張炳年

摘? 要：算理是運(yùn)算教學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的有力支撐。在中年級小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生感受算理，通過圖像表征讓學(xué)生探究算理，借助“理”“法”融合讓學(xué)生理解算理，通過類比遷移讓學(xué)生內(nèi)化算理等。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；中年級；算理教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，并提出教學(xué)要求，能夠明晰運(yùn)算的對象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系。由此可見，算理教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的重要途徑。算理教學(xué)是以感受算理、探究算理、理解算理和內(nèi)化算理為主的活動。算理是數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中蘊(yùn)含的道理，是數(shù)學(xué)運(yùn)算技能操作步驟和程序的理論依據(jù)，由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等構(gòu)成。掌握算理，可以使學(xué)生做到不僅知其然，而且知其所以然，掌握算法，靈活運(yùn)算，同時增強(qiáng)運(yùn)算認(rèn)知，提高運(yùn)算水平，發(fā)展運(yùn)算能力。鑒于此，在小學(xué)中年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師依據(jù)算理教學(xué)內(nèi)涵，以感受算理、探究算理、理解算理和內(nèi)化算理為重點(diǎn)，應(yīng)用多樣化的策略實(shí)施算理教學(xué)，助推學(xué)生提升運(yùn)算能力。

一、創(chuàng)設(shè)情境，感受算理

《標(biāo)準(zhǔn)》提出，在實(shí)際情境中，運(yùn)用數(shù)和數(shù)的運(yùn)算解決問題。算理是數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的重要內(nèi)容，枯燥乏味，加之大部分小學(xué)生本就缺乏運(yùn)算興趣，排斥探究算理。在小學(xué)中年級數(shù)學(xué)課堂上，教師可以結(jié)合算理內(nèi)容創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，增強(qiáng)算理教學(xué)的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生體驗情境，初步感受算理。

例如，在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）三年級上冊“萬以內(nèi)的加法和減法（一）”第1課時“兩位數(shù)加兩位數(shù)”這節(jié)課時，教師可以利用電子白板展現(xiàn)各種生活中的畫面創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，如各班級郊游排隊的畫面、購買學(xué)習(xí)用品結(jié)賬的畫面、家庭一個季度用水的畫面等。這些畫面都是學(xué)生熟悉的，他們很容易走進(jìn)生活場景中。此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察，從畫面中提煉數(shù)學(xué)問題。在提煉問題時，學(xué)生積極思維，遷移已有經(jīng)驗，列出兩位數(shù)加兩位數(shù)的算式。在學(xué)習(xí)該內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)加一位數(shù)的加法內(nèi)容，積累了運(yùn)算經(jīng)驗。對于自己列出的算式，學(xué)生遷移已有經(jīng)驗，能夠嘗試運(yùn)算。

生活情境為學(xué)生提供了感受算理的支撐，嘗試運(yùn)算為學(xué)生提供了探究算理的機(jī)會，便于學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，深入探究算理。

二、圖形表征，探究算理

引導(dǎo)學(xué)生探究算理，是數(shù)學(xué)算理教學(xué)的重中之重。算理具有抽象性，而小學(xué)生的形象思維較為發(fā)達(dá)。圖形表征是化抽象為直觀的具體表現(xiàn)，為學(xué)生提供了鍛煉形象思維的機(jī)會，能夠助力學(xué)生從直觀現(xiàn)象中獲取數(shù)學(xué)認(rèn)知。對此，教師可以發(fā)揮圖形表征的作用，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從直觀模型到抽象感知的過程。直觀模型類型多樣，如數(shù)學(xué)小棒、點(diǎn)子圖、小方塊等。在課堂上，教師要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，選擇適宜的直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮形象思維的作用，積極探究算理。

例如，在教學(xué)教材三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”第4課時“筆算乘法”這節(jié)課時，教師可以利用點(diǎn)子圖引導(dǎo)學(xué)生探究算理。具體地，教師先創(chuàng)設(shè)生活情境：為了使學(xué)生在課后服務(wù)期間能與書為伴，老師準(zhǔn)備購買一批圖書。這批圖書每套有14本，老師準(zhǔn)備買13套。試問老師一共會買多少本圖書呢？在生活情境的作用下，學(xué)生拿出點(diǎn)子圖，遷移點(diǎn)子圖的認(rèn)知情況，自覺操作。有的學(xué)生在橫排數(shù)出13個點(diǎn)，表示老師買了13套書，在縱列數(shù)出14個點(diǎn)，表示每套書中有14本。然后，學(xué)生圈出所有點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)老師購買圖書的數(shù)目就是所有點(diǎn)的數(shù)量。基于學(xué)生的表現(xiàn)，教師引導(dǎo)他們用點(diǎn)子圖口算14 × 13。在口算的過程中，學(xué)生將14 × 13看作14 × 10和14 × 3，或?qū)?4 × 13看作10 × 13和4 × 13，然后利用加法進(jìn)行運(yùn)算得出結(jié)果。之后，教師列分步豎式進(jìn)行運(yùn)算，讓學(xué)生觀看。同時，教師鼓勵學(xué)生對比點(diǎn)子圖、口算和分步豎式的異同點(diǎn)。通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然方法不同，但都是三步運(yùn)算?；诖?，教師指導(dǎo)學(xué)生將三個分步算式合為一個算式，總結(jié)算法。

實(shí)踐證明，學(xué)生與直觀模型互動的過程正是其探究算理的過程。在此過程中，學(xué)生不僅可以探究算理，還可以獲取算法，便于加深對所學(xué)知識的理解。

三、“理”“法”融合，理解算理

算理主要解決“為什么這樣算”的問題，算法主要解決“怎樣算”的問題。其中，算理是數(shù)學(xué)基本原理的具體表現(xiàn)，算法是特定運(yùn)算法則的外在表現(xiàn)。“理”“法”融合，可以使學(xué)生在用算理統(tǒng)領(lǐng)算法時，發(fā)現(xiàn)不同算法的共性，增強(qiáng)對算理的認(rèn)知，還可以使學(xué)生在用算法進(jìn)行實(shí)踐時，總結(jié)算理。由此可見，教師融合“理”“法”，可以幫助學(xué)生理解算理。

例如，在教學(xué)教材四年級下冊“小數(shù)的加法和減法”第1課時“位數(shù)相同的小數(shù)的加法和減法”這節(jié)課時，教師可以在黑板上寫出算式6.45 + 4.29，鼓勵學(xué)生自主運(yùn)算。在此過程中，部分學(xué)生遷移已有經(jīng)驗，用豎式法進(jìn)行運(yùn)算，將小數(shù)點(diǎn)對齊。部分學(xué)生嘗試將6.45轉(zhuǎn)化為6元4角5分，將4.29轉(zhuǎn)化為4元2角9分，用元 + 元、角 + 角、分 + 分的方式進(jìn)行運(yùn)算。規(guī)定時間結(jié)束后，教師鼓勵學(xué)生介紹自己使用的方法。雖然學(xué)生使用了不同的算法，但是算理相同，都是相同的運(yùn)算單位才能相加。此時，教師把握時機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生對比不同的算法，探尋共通之處。在對比的過程中，學(xué)生積極思維，總結(jié)算理。教師則趁機(jī)講解位數(shù)相同的小數(shù)的加法和減法的相關(guān)內(nèi)容，并設(shè)計其他題目，驅(qū)動學(xué)生運(yùn)算。

如此教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了以算理統(tǒng)領(lǐng)算法，便于學(xué)生透過算法發(fā)現(xiàn)算理，加深對算理的理解。同時，很多學(xué)生也因此得到多樣化的解決問題的方法，便于開拓他們的思維，為進(jìn)一步探究、理解算理奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。

四、類比遷移，內(nèi)化算理

算理不是獨(dú)立存在的。某一算理與不同算法背后的算理有著一定聯(lián)系。學(xué)習(xí)就是形成一種情境與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)——學(xué)習(xí)遷移。在此理論的指引下，教師可以開展運(yùn)算活動，引導(dǎo)學(xué)生探尋不同的算法，并對比算法，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，就此進(jìn)行類比遷移，發(fā)現(xiàn)算法背后的算理聯(lián)系，由此歸納算理，并進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算靈活應(yīng)用算理和算法實(shí)現(xiàn)有效內(nèi)化，提高算理學(xué)習(xí)效果。

例如，在教學(xué)教材四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”第3課時“因數(shù)中間、末尾沒有0”這節(jié)課時，在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的作用下，學(xué)生很容易聯(lián)想到兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法。此時，教師可以鼓勵學(xué)生嘗試遷移兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，進(jìn)行三位數(shù)乘兩位數(shù)的運(yùn)算。在運(yùn)算的過程中，學(xué)生用兩位數(shù)個位上的數(shù)與三位數(shù)相乘，乘得的結(jié)果末尾與個位對齊，再用兩位數(shù)十位上的數(shù)與三位數(shù)相乘，乘得的結(jié)果末尾與十位對齊，然后把兩次乘得的結(jié)果相加。在此算法的支撐下，學(xué)生繼續(xù)遷移已有認(rèn)知，自主歸納算理：用兩位數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得積的末位就和那一位對齊?；诖?，教師呈現(xiàn)相關(guān)運(yùn)算題目，如145 × 12，132 × 45等，促使學(xué)生應(yīng)用算理認(rèn)真計算，扎實(shí)掌握算法。

由此可見，學(xué)生通過遷移已有認(rèn)知進(jìn)行自主運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)算法背后的算理，增強(qiáng)運(yùn)算認(rèn)知，可以收到良好的算理學(xué)習(xí)效果。

綜上所述，實(shí)施算理教學(xué)有利于學(xué)生有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。由此，在實(shí)施小學(xué)中年級數(shù)學(xué)教學(xué)時，教師要在《標(biāo)準(zhǔn)》的指引下，高度重視算理教學(xué)，并以教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，應(yīng)用適宜策略，引導(dǎo)學(xué)生與算理“互動”，建構(gòu)良好認(rèn)知，提高運(yùn)算水平，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

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