劉苡妍,李 麗

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽110034)

0 引言

孤立子是非線性光學(xué)、玻色-愛因斯坦凝聚、等離子體物理和流體力學(xué)等領(lǐng)域一個重要的理論和實驗研究課題.最近Ablowitz和Musslimani提出了一種新非局部NLSE方程[1-2],包括聚焦(+)和離焦(-).文獻[3-4]分別為包括一個自誘導(dǎo)的PT[5-6]對稱的NLSE方程.文獻[1-2]給出了一些非局部可積非線性AL方程、MKdV方程和Hiora方程.非局域非線性介質(zhì)中的空間孤子引起了人們極大的興趣[7-8].文獻[9]綜述了非局域空間孤子的研究現(xiàn)狀.

求解孤子方程的方法有很多,如齊次平衡法[10]、雙線性法[11]、行波法[11]、Darboux變換(DT)法[11]、反散射變換法[11-15].Zhang和Yan利用廣義Darboux變換(gDT)得到了多有理和半有理孤子以及非局部非線性耦合薛定諤方程的相互作用[16].他們利用Darboux變換方法研究了聚焦PT對稱非局部非線性耦合薛定諤方程,找到了一系列精確解,除了孤立波外,還包括亮-亮、暗-暗和亮-暗孤子對[17].Wu和He生成了導(dǎo)數(shù)非線性薛定諤(NLS)方程,其非局部擴展來自文獻[18]中的李代數(shù)分裂和自同構(gòu).Li和Xu[19]用第N次達布變換,導(dǎo)出了具有自誘導(dǎo)奇偶時間(PT)對稱勢的非局部NLS方程的一系列非奇異局域波解，利用文獻[20]中的廣義Darboux變換,導(dǎo)出了具有散焦型非線性的奇偶時間對稱非局域NLS模型的有理孤子解,包括一階解、暗反暗孤子和反暗孤子.Zhang、Qiu、Cheng和He導(dǎo)出了一類滿足文獻[21]中奇偶時間(PT)對稱條件的非局部NLS方程，并且得到具有兩個自由相參數(shù)的有理解.Yan[6]提出了一些新的統(tǒng)一的雙參數(shù)波動模型,模型連接了可積的局部和非局部向量NLS方程.Ma和Zhu[22]介紹了一個非局部NLS方程的幾何及其離散形式.

文獻[23]通過非標準程序?qū)С隽巳我夂瑫r線性勢的廣義非局域Gross-Pitaevskii(NGP)方程,并在準一維Bose-Einstein凝聚中給出了更一般的亮孤子解.文獻[24]提出了一個廣義的非局部非線性GP方程,將其化為具有自誘導(dǎo)PT對稱勢的非局部GP方程,并通過逆散射和相似變換得到了非局部GP方程的一些新的非自治孤子解.文獻[25]發(fā)展了一種非標準雙線性化方法,得出了PT對稱耦合非局部非線性薛定諤方程更一般的亮孤子、呼吸孤子和畸形波解.文獻[26]考慮了一類具有外勢的非線性GP方程的反散射變換和孤子穩(wěn)定性,得到了周期外勢與諧波外勢相結(jié)合的GP方程,并得到了其物質(zhì)波解的穩(wěn)定性.

對于可積孤子方程,構(gòu)造顯式解一直是一個重要的課題.然而,目前對RS-NCNLS方程的研究較少.筆者構(gòu)造了RS-NCNLS方程的N次DT,提出了一些新的單孤子和雙孤子,通過復(fù)雜的計算,得到了零和非零種子解,包括亮孤子、反扭孤子和呼吸波孤子,給出了它們的分布情況.

1 Darboux變換求解非局部RS非線性耦合方程

最近,提出了一個可積的非局部非線性耦合薛定諤方程(也稱為逆空間RS-NCNLS方程).在本節(jié)中,將考慮散焦非局部非線性耦合薛定諤系統(tǒng)(RS-NCNLS),方程式如下：

(1)

RS-NCNLS方程的一般形式出現(xiàn)在非線性光學(xué)中[27]，具有以下形式的Lax對:

(2)

(3)

這里,q(x,t)和q(-x,t)是x,t的勢函數(shù),λ是一個譜參數(shù),φ=(φ1,φ2,φ3)T是方程(2)和(3)的列向量解,與特征值λ有關(guān).

構(gòu)造RS-NCNLS方程的規(guī)范變換M：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

基于N次DT,可以導(dǎo)出RS-NCNLS方程(1)的新舊解之間的關(guān)系:

(12)

式(12)是方程(5)通過達布變換得到的.

(13)

2 非零背景下RS-NCNLS方程的N-孤子解公式

為了得出方程(1)的N-孤子解表達式,考慮如下矩陣M：

(14)

(15)

根據(jù)方程(15)和克萊姆法則,得到:

(16)

其中,

(17)

基于方程(4)、(12)和(17),可以推導(dǎo)出RS-NCNLS方程N-孤子解的新公式:

(18)

為了利用DT求出方程精確解,將首先給出種子解q1(x,t)=α1eiβt,q2(x,t)=α2eiβt,將其代入方程(2)和(3),可得到上述方程的3個基本解：

(19)

其中：

利用式(8)和(19),得到如下Sj：

(20)

為了獲得方程(1)的解,分別考慮N=1,2的情形.

(I)考慮N=1,且λ=λj(j=1,2,3),求解方程(7),可得

(21)

其中,

(22)

根據(jù)DT,得到了平面波背景下RS-NCNLS方程(1)的非局部單孤子解：

(23)

圖1 非零背景下RS-NCNLS方程的1-孤子解

(Ⅱ)考慮N=2,且λ=λj(j=1,2,3,4,5,6),求解方程(7)，可得

(24)

其中：

(25)

通過DT公式得到平面波背景下非局域RS-NCNLS方程的2-孤子解：

(26)

圖2 非零背景下RS-NCNLS方程的2-孤子解

3 結(jié)論

筆者構(gòu)造了RS-NCNLS方程的DT,選擇合適的參數(shù),給出了平面波背景下N孤子解公式的表達式,并通過變換得到了RS-NCNLS方程的一些新解.此外,還研究了這些孤子的動力學(xué)行為.本文的結(jié)果進一步揭示了非局域非線性耦合Schr?dinger方程新穎的動態(tài)分布.該方法也適用于物理和數(shù)學(xué)中的非線性非局部問題的孤子方程.