說明：（1）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

（2）本試卷適用省份：（新高考Ⅰ卷）山東、福建、湖北、江蘇、廣東、湖南、河北;（新高考Ⅱ卷）海南、遼寧、重慶.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合M=-1，0，1，N=-3，0，3，T=-3，-1，1，3，則（）.

A.M∩N=B.M∪N=T

C.M∩N∪T=TD.M∪N∩T=T

2.已知復(fù)數(shù)z=3+4i1-i（其中i為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)z-的虛部為（）.

A.72B.-72C.72iD.-72i

3.函數(shù)fx=sinωx+φ（ω>0，-π2<φ<0）在區(qū)間0，1上不可能（）.

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減

C.有最大值D.有最小值

4.2021年4月22日是第52個(gè)世界地球日，某學(xué)校開展了主題為“珍愛地球，人與自然和諧共生”的活動(dòng).該校5名學(xué)生到A，B，C三個(gè)社區(qū)做宣傳，每個(gè)社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個(gè)社區(qū)宣傳，則不同的安排方案共有（）.

A.60種B.90種C.150種D.300種

5.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x216+y212=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則MF1·MF2的最大值為（）.

A.28B.16C.12D.9

6.已知函數(shù)fx=log0.5（x+x2+1），若a=0.6-0.5，b=log0.50.6，c=log0.65，則（）.

A.fa<fb<fcB.fc<fb<fa

C.fc<fa<fbD. fb<fa<fc

7.《周髀算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其記載的“日月歷法”曰：“陰陽之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂一千五百二十歲，….生數(shù)皆終，萬物復(fù)蘇，天以更元作紀(jì)歷”.某老年公寓住有19位老人與1位義工，老人與義工的年齡（都為正整數(shù)）之和恰好為一遂，其中義工年齡不滿24歲，老人的年齡依次相差1歲，則義工的年齡為（）.

A.18歲B.19歲C.20歲D.21歲

8.已知fx=xlnx，若過一點(diǎn)m，n可以作出該函數(shù)的兩條切線，則下列選項(xiàng)一定成立的是（）.

A.n<mlnmB.n>mlnm

C.2e-e<n<0D.m<1

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（）.

A.PBA1=511

B.PB=25

C.事件B與事件A1相互獨(dú)立

D.A1，A2，A3兩兩互斥

10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=22，M為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則（）.

A.當(dāng)M為BD的中點(diǎn)時(shí)，△A1MC1的周長最小

B.三棱錐D1-MCB1的體積為定值

C.在線段BD上存在點(diǎn)M，使得AC1⊥A1M

D.在線段BD上有且僅有一個(gè)點(diǎn)M，使得∠AMC1=120°

11.在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)A-1，0，B1，0，C0，7，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PB，則（）.

A.點(diǎn)P的軌跡方程為x-32+y2=8

B.△PAB面積最大時(shí)PA=26

C.∠PAB最大時(shí)，PA=26

D.P到直線AC距離最小值為425

12.已知數(shù)列an，bn均為遞增數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且滿足an+an+1=2n，bn·bn+1=2n（n∈N*），則下列結(jié)論正確的是（）.

A.0<a1<1B.S2n=n2+3n-2

C.1<b1<2D.S2n<T2n

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.若函數(shù)fx=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）是偶函數(shù)，則ab=.

14.已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為C上一點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，若△FMN是正三角形，且FN=2，0，則拋物線的準(zhǔn)線方程為.

15.已知函數(shù)f（x）=|-2x+2|+ex，則f（x）的最小值是.

16.如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P滿足BP=2PC，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點(diǎn)M，N，若AM=λAB，AN=μAC，（λ>0，μ>0），則λ+μ的最小值為.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S6=36，a1，a3，a13成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為Tn，若不等式Tn<k4對(duì)任意的n∈N*都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

18.在①3b=asinC+3cosC;②asinC=

csinB+C2;③acosC+12c=b，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.

（1）求角A;

（2）若b=1，c=3，求BC邊上的中線AD的長.

注：若選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，則按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.

19.如圖2，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC，BD相交于點(diǎn)N，DN=2BN=23，PA=AC=AD=3，∠ADB=30°.

（1）求證：AC⊥平面PAD;

（2）若點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)，求平面PAB與平面MAC所成二面角的正弦值.

20.有甲、乙兩家公司都需要招聘求職者，這兩家公司的聘用信息如下：

（1）根據(jù)以上信息，如果你是該求職者，你會(huì)選擇哪一家公司？并說明理由;

（2）某課外實(shí)習(xí)作業(yè)小組調(diào)查了1000名職場人士，就選擇這兩家公司的意愿做了統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)分布：

若分析選擇意愿與年齡這兩個(gè)分類變量，計(jì)算得到的K2的觀測值為k1=5.5513，測得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率的上限是多少？并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析，選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個(gè)關(guān)聯(lián)性更大？

參考公式：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005k3.8415.0246.635

7.879

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x=1，點(diǎn)F4，0，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍，記P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

（2）過點(diǎn)F且斜率大于3的直線交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q-2，0，連接QA，QB交直線l于M，N兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)F在以MN為直徑的圓上.

22.已知函數(shù)fx=12x2+alnx-a+1x，其中a∈R.

（1）討論fx的單調(diào)性;

（2）若函數(shù)Fx=fx+a-1x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且Fx1+Fx2>-2e-2恒成立（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.DM∩N=0，故A錯(cuò)誤;M∪N=-3，-1，0，1，3，故B錯(cuò)誤;M∩N∪T=0∪-3，-1，1，3=-3，-1，0，1，3，故C錯(cuò)誤;（M∪N）∩T={-3，-1，0，1，3}∩{-3，-1，1，3}={-3，-1，1，3}=T，故D正確.

2.Bz=3+4i1-i=3+4i1+i1-i1+i=3+3i+4i-42=-12+72i，所以z-=-12-72i，所以z-的虛部為-72.

3.B由題知，ω>0，φ可正可負(fù)，不妨令ω=10，φ=-π6時(shí)，x∈0，1時(shí)，ωx+φ=10x-π6∈-π6，10-π6，在給定區(qū)間有增有減，有最大值也有最小值，排除C，D項(xiàng);當(dāng)ω=1，φ=π12，x∈0，1時(shí)，ωx+φ=x+π12∈π12，1+π12，在給定區(qū)間單調(diào)遞增，排除A項(xiàng).

4.C由題意不同的安排方案數(shù)為（C35+C25C23A22）A33=150.

5.B由橢圓C：x216+y212=1可得a2=16，所以a=4.因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，所以MF1+MF2=2a=8.所以MF1·MF2≤MF1+MF222=822=16，當(dāng)且僅當(dāng)MF1=MF2=4時(shí)等號(hào)成立，MF1·MF2最大值為16.

6.A因?yàn)閍=0.6-0.5>1，b=log0.50.6∈（0，1），c=log0.65<0，所以a>b>c.又函數(shù)f（x）=log0.5x+x2+1在R上單調(diào)遞減，所以fa<fb<fc.

7.B設(shè)19位老人的年齡由小到大依次為a1，a2，…，a19（單位：歲），設(shè)義工的年齡為x歲，由已知可得a1+a2+…+a19+x=19a1+a192+x=19a10+x=150，則19a10=1520-x.因?yàn)?≤x≤24且x∈N*，則19a10=1520-x∈1496，1519，而在1496，1519內(nèi)能被19整除的正整數(shù)為1501，則1520-x=1501，解得x=19.

8.A設(shè)切點(diǎn)為t，tlnt，對(duì)函數(shù)fx求導(dǎo)得f ?′x=lnx+1，則切線斜率為f ′t=lnt+1.所以切線方程為y-tlnt=lnt+1x-t.即y=lnt+1x-t.所以n=mlnt+1-t，可得t-mlnt+n-m=0.令gt=t-mlnt+n-m，其中t>0，由題意可知，方程

gt=0有兩個(gè)不等的實(shí)根.

g′t=1-mt=t-mt.

①當(dāng)m≤0時(shí)，對(duì)任意的t>0，g′t>0，此時(shí)函數(shù)gt在0，+∞上單調(diào)遞增，則方程gt=0至多只有一個(gè)根，不合乎題意;②當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)0<t<m時(shí)，g′t<0，此時(shí)函數(shù)gt單調(diào)遞減，當(dāng)t>m時(shí)，g′t>0，此時(shí)函數(shù)gt單調(diào)遞增.由題意可得gtmin=gm=m-mlnm+n-m=n-mlnm<0，可得n<mlnm.

9.AD由題意知A1，A2，A3兩兩互斥，故D正確;

PA1=510=12，PA2=210=15，PA3=310，PBA1=PBA1PA1=12×51112=511，故A正確;

PBA2=411，PBA3=411，PB=PA1B+PA2B+PA3B=PA1PBA1+PA2PBA2+PA3PBA3=12×511+15×411+310×411=922≠PBA1，所以B與A1不是相互獨(dú)立事件，故B，C不正確.

10.AB如圖3建系，則A10，0，22，C12，2，22，B2，0，0，D0，2，0，BM=λBD，所以M2-2λ，2λ，0.圖3

所以MA1+MC1

=（2-2λ）2+（2λ）2+8+（-2λ）2+（2λ-2）2+8

=24λ2-8λ+4+4λ2+8

=28λ2-8λ+12，

當(dāng)x=12時(shí)，MA1+MC1最小，此時(shí)S△MA1C1周長最小，此時(shí)M為BD中點(diǎn)，A對(duì);

因?yàn)锽D∥B1D1，所以BD∥平面B1D1C，M到平面B1D1C的距離h為定值，S△B1D1C為定值，則VM-B1D1C=

13S△B1D1Ch為定值，B對(duì);

因?yàn)锳C1·A1M=（2，2，22）（2-2λ，2λ，-22）=-4≠0，所以不存在點(diǎn)M使得AC1⊥A1M，C錯(cuò);

MA·MC1=（2λ-2，-2λ，0）（2λ，2-2λ，22）=8λ（λ-1），

cos∠AMC1=8λλ-18λ2-8λ+48λ2-8λ+12=-12，

從而λλ-1=2-136，

即λ2-λ+13-26=0.

所以Δ<0，無解，D錯(cuò).

11.ABD設(shè)Px，y，由PA=2PB，得PA2=2PB2.

即x+12+y2=2x+12+y2.

化簡，得x-32+y2=8.

即點(diǎn)P軌跡方程為x-32+y2=8，A正確;

因?yàn)橹本€AB過圓x-32+y2=8的圓心，

所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為圓x-32+y2=8的半徑r=22.

因?yàn)锳B=2，

所以△PAB面積最大為12×2×22=22，此時(shí)P3，±22.

所以PA=3+12+222=26，B正確;

當(dāng)∠PAB最大時(shí)，則PA為圓x-32+y2=8的切線，所以PA=3+12-8=22，C錯(cuò)誤;

直線AC的方程為7x-y+7=0，

則圓心3，0到直線AC的距離為7×3+772+1=1425.

所以點(diǎn)P到直線AC距離最小值為1425-22=425，D正確.

12.ACD由an是遞增數(shù)列，得a1<a2<a3.

又an+an+1=2n，所以a1+a2=2，a2+a3=4.

所以a1+a2>2a1，a2+a3>2a2=4-4a1.

所以0<a1<1，故選項(xiàng)A正確;

S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n2，

故B不正確;由bn是遞增數(shù)列，得b1<b2<b3.

又bnbn+1=2n，

所以b1b2=2，b2b3=4.

所以b2>b1，b3>b2.

所以1<b1<2，故選項(xiàng)C正確;

故

T2n=（b1+b3+…+b2n-1）+（b2+b4+…+b2n）

=b1（1-2n）1-2+b2（1-2n）1-2=（b1+b2）（2n-1）.

所以T2n≥2b1b2（2n-1）=22（2n-1）.

又b1≠b2，

所以T2n>22（2n-1）.

而22（2n-1）-2n2=2（2·2n-n2-2），

當(dāng)n≥5時(shí)，2（2·2n-n2-2）>0;

當(dāng)1<n≤4時(shí)，可驗(yàn)證2（2·2n-n2-2）>0，所以對(duì)于任意的n∈N*，S2n<T2n，故選項(xiàng)D正確.

13. 由fx為偶函數(shù)可得f-x=fx.

即1ax+1bx=ax+bx.

所以ax+bxabx-1=0.

因?yàn)閤∈R，且a>0，b>0，a≠1，b≠1，得ab=1.

14. 如圖4，由已知N在F右側(cè)，NF=2，作MD垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則∠DMF=60°，DM=DF=FN=2.所以∠DFO=60°.故焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=1，準(zhǔn)線方程為x=-12.圖4

15. 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=|-2x+2|+ex，

所以fx=ex-2x+2，x≤1，ex+2x-2，x>1.

當(dāng)x≤1時(shí)，f ′x=ex-2，由f ′x=0解得x=ln2，

當(dāng)x<ln2時(shí)，f ′x<0，fx單調(diào)遞減，

當(dāng)x>ln2時(shí)，f ′x>0，fx單調(diào)遞增，

所以fxmin=

fln2=eln2-2ln2+2=-2ln2+4.

當(dāng)x>1時(shí)，f ′x=ex+2，f ′x>0，fx單調(diào)遞增，此時(shí)fx無最小值.

所以f（x）的最小值是-2ln2+4.

16. 因?yàn)锽P=BA+AP，PC=PA+AC，

又BP=2PC，

所以-AB+AP=2AC-AP，AP=13AB+23AC=13λAM+23μAN.

又P，M，N三點(diǎn)共線，所以13λ+23μ=1.

從而λ+μ=（λ+μ）·13λ+23μ

=13+23+μ3λ+2λ3μ

≥1+2μ3λ·2λ3μ=1+223，

當(dāng)且僅當(dāng)μ3λ=2λ3μ，即λ=1+23，μ=2+23時(shí)取等，所以λ+μ的最小值為1+223.

17. （1）設(shè)等差數(shù)列an公差為d，由題意，得6a1+15d=36，（a1+2d）2=a1（a1+12d），d≠0，

解得a1=1，d=2.

所以an=1+2（n-1）=2n-1.

（2）由（1）知1anan+1=1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1），

所以Tn=12（1-13）+12（13-15）+…+12（12n-1-12n+1）=12（1-12n+1）.

易知Tn是遞增的且Tn<12，

不等式Tn<k4對(duì)任意的n∈N*都成立，則k4≥12，所以k≥2.

18. （1）選①3b=asinC+3cosC，

由正弦定理得3sinB=sinA（sinC+3cosC）.

即3sin（A+C）=sinAsinc+3sinAcosC.

即3（sinAcosC+cosAsinC）

=sinAsinC+3sinAcosC，

故3cosAsinC=sinAsinC，三角形中sinC≠0，

所以tanA=3，又A∈（0，π），所以A=π3.

選②asinC=csinB+C2，

由正弦定理，得sinAsinC=sinCsinB+C2=sinCcosA2，三角形中sinC≠0，

所以2sinA2cosA2=cosA2.又三角形中cosA2≠0，

所以sinA2=12，A∈（0，π）.

所以A2=π6，解得A=π3.

選③acosC+12c=b，

由余弦定理，得a2+b2-c22b+12c=b.

整理，得b2+c2-a2=bc.

所以cosA=b2+c2-a22bc=12.

因?yàn)锳∈（0，π），所以A=π3.

（2）由（1）a2=b2+c2-2bccosA=1+9-2×1×3cosπ3=7，a=7，由余弦定理，得

b2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠CDA，

c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA.

又BD=CD，cos∠CDA=-cos∠BDA，

所以b2+c2=2AD2+BD2+CD2=2AD2+12a2.

所以AD2=12（1+9-12×7）=134，AD=132.

19. （1）因?yàn)锳D=3，DN=23，∠ADB=30°，

所以AN=9+12-2×3×23×32=3.

從而AN2+AD2=DN2.

所以∠DAN=90°，故AC⊥AD，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，而AC在平面ABCD中，

所以PA⊥AC，PA∩AD=A，且PA，AD都在平面PAD內(nèi)，所以AC⊥平面PAD.

（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AC，AD，AP為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖5所示：

設(shè)P0，0，3，A0，0，0，B332，-32，0，

D0，3，0，M0，32，32，C3，0，0.

所以PA=0，0，-3，AB=332，-32，0，AM=0，32，32，AC=3，0，0.

設(shè)平面PAB與平面MAC的一個(gè)法向量分別為n1=x1，y1，z1，n2=x2，y2，z2，平面PAB與平面MAC所成二面角為θ，且θ為銳角.

所以n1·PA=0，n1·AB=0.所以-3z1=0，332x1-32y1=0.

可取n1=1，3，0，則

n2·AM=0，n2·AC=0.則32y2+32z2=0，3x2=0.可取n2=0，1，-1，

所以cosθ=n1·n2n1·n2=32×2=64.則sinθ=104.

20. （1）設(shè)甲公司與乙公司的月薪分別為隨機(jī)變量X，Y，

則E（X）=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，

E（Y）=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，

D（X）=（6000-7000）2×0.4+（7000-7000）×

0.3+（8000-7000）2×0.2+（9000-7000）2×0.1=10002，D（Y）=（5000-7000）2×0.4+（7000-7000）2×0.3+（9000-7000）2×0.2 +（11000-7000）2×0.1=20002，則E（X）=E（Y），D（X）<D（Y），

若希望不同職位的月薪差距小一些，則選擇甲公司;若希望不同職位的月薪差距大一些，則選擇乙公司;

（只要言之有理即可）

（2）因?yàn)閗1=5.5513>5.024，故根據(jù)表中對(duì)應(yīng)值得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯(cuò)的概率的上限是0.025， 由數(shù)據(jù)分布可得選擇意愿與性別兩個(gè)分類變量的2×2列聯(lián)表如下：

選擇甲公司選擇乙公司總計(jì)

男250350600

女

200200400總計(jì)450550

1000

計(jì)算K2=1000×（250×200-350×200）2600×400×450×550=2000297≈6.734，且K2=6.734>6.635，對(duì)照臨界值表得出結(jié)論“選擇意愿與性別有關(guān)”的犯錯(cuò)誤的概率上限為0.01，由0.01<0.025，所以與年齡相比，選擇意愿與性別關(guān)聯(lián)性更大.

21. （1）設(shè)Px，y，由題意，得（x-4）2+y2=2x-1，化簡，得x24-y212=1.

所以曲線C的方程為x24-y212=1.

（2）設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，M1，y3，N1，y4，設(shè)直線lAB：y=k（x-4），且k>3.

聯(lián)立y=k（x-4），x24-y212=1，得（3-k2）x2+8k2x-16k2-12=0.

由韋達(dá)定理，得x1+x2=8k2k2-3，x1x2=16k2+12k2-3.

由y33=y1x1+2，解得y3=3y1x1+2=3k（x1-4）x1+2.

由y43=y2x2+2，解得y4=3y2x2+2=3k（x2-4）x2+2.

故FM·FN=9+y3y4=9+9k2（x1-4）（x2-4）（x1+2）（x2+2）

=9+9k2[x1x2-4（x1+x2）+16]x1x2+2（x1+x2）+4

=9+9k2（16k2+12-32k2+16k2-48）16k2+12+16k2+4k2-12=0.

故點(diǎn)F在以MN為直徑的圓上.

22. （1）f（x）的定義域是（0，+∞），f ′（x）=x+ax-（a+1）=（x-1）（x-a）x，a≤0時(shí)，0<x<1時(shí)，f ′（x）<0，x>1時(shí)，f ′（x）>0，故f（x）的單調(diào)減區(qū)間（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）;

0<a<1時(shí)，0<x<a或x>1時(shí)，f ′（x）>0，a<x<1時(shí)，f ′（x）<0，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（a，1）;

a=1時(shí)，f ′（x）≥0恒成立，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），無減區(qū)間;

a>1時(shí)，0<x<1或x>a時(shí)，f ′（x）>0，1<x<a時(shí)，故f ′（x）<0，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），減區(qū)間是（1，a）.

（2）F′（x）=f ′（x）+a-1=x2-2x+ax，由題意x2-2x+a=0有兩個(gè)不等正根x1，x2，

Δ=4-4a>0，a<1，又x1+x2=2，x1x2=a>0，所以0<a<1.

因?yàn)镕（x）=12x2+alnx-2x，

所以F（x1）+F（x2）=12x21+alnx1-2x1+12x22+alnx2-2x2=12[（x1+x2）2-2x1x2]+aln（x1x2）-2（x1+x2）=2-a+alna-4=alna-a-2.

由題意，得alna-a-2>-2e-2.即alna-a+2e>0.

設(shè)g（x）=xlnx-x+2e（0<x<1），則g′（x）=lnx+1-1=lnx<0.

故g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減.

又g（1e）=1eln1e-1e+2e=0，所以由alna-a+2e>0，得0<a<1e.

綜上，0<a<1e.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：林國紅（1977-），男，廣東省佛山人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]