李 霞

(云南民族大學(xué) 650031)

1 由一題多解引發(fā)的疑問(wèn)

=5-3=2

(此處利用等價(jià)代換，當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x,sin5x～5x,sin3x～3x)

利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限可以使得計(jì)算簡(jiǎn)化，從以上幾種方法比較來(lái)看，方法三與四應(yīng)該是所有解法中較簡(jiǎn)單的，但是卻很少有甚至沒(méi)有同學(xué)用這兩種方法做.

問(wèn)題例1能不能寫(xiě)成如下形式呢？

在講課本第一章第3節(jié)無(wú)窮大與無(wú)窮小，利用無(wú)窮小量進(jìn)行等價(jià)代換求極限時(shí)，我們通常對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)，可以對(duì)分式的整個(gè)分子或分母進(jìn)行等價(jià)代換，也可以代換分子或分母中的因式，但分子或分母為多個(gè)式子的代數(shù)和的時(shí)候，一般不能代替其中的一項(xiàng)，否則就易出錯(cuò).為什么不能代換，很多書(shū)上避而不談，可為什么如上問(wèn)題結(jié)論又是對(duì)的，那樣做到底對(duì)不對(duì)，這或許就是很多同學(xué)迷惑的原因.

2 解決疑問(wèn)有妙招：極限四則運(yùn)算法則來(lái)幫忙

例1利用等價(jià)無(wú)窮小求極限的問(wèn)題，可以歸結(jié)為分式中分子或分母只有其中一個(gè)可直接等價(jià)代換或只有其中一個(gè)可化簡(jiǎn)成乘積的形式進(jìn)行代換的情形，怎么求極限呢，我們可以結(jié)合極限的四則運(yùn)算法則來(lái)解決.

例2判斷下列的題能否拆成兩項(xiàng)直接利用等階無(wú)窮小代換進(jìn)行求極限.

(∵當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x,tanx～x,ln(1+2x2-x3+2x4)～2x2-x3+2x4)

那么對(duì)以分子分母都是加減，且分子分母都不易化成乘積的形式的極限計(jì)算，還能利用等價(jià)代換嗎？

3 還有疑問(wèn)再探究：查閱資料引理來(lái)幫忙

以上例4求極限的問(wèn)題，可以歸結(jié)為分式中分子和分母都不能化簡(jiǎn)成乘積的形式的情形，那是否還可以用等價(jià)代換呢？

筆者查閱了相關(guān)資料，對(duì)于此種類型的極限計(jì)算的方法，在許多文獻(xiàn)中都有介紹，除了利用洛必達(dá)法則外，仍可以利用等階無(wú)窮小代換來(lái)求解.在作者祝微、楊春艷《等階無(wú)窮小代換定理的拓展》一文中，給出了如下定理，下面我以引理形式給出：

設(shè)α～α′，β～β′，γ～γ′，μ～μ′均為同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量.

引理1與引理2的證明，見(jiàn)參考文獻(xiàn)[3].

利用引理的結(jié)論，例4就可以直接利用如下等階代換求極限：

總之，使用等價(jià)無(wú)窮小代換，是求函數(shù)極限常用的一種方法之一，在一定條件下，恰當(dāng)?shù)乩玫葍r(jià)無(wú)窮小代換求極限，可以很大程度上簡(jiǎn)化極限的計(jì)算.當(dāng)然，等學(xué)生學(xué)習(xí)了第二章導(dǎo)數(shù)及第三章微分中值定理以后，對(duì)于這種“0/0”型的極限計(jì)算，也可以考慮用洛必達(dá)法則求極限.