張潔

[摘 ?要] 應(yīng)用類比推理思想可以將新知直觀化和熟悉化，其有利于學(xué)生自學(xué)能力和實(shí)踐能力的提升，因此其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用. 教學(xué)中教師要善于根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生認(rèn)知在各教學(xué)環(huán)節(jié)中進(jìn)行引導(dǎo)和滲透，發(fā)揮好類比推理承上啟下的作用，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)全面發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 類比推理;教育效率;學(xué)習(xí)能力

類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最為常見，因?yàn)閷蓚€(gè)屬性相同或相似的對(duì)象進(jìn)行類比，不僅可以實(shí)現(xiàn)鞏固知識(shí)的目的，而且通過類比推理使知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系和區(qū)別變得更加清晰，有利于新知內(nèi)化和舊知遷移. 同時(shí)，通過類比推理，學(xué)生可以利用已有經(jīng)驗(yàn)或已知規(guī)律對(duì)新知進(jìn)行合情推理，雖然推理過程存在一定的主觀性，結(jié)論也有一定的偶然性，但其對(duì)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展發(fā)揮著不可替代的作用. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意啟發(fā)學(xué)生多觀察、敢猜想、重聯(lián)系，充分發(fā)揮類比推理的優(yōu)勢(shì)，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)全面發(fā)展.

[?]類比推理實(shí)施的重要性

首先，類比推理有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升. 比如教學(xué)雙曲線時(shí)，由于學(xué)生有學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗(yàn)，因此本節(jié)內(nèi)容可引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理進(jìn)行自主探究. 橢圓作為圓錐曲線章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，因此前面詳細(xì)講解了其定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程、切線方程等相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生對(duì)橢圓相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的推理過程已了如指掌. 為了拓寬學(xué)生的視野，提升學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力，在雙曲線教學(xué)時(shí)可以學(xué)生為主、教師為輔，讓學(xué)生利用已有的橢圓學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)通過猜想和類比進(jìn)行自主探究，這樣通過自主探究和師生合作可輕松地理解并掌握新知.

其次，類比推理有利于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升. 教學(xué)中應(yīng)用類比推理有利于學(xué)生獲取新知，同時(shí)與已有經(jīng)驗(yàn)或生活實(shí)踐相類比可以淡化數(shù)學(xué)的抽象感，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，使學(xué)生更易于參與新知的推理和驗(yàn)證，這樣拓展學(xué)生思維的同時(shí)也提升了學(xué)習(xí)效率.

可見，應(yīng)用類比推理有助于學(xué)生學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的提升，有助于學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率的提高，因此教學(xué)中應(yīng)引起教師足夠的重視.

[?]類比推理的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類比推理有利于實(shí)現(xiàn)新知的內(nèi)化和舊知的拓展，其可以應(yīng)用于概念教學(xué)、公式和定理推導(dǎo)、總結(jié)歸納等各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，因此，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，教師都應(yīng)注意類比思想的滲透，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

1. 應(yīng)用于概念教學(xué)

高中數(shù)學(xué)中學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)很多概念，這些概念分散于每個(gè)章節(jié)，雖然各章節(jié)有著明顯的劃分，但概念相互之間存在著一定的聯(lián)系，若概念講解中不注重類比，僅從本章節(jié)的概念內(nèi)容出發(fā)，忽視概念間的聯(lián)系，則會(huì)使學(xué)生概念學(xué)習(xí)過于分散，不僅難以記憶，而且容易搞混淆. 因此，在概念教學(xué)中，教師要重視知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性，通過類比淡化概念的抽象性，促進(jìn)完整的知識(shí)脈絡(luò)的建立.

例如，在“二面角”概念教學(xué)中，教師先帶領(lǐng)學(xué)生回憶何為角，類比平面角與二面角，進(jìn)而理解和掌握“二面角”的定義;然后讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，通過觀察書本開合的過程理解“二面角”角度的變化. 此過程不僅調(diào)動(dòng)了原有認(rèn)知方便學(xué)生理解，而且聯(lián)系生活實(shí)踐使聽起來抽象的、復(fù)雜的概念通過類比變得簡(jiǎn)單明了.

2. 應(yīng)用于公式和定理推導(dǎo)

得到數(shù)學(xué)公式和定理往往需要經(jīng)歷猜想、試驗(yàn)和推理等過程，其蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵，為了提升學(xué)生應(yīng)用公式和定理的能力，教學(xué)中教師要多引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注公式和定理的推理過程.

案例1 等比數(shù)列性質(zhì)的推理.

師：在等差數(shù)列{an}中，若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），則a+a=a+a. 這個(gè)性質(zhì)的推理過程大家還記得嗎？

生齊聲答：記得！

師：很好，這是等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，在解題中有著重要的應(yīng)用. 試猜想一下，等比數(shù)列中是否也存在這樣類似的性質(zhì)呢？會(huì)是什么呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作、收集整理，學(xué)生猜想的結(jié)果大概有以下幾種：

猜想1：在等比數(shù)列{an}中，若pq=mn（p，q，m，n∈N*），則apaq=aman.

猜想2：在等比數(shù)列{a}中，若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），則apaq=aman.

猜想3：在等比數(shù)列{a}中，若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），則a+a=a+a.

猜想4：在等比數(shù)列{a}中，若pq=mn（p，q，m，n∈N*），則a+a=a+a.

從猜想的過程可以看出，學(xué)生運(yùn)用的就是類比推理的思路，即將條件和結(jié)論進(jìn)行類比后重新組合，從而得到了上面4種猜想.

師：大家的想法都很好，那么是否所有的猜想都成立呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生思考等差數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，如對(duì)稱性的證明、通項(xiàng)公式的證明）

生1：“猜想1”是不成立的.

師：請(qǐng)說一下你的思路.

生1：我是用舉例法證明的. 若等比數(shù)列{a}的前6項(xiàng)分別為1，2，4，8，16，32，取p=1，q=6，m=2，n=3，則有pq=mn，但apaq=32，aman=8，顯然apaq=aman不成立.

利用同樣的方法，學(xué)生又驗(yàn)證了其他3個(gè)猜想，發(fā)現(xiàn)只有“猜想2”是成立的. 那么“猜想2”是否真的成立呢？雖然學(xué)生利用舉例法得到“猜想2”是成立的，然其推理過程并不完整，因此教師帶領(lǐng)學(xué)生利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式繼續(xù)進(jìn)行證明：因?yàn)榈缺葦?shù)列中apaq=abp+q-2（b為等比數(shù)列的公比），aman=abm+n-2（b為等比數(shù)列的公比），由于p+q=m+n，則apaq=aman.

在猜想形成和利用通項(xiàng)公式證明的過程中都應(yīng)用了類比推理，此過程中學(xué)生既體驗(yàn)到了合情推理拓展思路的過程，又感受到了演繹推理的嚴(yán)謹(jǐn);既發(fā)散了思維，又提升了推理能力.

3. 應(yīng)用于問題解決

眾所周知，數(shù)學(xué)解題的過程就是一個(gè)合情推理的過程，學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)已知和結(jié)論的特點(diǎn)，通過觀察和猜想找到問題解決的切入點(diǎn)，再通過類比、聯(lián)想找到問題解決的突破口，最終解決問題.

案例2 設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（x）的圖像關(guān)于直線x=a和直線x=b對(duì)稱（a>b），問f（x）是否為周期函數(shù)？

題目解析：根據(jù)“f（x）的圖像關(guān)于直線x=a和直線x=b對(duì)稱”容易聯(lián)想到函數(shù)y=sinx，進(jìn)而類比f（x）與y=sinx. y=sinx有兩條對(duì)稱軸，即x=和x=-，周期為2π，恰好是-

-

的2倍. 結(jié)合類比結(jié)果提出猜想：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且周期為2（a-b）. 猜想得出后，需要進(jìn)行推理驗(yàn)證：由于函數(shù)f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱，則f（x）=f（2a-x）;又函數(shù)f（x）關(guān)于x=b對(duì)稱，則f（x）=f（2b-x）. 故f（2b-x）=f（2a-（2b-x））=f（2a-2b+x），所以f（x）=f（2b-x）=f（2a-2b+x）. 故函數(shù)f（x）是以2（a-b）為周期的周期函數(shù).

可見，通過類比推理可找到問題解決的新思路，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論. 面對(duì)一些抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生善于聯(lián)想與之相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，通過大膽猜想先得到新結(jié)論，再將抽象的問題具體化后經(jīng)過邏輯推理證明和驗(yàn)證結(jié)論. 這樣既可以發(fā)散學(xué)生的思維，拓展學(xué)生的眼界，又可以提升學(xué)生的綜合知識(shí)應(yīng)用能力，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升有著積極的推動(dòng)作用.

4. 應(yīng)用于知識(shí)拓展

數(shù)學(xué)解題能力主要考查的就是學(xué)生的綜合知識(shí)應(yīng)用能力，談到綜合應(yīng)用就需要明確各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，只有知識(shí)體系更加系統(tǒng)化和全面化，學(xué)生解題時(shí)才能根據(jù)題目的特點(diǎn)捕捉和提取有用的信息，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)重組知識(shí)，找到解題的突破口，高效解決問題. 為了讓學(xué)生更加明晰知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別和聯(lián)系，在日常教學(xué)中，尤其在復(fù)習(xí)階段要鼓勵(lì)學(xué)生善于通過類比進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的整理和歸納，從而使知識(shí)結(jié)構(gòu)更加完整和清晰，提升解題效率.

案例3 在△ABC中，求sinA+sinB+sinC的最大值.

題目解析：本題通過聯(lián)想試圖利用基本不等式直接求解顯然很難，但與不等式a+b≥2進(jìn)行類比卻有新的發(fā)現(xiàn).

若α，β∈（0，π），則sinα+sinβ=2sin·cos≤2sin，當(dāng)且僅α=β時(shí)等號(hào)成立.

由于sinA+sinB+sinC+sin≤2sin+2sin（當(dāng)A=B=C及C=時(shí)等號(hào)成立）;而2sin+2sin≤4sin=2（當(dāng)A=B=C及C=時(shí)等號(hào)成立），從而sinA+sinB+sinC≤，即sinA+sinB+sinC的最大值為.

當(dāng)然，根據(jù)基本不等式還可以得出：若α，β∈（0，π），則cosα+cosβ≤2cos;若α，β∈（0，π），則sinαsinβ≤sin2. 若將結(jié)論進(jìn)行類比還可以得出：在△ABC中，cosA+cosB+cosC≤，sinAsinBsinC≤等.

將基本不等式應(yīng)用于三角不等式中，通過類比可以找到新的解決方法，拓展解題思路，有助于學(xué)生解題能力的提升.

可見，新知與舊知相類比可以降低新知的難度，數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)踐相類比可以淡化數(shù)學(xué)的抽象感，類似的知識(shí)點(diǎn)相類比可以促進(jìn)知識(shí)的遷移和知識(shí)體系的完善，類比推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的好處多多. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，教師要重視類比推理的引導(dǎo)和滲透，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提升.