周揚

[摘 ?要] 一堂好課不僅需要課前反復推敲、仔細打磨，還需要結合教學實際靈活調整，從而使教學更具普適性，讓學生自然地走進課堂，以此提升教學效率. 文章以“弦長問題”的復習為例，從學生已有認知、已有經驗出發(fā)，通過循序漸進的引導，讓學生自然地走進課堂，參與課堂，以此培養(yǎng)學生良好的學習品質和思維習慣，提升教學品質.

[關鍵詞] 教學效率;自然;教學品質;高效課堂

傳統(tǒng)課堂過多強調教師的價值，忽視了學生的主體作用，使得學生參與課堂的積極性不高，影響了教學效率. 在高三復習“弦長問題”時，筆者以生為出發(fā)點，結合學生實際學情，精心打磨教學過程，課堂上取得了喜人的教學成果，現(xiàn)將教學片段呈現(xiàn)給大家，供參考.

[?] 開門見山，直奔主題

高三教學時間緊、任務重，因此在課堂引入階段盡量追求簡潔明了，這樣可以讓學生快速進入學習狀態(tài).

師：誰來說一說直線與橢圓有哪些位置關系？

生1：直線與橢圓相交、相切、相離.

師：你的判斷依據(jù)是什么？

生1：根據(jù)交點個數(shù).

師：很好，根據(jù)交點個數(shù)是從幾何的角度思考的，如果從代數(shù)的角度來思考，應該看什么呢？

生2：聯(lián)立直線方程與橢圓方程，看方程組的解.

師：很好！這節(jié)課我們重點研究直線與橢圓相交時，兩交點之間的線段長度——弦長問題.

師：現(xiàn)在請看例1，看看這個問題應該如何求解.

例1 如圖1所示，已知橢圓+y2=1，過右焦點F且傾斜角為45°的直線交橢圓于A，B兩點，則線段AB的長為______.

問題給出后，學生很快就解出了正確答案，教師讓學生簡述了求解過程.

師：大家都做得非常好，看來大家對基礎知識掌握得非常扎實. 思考一下，如果將例1中的“傾斜角為45°”這一條件去掉，又該如何求線段AB的長呢？

設計意圖：教師帶領學生進行簡單的內容回顧后就直接給出了本節(jié)課探究的主題——弦長問題，這樣學生會自主思考求弦長的方法，以此提高學生的注意力. 同時，教師以促進全員發(fā)展為目標，設計了一個“低起點”的問題，這樣既讓學生覺得易于上手，又突出了主題，有利于提升學生參與課堂的積極性.

教學反思：高三復習課堂，教師要把握好引例的難度，過于簡單和復雜都會影響教學效果：若過于簡單將難以激發(fā)學生的探究欲，若過于復雜則會把基礎薄弱的學生排斥在課堂外. 因此，復習時教師需要結合教學實際設計一個適宜的入口問題，使學生可以自然地進入主題，有效避免問題過難或過易帶來的唐突，為教學目標的實現(xiàn)架橋鋪路.

[?] 順應學生，集思廣益

高三學生已經有了一定的知識儲備，個體認知也已形成，他們解決問題時會有自己獨特的想法，因此教師要為學生營造一個自由的、平等的、互動的學習氛圍，鼓勵學生提出自己的看法，以此提高課堂參與度，提升教學效率. 另外，教學中教師切勿將自己的經驗強加給學生，那樣的課堂雖然表面上看似精彩絕倫，但因忽視學生的參與感受，課堂實質空洞，不利于學生長遠發(fā)展.

師：對于以下這個變式問題，你認為可以通過哪些方法來求解呢？

變式：如圖2所示，已知橢圓+y2=1，過右焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，則線段AB的長為______. （重點探究求線段AB長的方法）

生3：我認為可以用代數(shù)法求解，即聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用弦長公式求線段AB的長.

師：如何設直線方程呢？（師追問）

生3：可以先從特殊情況入手——考慮直線AB垂直于x軸. （教師預留時間讓學生運算并板書解題過程）

當直線AB垂直于x軸時，AB=. 當直線AB的斜率存在時，設其方程為y=k（x-1），交橢圓于A（x，y），B（x，y）. 聯(lián)立方程

+y2=1，

y=k（x-1），化簡得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，由韋達定理得x+x=，xx=. 又弦長AB==，代入x1+x2=，x1x2=，即可求出AB的長.

師：很好，思路清晰、縝密. 現(xiàn)在我們得到了求線段AB長的第一種方法：利用弦長公式求解. （教師板書為“方法1”）

師：你們還有沒有其他方法呢？

生4：根據(jù)已知，直線AB過橢圓的右焦點F（1，0），因此可以利用焦半徑公式求線段AB的長.

師：具體說一說你是如何求解的.

生4：AB=AF+BF=a-ex+a-ex=2a-e（x+x）=2-=.

師：非常棒，這樣我們就得到了第二種方法：利用橢圓的第二定義求焦半徑之和. （教師板書為“方法2”）

師：還有其他要補充的嗎？

生5：還可以利用極坐標方程來表示線段AF，BF的長.

師：是一個不錯的思路，具體說一說.

生5：如圖3所示，以焦點F（1，0）為極點，以Fx為極軸建立坐標系，因為e=，p==1，所以橢圓的極坐標方程為ρ==. 所以設A（ρ，θ），B（ρ，θ+π），于是AB=

ρ+

ρ=.

師：非常好. （教師板書為“方法3”）

師：還有其他要補充的嗎？

師：思考一下，若將題設中的“過右焦點F的直線”改為“不過右焦點F的直線”，可以用什么方法求線段AB的長呢？

學生齊聲答：利用方法1，根據(jù)弦長公式求解.

師：很好，我們解決問題時一定要仔細審題，根據(jù)題設信息的特殊性和一般性選擇合適的方法.

師：現(xiàn)在我們再將問題變一變，你想怎么變呢？

生6：可以把橢圓的條件換一換.

師：現(xiàn)在我們索性將橢圓這一條件撤掉，僅給出條件“直線AB過F（1，0）”，此時線段AB的長該如何表示呢？

生7：可以直接利用兩點的距離公式來表示，即AB===

x

-x.

師：觀察以上結果容易發(fā)現(xiàn)，其實只要A，B確定了，距離也就確定了.

探究至此，問題的本質逐漸顯現(xiàn)，接下來教師又給出圖4，引導學生體會“化斜為直”的數(shù)學思想方法.

設計意圖：課堂教學活動采用應“生”而動的教學策略，順著學生的思維脈搏開展教學活動，通過巧妙引導讓學生自主發(fā)現(xiàn)求線段AB長的常用方法. 教學中教師重視學生的主體作用，讓學生參與并經歷教學全過程，并在參與和經歷的過程中將知識內化于心，培養(yǎng)學生自主發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力.

教學反思：求線段AB的長有多種方法，若教師刻意引導學生理解，會顯得有些死板，有些強求，因此教師并沒有將各種方法一網(wǎng)打盡，而是選擇尊重學生、尊重學情，順應發(fā)展. 教學中教師利用一題多解能夠有效發(fā)散學生的思維、拓展學生的視野，但是在追求“多解”的過程中一定要以學生的實際學情為出發(fā)點，切勿將教師的經驗強加給學生，那樣不僅不易于學生理解，而且容易造成他們的心理負擔;不僅難以發(fā)揮“多解”的優(yōu)勢，而且會挫傷學生的學習信心，得不償失. 因此，教學的重點不是演示各種方法，而是引導學生把重難點知識自然地講解出來，讓學生體會什么才是問題的本質，什么才是解決問題的通性通法，從而理解并掌握普適性的解決問題的方法，以此提升解題能力.

[?] 題目演繹，升華認知

1. 解后反思，讓思考更深入

數(shù)學題目是復雜的，解題時難免會出現(xiàn)各種各樣的問題，如解題過程煩瑣、思維定式、思考不周等，因此解題后有必要引導學生進行反思，幫助他們鞏固認識、深化理解.

師：現(xiàn)在請大家完成下面的問題.

例2 如圖5所示，已知橢圓+y2=1，過右焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交橢圓左準線于點P，交直線AB于點C，若PC=2AB，求直線AB的方程.

問題給出后，教師預留充足的時間讓學生獨自求解，教師巡視，并指定學生簡述解題思路.

生8：設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x，y），B（x，y），將AB的方程代入橢圓方程得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，則x=，則點C的坐標為

，-

，且AB=

x

-x=，故直線PC的方程為y= -x+，得點P-2

，. 又點C

，-

，根據(jù)兩點的距離公式可得線段PC=. 因為PC=2AB，所以PC==，解得k=±1. 所以直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.

師：分析以上過程，是否少了點什么？

生9：直線PC的斜率是否存在需要進行分類討論.

師：很好，請未進行分類討論的學生課后補充完整.

師：思考一下，生8求線段AB的中點C，用的是方程的思路，若不用該方法，是否還有其他方法可以求出點C呢？

生10：可以應用點差法. 設中點P（x，y），由此可得線段AB=2a-e（x+x）=2a-2ex，也可得線段PC=

x+2.

師：非常好！遇到中點弦的問題時經常會應用點差法，根據(jù)點差法得到關系式+2yk=0，由此還能得到一個性質，你知道是什么嗎？

生11：直線AB與OC的斜率之積是定值，其值為-.

這樣通過解后反思得到了中點弦的一個性質：對于焦點在x軸上的橢圓，其中心與弦的中點連線的斜率與弦的斜率的乘積為定值-. 經歷以上過程，學生對解題思路更加明晰，理解更加深入，有效地規(guī)避了復雜運算，使解題變得更加簡單.

2. 變式探究，讓視野更開闊

師：現(xiàn)在弱化例2的條件，那么問題如何求解呢？（教師繼續(xù)給出問題）

探究1：如圖6所示，已知橢圓+y2=1，過右焦點F的直線（斜率存在）交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交橢圓長軸于點M，交線段AB于點C，求證：為定值.

基于前面的準備及學生已經形成的解題思路，在師生的共同努力下，總結歸納出了橢圓的另外一個幾何性質：已知橢圓+=1（a>b>0），過右焦點F的直線（斜率存在）交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交橢圓長軸于點M，則為定值.

師：課后請大家思考一下，若將探究1中的結論“為定值”變?yōu)橐阎獥l件，是否能證明“直線過線段AB的中點”呢？

師：接下來我們再把探究1中的條件變一變，將中垂線這一條件改編為“BF-AF=”，如何求直線AB的方程呢？

生12：利用橢圓的第二定義得BF=a-ex，AF=a-ex，于是x-x=，結合前面所求的根，容易求得k2=1.

師：很好，接下來繼續(xù)變一變條件，你還會求解嗎？

探究2：如圖7所示，已知橢圓+y2=1，A，B′是橢圓上位于x軸上方的兩點，直線AF和B′F′平行（F，F(xiàn)′為焦點），滿足B′F′-AF=，求直線AF的方程.

問題給出后，學生很快發(fā)現(xiàn)其本質與剛剛改編的問題相同，只要延長AF交橢圓于點B，由對稱性知BF=B′F′. 厘清問題的來龍去脈后，問題即可迎刃而解.

師：其實大家剛剛研究的例2和探究2都是高考題，現(xiàn)在你們還感覺高考題難嗎？

學生齊聲答：不難. （學生露出了自信的笑容）

設計意圖：通過一條主線將相關知識串聯(lián)起來，將復雜的內容逐漸轉向簡單化、有序化，便于學生形成清晰的知識脈絡. 以上所有探究活動都是在學生最近發(fā)展區(qū)內開展的，讓學生的思維在思辨中自然得到升華.

教學反思：數(shù)學題目雖然是復雜多變的，但是變化中蘊含著不變的規(guī)律. 如何讓學生抓住這個不變的規(guī)律而靈活應用它解決問題，需要教師在日常教學中對學生進行引導，充分挖掘題目中蘊含的信息，認清問題的本質，形成清晰的知識脈絡. 相信經歷以上過程，學生能夠體會到，學好數(shù)學并不是盲目地刷題，而是要抓住問題的本質，找到核心知識點，并通過串聯(lián)和改造的方式將其連成線、織成網(wǎng)，從而實現(xiàn)知識的舉一反三、融會貫通. 另外，在教學中，教師引導學生進行解后反思，從而發(fā)現(xiàn)了解題中的“亮點”，發(fā)現(xiàn)了意外的結論，讓學生感受到了探究的喜悅，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣.

[?] 課堂小結，融會貫通

課堂小結是課堂的重要組成部分，利用小結引導學生“回頭看”，自然地總結歸納出本節(jié)課學習的重難點，提煉出重要的思想方法，有利于學生優(yōu)化認知結構、建構知識網(wǎng)絡.

師：相信這節(jié)課大家都收獲滿滿，現(xiàn)在請大家交流一下，這節(jié)課你們都有哪些收獲？（學生積極交流，氣氛和諧）

師：誰愿意和大家分享一下呢？

生13：通過這節(jié)課我掌握了求弦長的基本方法，并知曉不同方法的優(yōu)缺點.

生14：我知道當遇到中點弦問題時，應用點差法可能更方便.

生18：我體會到“設而不求”對解決解析幾何問題的重要價值.

……

師：大家都說得非常好. 解題后大家要養(yǎng)成反思的習慣，只有不斷反思才能發(fā)現(xiàn)隱藏在問題中的秘密，才能認清問題的本質，找到解決問題的通法. 另外，解題后可以嘗試將問題“變一變”，養(yǎng)成變相探究的鉆研意識，這樣會收獲意外驚喜.

教學反思：課堂小結應以學生為主，教師切勿越俎代庖，只有聆聽學生的真實反饋，才能真正了解學生、了解教學效果，從而通過適當引導和鼓勵幫助學生實現(xiàn)知識的融會貫通.

總之，在實際教學中，教師應精心打磨教學過程，善于通過“低起點、小坡度”的問題來誘發(fā)學生深度思考，以此激發(fā)學生學習的積極性，讓學生學會學習，成就高效課堂.