丁 凌，王詩穎

(1.湖北文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 襄陽 441053；2.三峽大學(xué) 理學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

其中x∈RN(N=1,2,3)，a,b>0，r∈(0,2)和p∈(2,2*)。在正規(guī)化條件下和不同范圍p下，用分析的方法，得到了此方程正規(guī)化解存在性和唯一性結(jié)果。這一結(jié)果推廣了r=1特殊情形下相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)論。

1 引言

本文研究一類Kirchhoff方程：

(1)

其中x∈RN(N=1,2,3)，a,b>0，r∈(0,2)和p∈(2,2*)。這里如果N=1,2時(shí)，2*=+∞；如果N=3時(shí)，2*=6。當(dāng)r=1時(shí)，方程(1)就變成了

(2)

這類問題起源于方程

先在空間H1(RN)定義等價(jià)范數(shù)：

另外用記號‖·‖q表示Lq范數(shù)?；貞浺幌轮膸в凶顑?yōu)函數(shù)Q(x)的Gagliardo-Nirenberg不等式[8]：

(3)

且當(dāng)u=Q時(shí)等號成立。其中Q是如下方程唯一的基態(tài)解(平移意義下)：

于是，由Q滿足的Pohozaev等式和Nehari等式可得：

(4)

類似于文獻(xiàn)[8]，可證式(3)所有的最優(yōu)函數(shù)都是經(jīng)過Q(x)平移和伸縮的，屬于集合

{αQ(βx+y)∶α，β∈R+，y∈RN}

(5)

受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā)，考慮如下極小問題：

(6)

(7)

(8)

對任意的c>0和p∈(2,2*)，都有Ip(c)≤0成立。

(9)

2 主要定理及證明

本文主要定理如下：

(10)

另一方面，設(shè)

(11)

代入式(7)得

(12)

(13)

從而也是方程(1)的正規(guī)化解。由式(6)(8)和(13)可得

唯一性用(i)中同樣的方法可得，在這里省略證明。

(14)

再結(jié)合式(8)和(14)，可得

(15)

唯一性用(i)中同樣的方法可得，在這里省略證明。