陳怡穎，王子竹

(電子科技大學(xué)基礎(chǔ)與前沿研究院 成都 611731)

量子理論作為現(xiàn)代物理的兩大基石之一，為物理研究提供了全新的表達(dá)方法。然而，量子系統(tǒng)作為一個(gè)基于四大基本假設(shè)提出的數(shù)學(xué)空間，其數(shù)學(xué)符號(hào)和動(dòng)力學(xué)方程并不能體現(xiàn)出自然的物理原理。眾所周知，狹義相對(duì)論可以從“慣性參考系的等價(jià)性”和“光速不變”兩大公理中完整推導(dǎo)出來，因此，眾多物理學(xué)家試圖尋找隱藏在量子理論的數(shù)學(xué)描述中的物理原理。

1935 年 ， Albert Einstein、 Boris Podolsky、Nathan Rosen 三位物理學(xué)家提出了第一個(gè)物理原理[1]：定域?qū)嵲谡?local realism)，并對(duì)量子力學(xué)的哥本哈根詮釋提出質(zhì)疑：量子力學(xué)對(duì)物理實(shí)在的描述是完備的嗎？文章建立在定域?qū)嵲谡摰募僭O(shè)之下，規(guī)定在某區(qū)域發(fā)生的事件以不超過光速的傳遞方式影響其他區(qū)域，且認(rèn)為在系統(tǒng)不受任何干擾的情況下，如果可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)某物理量的值，那么該物理量具有實(shí)在性。文章表明，若定域?qū)嵲谡摮闪?，則可以推導(dǎo)出量子力學(xué)不完備。這就是量子力學(xué)史上著名的“EPR 佯謬”。

然而，“EPR 佯謬”并沒有提出一個(gè)好的辦法能夠檢驗(yàn)量子力學(xué)是否提取出與定域?qū)嵲谡撚嘘P(guān)的物理原理，將兩者進(jìn)行公平地比較。這導(dǎo)致物理界對(duì)“EPR 佯謬”的可靠性爭(zhēng)論不休。一方面，Niels Bohr 作為哥本哈根學(xué)派的創(chuàng)始人之一對(duì)“EPR 佯謬”提出異議[2]。他認(rèn)為量子力學(xué)中的物理量與測(cè)量情景密切相關(guān)，這使得“EPR 佯謬”物理實(shí)在性在量子物理中的定義本質(zhì)上模糊不清，其結(jié)論并不可靠。另一方面，David Bohm 認(rèn)為存在一個(gè)沒法觀察到，但又存在的確定性物理機(jī)制阻礙了量子力學(xué)的完備性。1952 年，Bohm 提出量子力學(xué)的隱變量因果解釋[3-4]，試圖從量子力學(xué)的概率特征中找到一種潛在的不可訪問的機(jī)制原理，能夠驗(yàn)證“EPR 佯謬”。雖然Bohm 的隱變量不滿足定域性，但其觀點(diǎn)促進(jìn)了一系列關(guān)于隱變量理論的物理原理研究。

1964 年，John Bell 首次提出將定域?qū)嵲谡撝械奈锢砀拍钐崛〕鰜?，用一個(gè)不依賴于特定理論形式的數(shù)學(xué)模型表示[5]。文章將量子力學(xué)和定域?qū)嵲谡摲湃肫渲羞M(jìn)行平等地比較，證明量子力學(xué)不能用局部隱藏變量理論(local hidden variable theory, LHVT)解釋。Bell 的理論框架采用黑盒思想(black-box principle)，將實(shí)驗(yàn)室描述成具有有限輸入、輸出集的黑盒子。Bell 根據(jù)定域?qū)嵲谡撟龀黾僭O(shè)，分離的黑盒之間不存在超光速通信。因此，所有輸入輸出之間的關(guān)聯(lián)性都來源于黑盒之間共享的資源。如圖1，以兩體系統(tǒng)為例，Alice 和Bob 的輸入值分別為 {x,y} ， 輸出值分別為 {a,b}。因此，局域隱藏變量模型可以理解為Alice 和Bob 之間共享一種不可測(cè)量的資源λ，或者說具有共同的策略λ。

圖1 兩體局域隱藏變量模型

種種研究和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明量子態(tài)可以是一種非定域資源，以某些量子態(tài)為資源的信息傳輸似乎能夠以超光速行進(jìn)。隨著量子力學(xué)中量子糾纏這一概念慢慢被人們熟知，物理學(xué)家們開始分析非定域和糾纏的關(guān)系。事實(shí)上，兩個(gè)概念并不是等價(jià)的，不是所有的糾纏態(tài)都可以破壞Bell 不等式，非定域性是比糾纏更強(qiáng)的量子特性[12]。Bell 非定域性與同時(shí)期進(jìn)行的量子互文性的研究構(gòu)成了對(duì)物理實(shí)在性理解的兩大沖擊[13]。量子互文性來自于Andrew Gleason 對(duì)希爾伯特空間的封閉子空間上的測(cè)度研究[14]。Gleason 證明了所有這樣的測(cè)度都可以用量子物理的測(cè)量基本假設(shè)構(gòu)造出來：測(cè)量結(jié)果的概率為測(cè)量算符與被測(cè)量的密度矩陣乘積的跡。Kochen-Specker(KS)定理表明Gleason 的上述定理直接決定了某些滿足物理實(shí)在性要求的測(cè)量結(jié)果并不是確定性的，而是和這些測(cè)量算符與另外哪些測(cè)量算符放在一起測(cè)量有關(guān)[15]。通過對(duì)Bell 定理和KS 定理的研究，可以得出結(jié)論：物理實(shí)在性并不像“EPR 佯謬”所描述的那么經(jīng)典[16-18]。

可以看出，Bell 定理啟發(fā)了物理界對(duì)定域性、物理實(shí)在性等一系列物理概念的深入理解，對(duì)量子基礎(chǔ)研究的貢獻(xiàn)功不可沒。Bell 的模型框架作為定域?qū)嵲谡摰某橄蟊硎?，為后續(xù)物理學(xué)家們從量子力學(xué)中總結(jié)出物理原理提供良好工具。概率和概率關(guān)聯(lián)性是任何物理理論都可以實(shí)現(xiàn)的物理量，是一種基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。因此，局域隱變量模型可以看作是一種與某個(gè)具體的理論無關(guān)的物理原理表示。這一思想又被稱為器件無關(guān)原理(device-independent principle)，這樣一種脫離物理實(shí)驗(yàn)器件限制的統(tǒng)一模型可以用于公平地比較量子理論與其他可能的理論，更好地了解量子理論的顯著特征。這是一個(gè)剝離物理概念的過程，讓其盡可能地?cái)[脫其物理載體的限制，凝練出具有普適意義的物理原理。這樣的一個(gè)過程在其他領(lǐng)域也有類似的例子。在計(jì)算領(lǐng)域，人們將算術(shù)從算盤或計(jì)算器等物理載體中抽離出來，把算術(shù)規(guī)律抽象成不拘泥于器件形式的算法用以開展研究。器件無關(guān)原理貫徹整個(gè)“重構(gòu)量子理論”基礎(chǔ)研究，是一種重要的思考方式。

1992 年，在Bell 模型的基礎(chǔ)上，“無信令”原理作為相對(duì)論因果律在量子力學(xué)中的對(duì)應(yīng)原理，從量子理論中抽象出來[19]。相對(duì)論因果律在物理系統(tǒng)中被描述為“子系統(tǒng)之間的信息傳輸速度不得超過光速”，文獻(xiàn)[19]將該物理概念凝練為量子理論的“無信令”原理(no-signaling principle)。如圖2 所示，其本質(zhì)上描述的是任何子系統(tǒng)的測(cè)量和其他子系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果之間的獨(dú)立性。該模型和Bell 局域隱變量模型類似，可以將“無信令”原理投射到與某個(gè)特定物理理論無關(guān)的廣義模型中使用。準(zhǔn)確地說，“無信令”模型又稱為PR box，可以看作是Bell 局域隱變量模型進(jìn)一步放寬對(duì)子系統(tǒng)間關(guān)聯(lián)的限制，黑盒之間不再共享資源。

圖2 兩體“無信令”模型圖

一時(shí)之間，如何找到準(zhǔn)確刻畫量子理論的物理原理成為了諸多物理學(xué)家關(guān)注的熱點(diǎn)。為達(dá)到重構(gòu)量子力學(xué)的最終目的，不僅要從實(shí)際應(yīng)用的物理理論中剝離可靠的物理原理，還需要通過一些操作性語(yǔ)言推導(dǎo)已知的物理原理，復(fù)原理論結(jié)構(gòu)，以確保物理原理是量子理論的充分必要條件[20-22]。這樣一種推導(dǎo)物理原理以重構(gòu)物理理論的過程類似于計(jì)算領(lǐng)域中通過用編程語(yǔ)言操縱數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)抽象的算法的過程。諸多物理學(xué)家紛紛嘗試在此領(lǐng)域深耕，以期探尋其中的奧秘[23-25]。

廣義概率論(generalized probability theories, GPT)便是物理學(xué)家們提出的第一種“編程語(yǔ)言”[26-27]。廣義概率論作為一個(gè)用于實(shí)現(xiàn)物理原理的操作性框架，不受特定理論的限制，延續(xù)和推廣了Bell 模型的基本思路。該理論以黑盒為研究單位，帶有限輸入、輸出集的黑盒之間可以通過并行或串行的方式組合成復(fù)合系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上考慮物理系統(tǒng)的狀態(tài)、演化和測(cè)量[28]。該框架中的所有理論，包括經(jīng)典理論和量子理論，都具有兩個(gè)基本的共性：1) 子系統(tǒng)之間遵循“無信令”原則；2) 復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)可以由定域測(cè)量結(jié)果之間的關(guān)聯(lián)性決定。

這樣一個(gè)脫離量子物理形式的統(tǒng)一操作語(yǔ)言試圖利用提取的簡(jiǎn)單物理原理作為條件，推理出一系列思想理論。通過附加或者放寬某些物理原理的限制實(shí)現(xiàn)對(duì)理論的調(diào)整，使其最終等價(jià)于量子理論。其中最具代表性的理論為廣義無信號(hào)理論[29](generalized nonsignaling theory, GNST)，又稱為盒世界理論[30](box world)。這一理論僅由“無信令”公理刻畫，是非定域性最強(qiáng)的理論，量子理論中被認(rèn)為特殊的性質(zhì)在該理論中變得非常普遍。研究盒世界理論對(duì)于了解量子理論的特性，探究量子理論的理論構(gòu)造有著十分重要的意義。

隨著量子信息理論的新興和發(fā)展，越來越多的人開始注意到量子計(jì)算具有明顯的優(yōu)勢(shì)，理論的非定域性在信息處理上能夠提升通信協(xié)議[31-34]。2007年，文獻(xiàn)[29]試圖從信息處理的角度建立GPT 的操作語(yǔ)言，研究物理理論的信息計(jì)算特點(diǎn)，為量子理論的研究提供了新的思路。包括在GPT 操作框架下深入研究盒世界的物理性質(zhì)[30]，以及從量子計(jì)算等方面研究量子電路和盒世界電路的計(jì)算能力[35-37]。研究發(fā)現(xiàn)，盡管盒世界擁有更強(qiáng)的量子非定域關(guān)聯(lián)，其幾何對(duì)偶的測(cè)量空間卻有相對(duì)定域的性質(zhì)，不存在類似量子隱形傳輸(quantum teleportation)、量子稠密編碼(quantum dense coding)等非定域的測(cè)量性質(zhì)。

此外，與GPT 操作框架中根據(jù)物理原理重建理論不同，不少物理學(xué)家延續(xù)了“無信令”原理的思想，僅用某些物理原理約束即可推導(dǎo)量子理論的概率相關(guān)性，無需進(jìn)一步將理論細(xì)化。如：信息因果原理[38-39](information causality)，宏觀定域原理[39-40](macroscopic locality)和定域正交原理[41-42](local orthogonality)，但這些原理都不能將量子關(guān)聯(lián)性和其他非定域關(guān)聯(lián)性完全區(qū)分開來。目前為止，最為貼近量子物理特征的理論描述是“Almost quantum”的理論[43]。

另一方面，既然相對(duì)論因果律作為唯一刻畫量子理論的物理原理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，一些物理學(xué)家試圖從反向推理。相對(duì)論因果律確定了概率模型中各個(gè)黑盒子之間的因果順序，且物理原理的普適性要求黑盒內(nèi)部的運(yùn)行機(jī)制不拘泥于某一理論形式；相反，若指定概率模型中每個(gè)黑盒子內(nèi)部遵循某一特定理論，允許黑盒之間的因果順序存在不同方式的組合，只要求其滿足該理論的基本數(shù)學(xué)描述，所有黑盒子之間的概率關(guān)聯(lián)性滿足現(xiàn)有的因果律嗎？答案是否定的。

2012 年，全局因果結(jié)構(gòu)在量子物理中受到新框架模型的挑戰(zhàn)[44]：當(dāng)不再對(duì)全局因果順序做出假設(shè)，規(guī)定個(gè)體實(shí)驗(yàn)室內(nèi)部產(chǎn)生輸出的過程服從量子力學(xué)時(shí)，該物理系統(tǒng)的粒子關(guān)聯(lián)性將如何描述？該框架模型建立在器件無關(guān)思想下，通過研究黑盒的輸入輸出信息剖析其中的全局因果結(jié)構(gòu)。為更好地描述各個(gè)黑盒與系統(tǒng)整體的信息，文章利用Choi-Jamio?kowsky 同 構(gòu) (Choi-Jamio?kowsky isomorphism)構(gòu)造高維的量子超映射M(quantum supermap)[45]和過程矩陣W(process matrix)。量子超映射作為將量子操作映射到量子操作的高階變換，體現(xiàn)了物理系統(tǒng)內(nèi)部的全部操作信息，而過程矩陣作為系統(tǒng)外部信息的高階映射，表示物理系統(tǒng)的整體因果結(jié)構(gòu)。文章通過物理系統(tǒng)的量子超映射M及過程矩陣W，將判斷物理系統(tǒng)是否具有全局因果結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)從“物理系統(tǒng)是否打破因果不等式”簡(jiǎn)化為“過程矩陣是否可寫成單信道系統(tǒng)過程矩陣的凸組合形式”，最終得出結(jié)論：在子系統(tǒng)遵循量子力學(xué)但不考慮各個(gè)子系統(tǒng)之間因果順序的前提下，物理系統(tǒng)可能出現(xiàn)違背因果不等式的關(guān)聯(lián)性。這種奇特的因果順序是否真的違背了量子理論？物理學(xué)家們并不能找到確鑿的證據(jù)肯定地回答這個(gè)問題：量子理論或許比我們先前的理解更加匪夷所思。

文獻(xiàn)[44]的思想啟發(fā)了人們對(duì)因果結(jié)構(gòu)的研究，開始展開一系列在此基礎(chǔ)上的針對(duì)經(jīng)典理論的分析。當(dāng)物理系統(tǒng)局限于經(jīng)典概率理論中時(shí)，三體及以上的多體系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)未預(yù)定義的因果關(guān)聯(lián)(correlations without predefined causal order)[46]。不僅如此，過程矩陣W在經(jīng)典系統(tǒng)中存在等價(jià)表征，在幾何上可以表示為不確定因果結(jié)構(gòu)組成的凸多胞體，用于優(yōu)化因果博弈問題[47]。針對(duì)經(jīng)典系統(tǒng)的系統(tǒng)研究進(jìn)一步發(fā)展和豐富了物理理論中因果結(jié)構(gòu)的研究。

隨著量子計(jì)算的發(fā)展，量子電路開始走進(jìn)人們的視野，其中量子電路中對(duì)操作順序的控制是真正實(shí)現(xiàn)廣義量子電路的關(guān)鍵[48]。電路控制作為量子電路中因果結(jié)構(gòu)最直接的體現(xiàn)，引發(fā)物理學(xué)家們展開一系列研究。2021 年，針對(duì)操作控制的量子電路系統(tǒng)理論在具有不同控制的電路中分類討論了量子超映射[49]。其中包括利用經(jīng)典態(tài)控制因果順序的經(jīng)典開關(guān)[50](classical switch)，以及利用量子態(tài)控制因果順序的量子開關(guān)(quantum switch)[50]等。此外，一系列相關(guān)研究進(jìn)一步闡明了不確定的因果順序在量子信息處理中具有一定優(yōu)勢(shì)[51-72]。

多年來，物理學(xué)家們不斷地嘗試從實(shí)際應(yīng)用的量子力學(xué)中抽象出所有物理原理，并利用這些物理原理重新推導(dǎo)量子理論的邏輯結(jié)構(gòu)。各方圍繞“重構(gòu)量子理論”這一深刻的基礎(chǔ)問題展開了諸多討論，試圖找到理解量子理論的關(guān)鍵線索。為梳理研究脈絡(luò)及未來研究方向，本文首先引入研究通過物理原理刻畫真實(shí)與假想物理理論關(guān)聯(lián)性強(qiáng)度的重要工具——廣義概率論，以及其中的典型非定域理論——盒世界理論。隨后，介紹一系列嘗試用于唯一定義量子關(guān)聯(lián)性的器件無關(guān)原理。最后，文章介紹量子物理研究中的另一奇特現(xiàn)象——不確定的因果結(jié)構(gòu)，及其在量子電路中的應(yīng)用。

1 廣義概率論(generalized probability theories, GPT)

1.1 基本性質(zhì)

廣義概率論是不拘泥于特定物理理論的一般操作框架，通過推導(dǎo)從物理概念中抽離出來的物理原理構(gòu)造某一假想理論，從而驗(yàn)證物理原理和物理理論是否一一對(duì)應(yīng)。經(jīng)典概率論和量子理論只是作為其中的特例出現(xiàn)。廣義概率論旨在通過通用的概率關(guān)聯(lián)性語(yǔ)言和操作要素研究不同的物理理論，體現(xiàn)了器件無關(guān)原理的中心思想。該理論作為一種操作工具，有助于人們利用其對(duì)不同理論的物理原理展開調(diào)整或修改，從而復(fù)現(xiàn)量子物理的基本結(jié)構(gòu)。

2001 年文獻(xiàn)[28]提出通過5 個(gè)公理推導(dǎo)量子物理。為得到與設(shè)備無關(guān)的廣義操作模型，文章研究最普適的量子演化類型，將典型的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景概括為3 個(gè)部分：制備裝置、變換裝置和測(cè)量裝置。這一普適化的實(shí)驗(yàn)框架為GPT 理論的發(fā)展和豐富奠定了基礎(chǔ)。

1.2 盒世界理論 (box world)

GPT 理論通過一些簡(jiǎn)明扼要的公理刻畫物理理論，試圖從通過對(duì)這些公理進(jìn)行微調(diào)找出量子理論的物理特性。盒世界理論作為其中非定域性最強(qiáng)的理論，在對(duì)比研究量子理論方面具有十分重要的研究?jī)r(jià)值。盒世界理論是一個(gè)僅由“無信令”原理刻畫的理論，其概念起源于根據(jù)相對(duì)論因果關(guān)系提出的一種稱為PR box 的無信令物理模型[19]。該模

2009 年，文獻(xiàn)[30]對(duì)盒世界理論的測(cè)量空間進(jìn)行了全面詳盡的研究。文章指出，盒世界理論中有一類稱為“基本測(cè)量”(basic measurements)的系統(tǒng)測(cè)量，可以分解為一系列順序作用于子系統(tǒng)的基準(zhǔn)測(cè)量，且基準(zhǔn)測(cè)量之間存在明確的關(guān)聯(lián)。后面執(zhí)行的基準(zhǔn)測(cè)量xi∈{0,1}選擇取決于前一個(gè)測(cè)量ai?1∈{0,1}的 結(jié)果，且最終的系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果r可以看作基準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果a的 函數(shù)r=f(a)。總的來說，基本測(cè)量可以看作是一套具有確定順序的系統(tǒng)測(cè)量方案。如圖3，以一個(gè)作用于兩體系統(tǒng)的基本測(cè)量m1為 例，m1可以分解為如下過程：首先選取基準(zhǔn)測(cè)量x2=0作用于子系統(tǒng)Bob，并產(chǎn)生第一個(gè)基準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果a2。接著進(jìn)行第二個(gè)子系統(tǒng)Alice 基準(zhǔn)測(cè)量，其測(cè)量選擇等于第一個(gè)基準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果，即x1=a2， 最后，系統(tǒng)結(jié)果r由函數(shù)r=a1給出。其數(shù)學(xué)描述如式(6)，元素m(a1,a2|x1,x2)=1表示執(zhí)行結(jié)果為a1,a2的系統(tǒng)測(cè)量x1,x2。根據(jù)基本測(cè)量中的關(guān)聯(lián)性x1=a2=0/1，可以得出，所有實(shí)現(xiàn)的分量中若m(a1,a2|x1,x2)=1，則一定存在非零元素

圖3 兩體系統(tǒng)基本測(cè)量示意圖

該文章證明當(dāng)物理系統(tǒng)為單體或兩體系統(tǒng)時(shí)，盒世界理論中的所有有效測(cè)量都可以看作是基本測(cè)量的凸組合。其中，單體系統(tǒng)的所有合法測(cè)量都對(duì)應(yīng)一個(gè)等價(jià)的基準(zhǔn)測(cè)量，符合基本測(cè)量的定義。換句話說，單體或兩體系統(tǒng)中的合法測(cè)量都可以分解為一系列輸入與其他輸出相關(guān)聯(lián)的基準(zhǔn)測(cè)量的凸集合。然而，這種直覺上順理成章的定理在三體及以上的多體盒世界理論中卻不成立。文章指出，三體系統(tǒng)中存在無法分解成基本測(cè)量的合法測(cè)量。文獻(xiàn)給出如下示例，測(cè)量m2是一個(gè)合法的三體系統(tǒng)測(cè)量。通過矩陣表示可知，實(shí)現(xiàn)的測(cè)量分量有m(001|000),m(110|000),m(000|100),m(100|100),m(101|010),m(111|010),m(010|001),m(011|001)。可以看到所有執(zhí)行的測(cè)量ai及 結(jié)果xj中 ，并無關(guān)聯(lián)性存在。m2無法通過基本測(cè)量復(fù)原，是一類特殊的合法測(cè)量。

文獻(xiàn)[30]的發(fā)現(xiàn)使物理界開始關(guān)注合法態(tài)空間和合法測(cè)量空間之間的平衡關(guān)系。此外，盒世界理論在態(tài)空間和測(cè)量空間上極大的非定域性反差使得該理論在解決計(jì)算問題方面的能力變得撲朔迷離，盒世界理論會(huì)擁有比量子理論更強(qiáng)大的計(jì)算能力，亦或是和經(jīng)典理論不相上下？

為探究這一問題，文獻(xiàn)[36]從算法的角度重新解讀GPT，定義與之相對(duì)的計(jì)算操作電路，試圖分析這類基于基本物理原理的廣義理論的計(jì)算能力，和量子理論一決高下。文獻(xiàn)[73]將GPT 框架內(nèi)任意理論G 能有效解決問題的復(fù)雜度類定義為BGP。當(dāng)理論G 指定為量子理論時(shí)，該復(fù)雜度類特指BQP[73]；若理論G 指定為經(jīng)典理論，則復(fù)雜度類相應(yīng)地類比為BPP。文章證明BGP 類包含于經(jīng)典復(fù)雜度類AWPP[74](A WPP ?PP ?PSPACE) 中，即BGP ?AWPP ?PP ?PSPACE。事實(shí)上，AWPP 經(jīng)常出現(xiàn)在量子計(jì)算背景下，AWPP 是BQP 計(jì)算上限的最小經(jīng)典復(fù)雜度類。文章的結(jié)論表明，量子理論中已知的結(jié)論 B QP ?AWPP[75]在GPT 中普遍存在，任何遵循層析定域性(tomographic locality)，即復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)可以由定域的測(cè)量刻畫的理論都包含于AWPP 內(nèi)。不僅如此，一些僅遵守層析定域性而違背“無信令”因果原則的理論也存在這樣的結(jié)論。這一結(jié)論為量子計(jì)算帶來全新的思路：不受因果律限制的量子理論或許可以有效解決某些對(duì)現(xiàn)有量子計(jì)算機(jī)來說很難的問題[76]。

除此之外，研究證明具備對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行后選擇(post-selection)能力的量子理論復(fù)雜度類PostBQP等價(jià)于概率圖靈機(jī)(probabilistic Turing machine)在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)可解決的一類決策問題PP，即PostBQP=PP。由PostBGP ?PP 可以得出，任意遵循層析定域性的后選擇GPT 理論P(yáng)ostBGP 能夠有效解決的問題都可以被后選擇量子計(jì)算機(jī)有效解決。因此在后選擇前提下，量子理論在所有GPT理論中是最優(yōu)的理論。另一方面，文獻(xiàn)[37]提出，若放寬對(duì)量子態(tài)的限制，存在一個(gè)由層析定域性和“無信令”因果性刻畫的非理論G，使得BGP=AWPP，且BQP 無法到達(dá)該邊界。這表明AWPP 服從因果律，任何非因果的層析定域理論都可以由遵循因果定律的計(jì)算模型有效模擬。該結(jié)論清晰地闡述了非定域關(guān)聯(lián)性和計(jì)算能力之間的關(guān)系，非定域性越強(qiáng)的理論在計(jì)算能力上有越強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)性。

這一系列針對(duì)計(jì)算復(fù)雜度的理論研究一方面從信息論的角度提取GPT 理論的物理特性，總結(jié)物理原理；另一方面分析所有非定域關(guān)聯(lián)性集合的計(jì)算能力，致力于探究量子計(jì)算優(yōu)勢(shì)的物理源頭，并將該計(jì)算優(yōu)勢(shì)合理最大化，為尋找更多的存在量子加速的算法提供指引。

2 三大量子原理

歸根結(jié)底，GPT 框架研究的最終目的是將已知的物理原理放在包括態(tài)制備、演化、測(cè)量的統(tǒng)一操作框架下推導(dǎo)出一系列與量子理論相似的物理理論，并通過對(duì)物理原理對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)描述進(jìn)行微調(diào)使其最終成為量子理論。另一方面， PR box利用描述量子關(guān)聯(lián)性的Bell 廣義模型從量子力學(xué)中提煉和相對(duì)論因果律相關(guān)的“無信令”原理[19]。這項(xiàng)工作為尋找量子物理的信息原理研究提供了另一種思路：根據(jù)物理理論在系統(tǒng)中產(chǎn)生的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行分類和研究，從中抽象出物理原理。這種方法僅從觀察到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中考慮原理，而無需對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行任何理論建模。盡管“無信令”原理的研究表明兩者無法完全刻畫量子關(guān)聯(lián)性，但仍激發(fā)了物理學(xué)家們繼續(xù)探索一種具有深刻洞察力的物理原理，為量子關(guān)聯(lián)性的非定域程度做出直觀解釋[39,77]。經(jīng)過一系列的探索，物理學(xué)家們總結(jié)出器件無關(guān)原則下的三大物理原理：信息因果原理、宏觀定域原理和定域正交原理。這些物理原理試圖從不同角度證明量子理論之外的關(guān)聯(lián)性違反這些合理原則。

2.1 信息因果原理(information causality)

圖4 隨機(jī)訪問編碼任務(wù)示意圖

為了排除盒世界等非定域性強(qiáng)于量子關(guān)聯(lián)性的理論，文獻(xiàn)[38]對(duì)共享資源提出限制，要求共享的資源不能提供Alice 有關(guān)x的任何信息，并提出信息因果原理的明確定義：利用所有的本地資源和帶寬為m比 特的經(jīng)典信道，Bob 可以最多獲得m比特關(guān)于Alice 未知數(shù)據(jù)的信息。為進(jìn)一步量化Bob和Alice 之間的共享信息，定義Bob 輸出數(shù)組 βy攜帶關(guān)于xy信息量的互信息(mutual information)為：

信息因果原理可以在(2,2,2,2)實(shí)驗(yàn)中復(fù)現(xiàn)Tsirelson 界限[80]，從而從眾多GPT 理論中挑出量子理論，這使得信息因果原理被許多物理學(xué)家視作量子理論基本原理的候選。在把它當(dāng)作量子物理的基本原理之前還有一些問題需要進(jìn)行深入研究。一方面，違背信息因果原理的必要條件尚不清楚[81]；另一方面，將其應(yīng)用于多體量子系統(tǒng)的方案實(shí)現(xiàn)也困難重重[82]。但不可否認(rèn)的是，信息因果原理是量子理論擁有的自然屬性，是區(qū)別于其他非定域關(guān)聯(lián)性的重要物理依據(jù)。

2.2 宏觀定域原理(macroscopic locality)

物理學(xué)家們嘗試通過建立量子理論和經(jīng)典理論之間的關(guān)聯(lián)獲得對(duì)物理原理更深刻的理解，宏觀定域原理的概念由此而來[40]。這一概念主張任何物理理論在宏觀極限中都應(yīng)該可以被經(jīng)典物理描述。研究表明，微觀結(jié)構(gòu)宏觀化的一個(gè)重要手段是粗?；?coarse-graining)。通過減少描述動(dòng)力系統(tǒng)的演化方程組，量子理論允許在測(cè)量值足夠粗粒度時(shí)被經(jīng)典動(dòng)力學(xué)描述[83]。宏觀極限下的量子系統(tǒng)將不再以粒子作為研究對(duì)象，取而代之的是對(duì)粒子束的探測(cè)。因此，粗?；幚碇蟮臏y(cè)量結(jié)果為粒子束的強(qiáng)度分布。以兩體系統(tǒng)為例，設(shè)兩體系統(tǒng)可能的輸

2.3 定域正交原理(local orthogonality)

2.4 “Almost quantum”理論

這一系列基于量子關(guān)聯(lián)性展開的物理原理研究始終圍繞一個(gè)關(guān)鍵的問題：是否可能存在一些物理原理能夠從所有可能的關(guān)聯(lián)性集合中唯一地識(shí)別出量子關(guān)聯(lián)性？想要肯定回答這個(gè)問題則需要找出量子概率關(guān)聯(lián)性與其他關(guān)聯(lián)性的區(qū)別。然而，2015年文獻(xiàn)[43]提出一個(gè)包含量子關(guān)聯(lián)性的理論，稱為“Almost quantum”。該理論證明在各種不同的關(guān)聯(lián)性理論中，量子理論并不那么特殊。

雖然Almost quantum 是一個(gè)嚴(yán)格大于量子力學(xué)的理論，但有證據(jù)證明Almost quantum 集合滿足大多數(shù)試圖刻畫量子關(guān)聯(lián)性的物理原理，包括信息因果原理、宏觀定域原理和定域正交原理。例如，對(duì)兩體系統(tǒng)而言，Almost quantum 關(guān)聯(lián)性等價(jià)于NPA 層次結(jié)構(gòu)中的第1+AB級(jí)關(guān)聯(lián)性集合Q1+AB。而關(guān)聯(lián)性集合滿足定域正交原理的充分必要條件是屬于NPA 結(jié)構(gòu)的第一級(jí)集合 Q1。由NPA 的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，Q1集 合包含Q1+AB集合，Almost quantum 理論完全滿足定域正交原理。并且根據(jù)現(xiàn)有數(shù)值結(jié)果，有理由猜測(cè)Almost quantum 理論能夠完全符合信息因果原理與宏觀定域原理。因此，這些原理都不能充分描述量子關(guān)聯(lián)的非定域程度。從某種程度上說，僅僅通過定義態(tài)空間關(guān)聯(lián)性的物理原理只能止步于表征Almost quantum 理論，無法更加接近量子物理的真相。此外，研究表明盡管Almost quantum 和量子理論的態(tài)空間十分相似，但Almost quantum 理論的測(cè)量空間中存在一些無法排除的不合法測(cè)量。文獻(xiàn)[92]試圖在GPT 理論框架下重現(xiàn)Almost quantum 關(guān)聯(lián)性，發(fā)現(xiàn)若存在這樣的理論，它將不滿足無限制假設(shè)(the no-restriction hypothesis)，該假設(shè)規(guī)定GPT 理論中的合法測(cè)量集是態(tài)集合的對(duì)偶。這一結(jié)論更進(jìn)一步印證了量子物理中態(tài)和測(cè)量空間的特殊性。想要準(zhǔn)確定義量子關(guān)聯(lián)性，還應(yīng)該進(jìn)一步限制系統(tǒng)上可能測(cè)量的規(guī)則。

總而言之，物理學(xué)家們嘗試在量子理論的物理特性中總結(jié)出規(guī)律，并使其成為不拘泥于某一特定理論形式的物理原理，最終重構(gòu)量子理論的物理邏輯。這個(gè)過程中有兩個(gè)主要的研究路線。一方面，通過GPT 中可操作的公理基礎(chǔ)推導(dǎo)量子力學(xué)的理論結(jié)構(gòu)。另一方面，從概率關(guān)聯(lián)性空間中提煉相關(guān)的物理原理，在任何可能的關(guān)聯(lián)性集合中篩選出量子關(guān)聯(lián)性。

在所有器件無關(guān)原理和GPT 廣泛操作框架研究中，具有抽象含義的黑盒模型是貫穿其中的基本思想。這樣一種最普遍的模型可以用于任意物理理論，在統(tǒng)一的理論背景對(duì)各種不同理論進(jìn)行平等比較，更好地了解量子理論的特性。另一方面，黑盒思想促進(jìn)了人們對(duì)因果律的認(rèn)識(shí)。物理學(xué)家們僅要求黑盒的內(nèi)部遵循某一特定物理理論，針對(duì)黑盒間的信道組合展開一系列研究，嘗試在現(xiàn)有因果律下對(duì)其進(jìn)行解釋。

3 不確定因果順序 (indefinite causal order)

“無信令”原理作為黑盒思想下一個(gè)十分重要的物理原理，是GPT 操作框架下的基本原理。該原理來自量子理論中對(duì)相對(duì)論因果律的一個(gè)自然描述，要求任何物理理論條件下，黑盒之間的信道都具有明確的因果關(guān)系。然而， PR box 的研究表明，“無信令”原理作為唯一描述量子理論的物理原理不夠的，且在此基礎(chǔ)上的一系列補(bǔ)充和調(diào)整都沒有完全成功。與此同時(shí)，一些物理學(xué)家們開始試圖將黑盒內(nèi)部限制為已知的物理理論，而不對(duì)黑盒之間的組合方式做明確要求，只通過黑盒的輸入輸出信息重構(gòu)黑盒間遵循的因果關(guān)系。

因果關(guān)系可以理解為定義一系列事件發(fā)生的先后順序。如圖5 表示復(fù)合系統(tǒng)中若存在Alice 發(fā)送信號(hào)給Bob 的信道，則視為事件A是事件B的因果過去(causal past)，表示為 A ?B，或者說事件B是事件A的因果未來(causal future)，表示為B?A，且事件先后順序的固定使得AB之間限制為單向傳輸，即B?A。通常來說，兩體系統(tǒng)具有預(yù)定義因果順序(predefined causal order)表示聯(lián)合概

圖5 確定因果順序 A ?B的兩體系統(tǒng)示意圖

3.1 量子系統(tǒng)中的不確定因果順序

2012 年，文獻(xiàn)[44]量子電路中的因果律提出新的設(shè)想，構(gòu)造了一個(gè)摒棄全局因果順序的量子電路。該基本框架包括3 個(gè)假設(shè)：1) 隨機(jī)變量，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的輸入變量是自由隨機(jī)選擇的；2) 封閉的實(shí)驗(yàn)室，實(shí)驗(yàn)室生成輸出的過程不受外界環(huán)境和其他實(shí)驗(yàn)室的影響；3) 局域量子性有效，規(guī)定每個(gè)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)部遵循量子力學(xué)，但不對(duì)整個(gè)復(fù)合系統(tǒng)做要求全局要求。該研究繼續(xù)沿用器件無關(guān)思想，將每個(gè)實(shí)驗(yàn)室看作是具有有限輸入和對(duì)應(yīng)輸出的黑盒，在此基礎(chǔ)上研究因果結(jié)構(gòu)對(duì)量子關(guān)聯(lián)性的影響。

為測(cè)試框架內(nèi)的系統(tǒng)關(guān)聯(lián)性是否真的存在未預(yù)定義的因果順序，文章設(shè)計(jì)了一些模型用于因果結(jié)構(gòu)的量化比較。如圖6，以兩體系統(tǒng)為例，假設(shè)Alice 和Bob 分別具有隨機(jī)輸入x,y(x,y∈{0,1})，通過一系列本地操作之后，a和b將分別作為系統(tǒng)Alice，Bob 的輸出值(a,b∈{0,1})。同時(shí)，規(guī)定物理系統(tǒng)中存在隨機(jī)變量b′(b′∈{0,1})作為“裁判”，用于判定Alice 或者Bob 是否成功猜測(cè)對(duì)方輸入值，即a=y或b=x。在這當(dāng)中，我們假定Alice 可以通過單信號(hào)通道將實(shí)驗(yàn)信息發(fā)送給Bob(Alice ?Bob)。因此，物理系統(tǒng)成功的概率可以通過數(shù)學(xué)公式表示為：

圖6 因果不等式示意圖

圖7 不預(yù)定義全局因果順序的量子兩體系統(tǒng)示意圖

3.2 經(jīng)典系統(tǒng)中的不確定因果順序

文獻(xiàn)[44]提出的因果框架引發(fā)諸多關(guān)于過程矩陣與因果模型之間的研究[95-97]，其中關(guān)于經(jīng)典極限下兩體系統(tǒng)必然存在確定因果順序的結(jié)論引發(fā)質(zhì)疑。研究發(fā)現(xiàn)，在三體或多體系統(tǒng)中，可能存在一些與任何預(yù)定義因果順序都不兼容的信道[46]。文章設(shè)計(jì)了一個(gè)因果博弈游戲，該游戲在具有預(yù)定義因果順序的場(chǎng)景中獲勝概率嚴(yán)格小于1，但在沒有預(yù)定義因果順序的情況下一定獲勝。并證明，在局部兼容經(jīng)典概率論的三體系統(tǒng)中，存在特殊的過程矩陣使因果博弈游戲始終能夠獲勝。2015 年，文獻(xiàn)[47]對(duì)經(jīng)典系統(tǒng)中的因果順序進(jìn)行了數(shù)學(xué)刻畫與深入分析。

圖8 不預(yù)定義全局因果順序的經(jīng)典兩體系統(tǒng)示意圖

由于在任意本地操作下系統(tǒng)的總測(cè)量概率為1，且測(cè)量概率非負(fù)，因此可以得出，在兩體經(jīng)典系統(tǒng)中，所有局部適用經(jīng)典概率論的模型滿足以下要求：以等價(jià)為以下形式，3 個(gè)實(shí)驗(yàn)室之間相互影響，互為因果，形成因果循環(huán)(如圖9)，不能用預(yù)定義全局因果順序解釋。

3.3 量子電路的經(jīng)典控制與量子控制

此外，固定因果順序的量子電路中存在一類特殊的量子電路：具有并行操作的量子電路W||(quantum circuits with operations used in parallel, QCPARs)。該電路中存在多個(gè)可以同時(shí)進(jìn)行的操作電路，以任意可能的固定順序?qū)⒉僮鲬?yīng)用于內(nèi)部映射，在輔助系統(tǒng)的額外幫助下得到相應(yīng)輸出的過程，所有操作有且只能執(zhí)行一次。

圖10 固定因果順序的量子電路示意圖

圖11 經(jīng)典開關(guān)電路示意圖

圖12 量子開關(guān)電路示意圖

總而言之，以上3 類量子電路對(duì)應(yīng)的量子超映射都是具有確定的超映射，因此又被稱為“超信道”(superchannel)[122]。這類超映射具有保跡性，若將要求進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆潘筛臑檑E非增映射，則可以得到概率過程矩陣。若一組概率過程矩陣之和為一個(gè)確定過程矩陣，則稱之為“量子超器具”(quantum superinstruments)[123]。

如圖13，不同量子電路的特點(diǎn)與關(guān)系總結(jié)如下。首先，固定因果順序的量子電路是最小的集合，包含一個(gè)確定因果順序的電路，且所有過程矩陣具有因果可分性[97,124-125]。然而，QC-FCs 并不是一個(gè)凸集，通常情況下不同順序的QC-FCs 的凸組合并不是一個(gè)合法的QC-FC，不能用一個(gè)簡(jiǎn)單的確定因果順序電路模擬。然而，具有并行操作的量子電路W||是一個(gè)例外。根據(jù)定義可得，QCPARs 與任何順序的QC-FC 兼容。其次，經(jīng)典控制因果順序的量子電路作為一個(gè)凸集包含QC-FCs，其過程矩陣仍具有因果可分性，其中典型代表是經(jīng)典開關(guān)WCS，能夠利用經(jīng)典比特離散地控制因果順序。值得注意的是QC-CCs 并不是多個(gè)QC-FCs 的簡(jiǎn)單概率混合，過程矩陣WQC?CCs等式中的任何一個(gè)子項(xiàng)W(k1,k2,···,kN,F)都不滿足合法性條件。最后，量子控制因果順序的量子電路是QC-CCs 的拓展，典型電路包括量子開關(guān)WQS。QC-CCs 與QC-QCs都是動(dòng)態(tài)建立因果順序的量子電路，后面的量子操作順序取決于之前的操作[95,97,99,124]。此外，這兩類過程矩陣都是因果可分的，不能違背因果不等式。因此，QC-QCs 不包含文獻(xiàn)[44]提出的量子模型WOCB，是所有合法量子超映射的真子集。

圖13 過程矩陣分類圖[49]

關(guān)于量子電路的操作控制的研究可以為嘗試設(shè)計(jì)各種實(shí)驗(yàn)以實(shí)現(xiàn)不確定因果順序的模型提供理論基礎(chǔ)。不難看出，這種通過自下而上的方法構(gòu)建廣義量子電路的研究仍存在一些開放性問題，如QCQCs 類之外的量子超映射是否具有物理解釋？具有何種性質(zhì)？

4 結(jié) 束 語(yǔ)

尋找量子物理的信息原理是圍繞量子理論的根本問題而展開的基礎(chǔ)研究，試圖以物理的角度看待由希爾伯特空間等數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的量子理論，從中抽象出最基本的原理，解釋薛定諤方程背后的物理意義?！盁o信令”原理作為第一個(gè)從量子理論中總結(jié)出來的反映相對(duì)論因果性的器件無關(guān)原理，是整個(gè)研究的基礎(chǔ)。一方面，GPT 規(guī)定框架內(nèi)的所有公理推導(dǎo)遵循“無信令”原理，所有黑盒之間具有確定的因果關(guān)系。GPT 作為一個(gè)普適的操作框架，有利于在統(tǒng)一的理論背景下對(duì)公理推導(dǎo)而來的理論結(jié)構(gòu)進(jìn)行公平對(duì)比，并通過部分修改還原量子理論的特性和邏輯結(jié)構(gòu)。另一方面，“無信令”原理作為Bell 概率模型的延伸，描述了量子關(guān)聯(lián)性的重要特征。有關(guān)“無信令”原理的研究激勵(lì)著更多物理學(xué)家從關(guān)聯(lián)性中提煉能夠唯一識(shí)別量子關(guān)聯(lián)性集合的所有物理原理，將其與其他關(guān)聯(lián)性集合完全區(qū)分開來。這種方法不再考慮通過操作公理推導(dǎo)理論結(jié)構(gòu)，僅從觀察到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中考慮原理。然而，另一項(xiàng)研究有著和“無信令”原理完全相反的思維邏輯。不確定因果順序結(jié)構(gòu)在特定的物理理論限制下，通過放寬對(duì)黑盒間信道的全局假設(shè)，允許其在不違背該理論數(shù)學(xué)描述的前提下出現(xiàn)不同的組合方式。該研究可以證明，目前人們對(duì)于因果律在量子理論中的物理描述并不完全清楚。這一發(fā)現(xiàn)或許可以為完善量子物理原理的基礎(chǔ)研究提供新的思路。

回顧尋找量子物理的信息原理之路，有一些跡象表明，當(dāng)前研究無法準(zhǔn)確定義量子關(guān)聯(lián)性的原因可能在于我們將滿足全局因果關(guān)系的黑盒子與滿足特定物理描述的黑盒子當(dāng)成兩個(gè)不同的問題來研究。也許在數(shù)學(xué)中無處不在的對(duì)偶思想在量子物理的基本原理上還沒有得到很好的體現(xiàn)[126]。黑盒子與因果律的關(guān)系也許比我們現(xiàn)階段了解到的還要更近一些。