三張卡片質(zhì)地均勻，大小、形狀完全相同，搖勻后從中隨機(jī)抽取一張卡片記下編號，然后放回盒中再搖勻，再從盒中隨機(jī)取出一張卡片，則兩次所取卡片的編號之積為奇數(shù)的概率為_______。

【解析】列表如下。

由表可知共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次所取卡片的編號之積為奇數(shù)的結(jié)果有4種，所以兩次所取卡片的編號之積為奇數(shù)的概率為4/9。故答案為4/9。

例3 假定按同一種方式拋兩枚均勻硬幣，如果第一枚出現(xiàn)正面朝上，第二枚出現(xiàn)反面朝上，就記為（正，反），如此類推，出現(xiàn)（正，正）的概率是（）。

A.1B.3/4C.1/2D.1/4

【解析】列表如下。

由表知共有4種等可能的結(jié)果，其中出現(xiàn)（正，正）的結(jié)果有1種，所以出現(xiàn)（正，正）的概率為[14]。故選D。

例4 如圖2，兩個相同的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤A被三等分，分別標(biāo)有數(shù)字2、0、-1；轉(zhuǎn)盤B被四等分，分別標(biāo)有數(shù)字3、2、-2、-3。如果同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A、B，轉(zhuǎn)盤停止時，兩個指針指向轉(zhuǎn)盤A、B上的對應(yīng)數(shù)字分別為x、y（當(dāng)指針指在兩個扇形的交線時，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），那么點(diǎn)（x，y）落在直角坐標(biāo)系第二象限的概率是。

【解析】列表如下。

由表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中點(diǎn)（x，y）落在直角坐標(biāo)系第二象限的結(jié)果有2種，所以點(diǎn)（x，y）落在直角坐標(biāo)系第二象限的概率是2/12=1/6。

【點(diǎn)評】我們需要注意區(qū)分的是，“摸”的類型有兩種，有放回和無放回；“拋”“轉(zhuǎn)”的類型只有一種，第一次出現(xiàn)的，第二次還有可能出現(xiàn)，相當(dāng)于“摸”類型中的有放回。

三次“摸、拋、轉(zhuǎn)”，樹狀圖助列舉

摸

例5 有兩部不同的電影A、B，甲、乙、丙3人分別從中選擇一部觀看。求甲、乙、丙3人選擇同一部電影的概率。

【解析】題目里是“選”而不是“摸”，但它的意思等同于“摸”。我們變換一下說法就是“有紅、黑2個球，甲、乙、丙3人依次從中摸出一個球記下顏色后放回。求甲、乙、丙3人摸出同一種顏色球的概率?！?/p>

共有8種等可能的結(jié)果，其中甲、乙、丙3人選擇同一部電影的結(jié)果有2種，由此利用概率公式得P（甲、乙、丙3人選擇同一部電影）=2/8=1/4。

【點(diǎn)評】樹狀圖法一般是先選擇一個元素，再和其他元素分別組合，依次列出，像樹的枝丫一樣，最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果n。

拋

例6 隨機(jī)拋擲一枚硬幣三次，求至少有一次反面向上的概率。

【解析】列表法適合兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件。先畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果，再找出至少有一次反面向上的結(jié)果，即可求出概率。

由圖可知，所有等可能的結(jié)果有8種，其中至少有一次反面向上的結(jié)果有7種，則P（至少有一次反面向上）=7/8。

【點(diǎn)評】“拋擲一枚硬幣三次”與“一次拋擲三枚均勻的硬幣”，二者的情境本質(zhì)上是相同的。同樣的，換一下情境但本質(zhì)不變，我們變?yōu)椤癆、B、C三人玩?zhèn)骰ㄓ螒?，游戲?guī)則是：第一次由A將花隨機(jī)地傳給B、C兩人中的某一人，以后的每一次傳花都是由上次的得花者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人。求第三次傳花后，花回到A手中的概率。”

轉(zhuǎn)

例7 如圖3是一個指針可以自由轉(zhuǎn)動的正六邊形轉(zhuǎn)盤，其中三個正三角形涂有陰影，隨機(jī)轉(zhuǎn)動指針三次，求指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率。

【解析】正六邊形轉(zhuǎn)盤被等分成6塊，三塊陰影，三塊白色，各占一半，因此等同于“正六邊形轉(zhuǎn)盤被等分成2塊，一塊陰影，一塊白色”，也就相當(dāng)于一枚硬幣的正反兩面。因為正六邊形被分成相等的6部分，其中陰影部分占一半，所以樹狀圖同例6，所有等可能的結(jié)果有8種，其中指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)的結(jié)果有1種，所以指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為P（指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)）=[18]。

【點(diǎn)評】深度思考，發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)，學(xué)會轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵。

（作者單位：江蘇省東臺市弶港鎮(zhèn)中學(xué)）